2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）12空間向量基本定理（四大題型）

1．2空間向量基本定理目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：基底的判斷 2題型二：基底的運(yùn)用 4題型三：正交分解 6題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題 8【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 12【高考真題、模擬題】 29

【題型歸納】題型一：基底的判斷1．（2024·高一·浙江寧波·期末）若是空間中的一組基底，則下列可與向量構(gòu)成基底的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由是空間中的一組基底，故兩兩不共線，對(duì)A：有，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：設(shè)，則有，該方程無(wú)解，故可與構(gòu)成基底，故B正確；對(duì)C：有，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：有，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2024·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）若是空間的一個(gè)基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則k=（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】依題意，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，于是，因此，解得.故選：B3．（2024·高二·廣東·期末）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不共面，對(duì)于A項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無(wú)解，即不共面，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無(wú)解，即不共面，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因，故共面，即C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無(wú)解，即不共面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.4．（2024·高二·安徽蕪湖·期末）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以不共面．選項(xiàng)A，若向量共面，存在實(shí)數(shù)，，使，可得，方程組無(wú)解．所以不共面；選項(xiàng)B，若向量共面，存在實(shí)數(shù)，，使，可得，方程組無(wú)解．所以不共面．選項(xiàng)C，因?yàn)橄蛄克怨裁妫x項(xiàng)D，若向量共面，存在實(shí)數(shù)，，使，可得，方程組無(wú)解．所以不共面．故選：C．題型二：基底的運(yùn)用5．（2024·高二·甘肅臨夏·期末）如圖，在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，.故選：A6．（2024·高二·江蘇南京·期中）在三棱柱中，記，，，點(diǎn)P滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】三棱柱中，記，，，如圖所示：故．故選：D．7．（2024·高二·山西晉中·期末）在平行六面體中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槠叫辛骟w中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，所以．故選：C．8．（2024·高二·上?！ふn堂例題）如圖，在長(zhǎng)方體中，M為與的交點(diǎn)．若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】.故選：A.題型三：正交分解9．（2024·高二·浙江寧波·期中）已知向量，，是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，，是空間的另一個(gè)基底，若向量在基底，，下的坐標(biāo)為，則在，，下的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】可設(shè)向量，，，由此把向量，，分別用坐標(biāo)表示，列方程組解出x，y，z，即可得到的坐標(biāo)．不妨設(shè)向量，，；則向量，，．設(shè)，即，∴解得即在，，下的坐標(biāo)為．故選：C．10．（2024·高二·河北·期中）已知平面，，，，，則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，．因?yàn)?即兩兩垂直，又，，，所以空間的一個(gè)單位正交基底可以為．故選：B.11．（2024·高二·河北邯鄲·期末）已知平面ABC，，，，則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槠矫鍭BC，AB、AC都在面ABC內(nèi)，所以，.因?yàn)椋?，，所以，又SA=1，所以空間的一個(gè)單位正交基底可以為.故選：A12．（2024·高二·湖北襄陽(yáng)·期中）已知向量是空間的一個(gè)單位正交基底，向量是空間的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則它在下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，所以解得故在基底下的坐標(biāo)為.故選：C.題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題13．（2024·高二·廣東中山·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求異面直線和夾角的余弦值．【解析】（1）由題意得，又，，，，，故，故；（2），設(shè)異面直線和夾角為，則.14．（2024·高二·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點(diǎn)．

(1)求；(2)求的長(zhǎng)．【解析】（1）（2），，，則，故.15．（2024·高二·安徽·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的菱形，.(1)利用空間向量證明；(2)求的長(zhǎng).【解析】（1）證明：設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，所以，所以.（2）由（1）知，所以.所以.16．（2024·高二·浙江·期中）如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)分別在上，且，．

(1)以為一組基底表示向量；(2)求的長(zhǎng)度.【解析】（1），．（2），所以，所以，所以.17．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，求的長(zhǎng)．

【解析】設(shè)，則，，，，因?yàn)椋裕?8．（2024·高二·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，設(shè)，，．(1)試用向量，，表示向量；(2)求．【解析】（1）（2）由題意知，，，，則，，所以【重難點(diǎn)集訓(xùn)】一、單選題1．（2024·高二·江蘇宿遷·期中）如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點(diǎn)，則異面直線與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在平行六面體中,四邊形是平行四邊形,側(cè)面是正方形,又是的交點(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以異面直線與的夾角的余弦值為.故選：A.2．（2024·高二·江蘇常州·期中）如圖，在平行六面體中，，，，則的長(zhǎng)為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】平行六面體中，，因?yàn)椋?，，，所以，所以，即的長(zhǎng)為，故選：A.3．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在下列條件中，使P與A，B，C一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】空間向量共面定理，，若A，B，C不共線，且P，A，B，C共面，則其充要條件是；對(duì)于A選項(xiàng)，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，則，，為共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，而，所以不能得出P，A，B，C共面，故D錯(cuò)誤．故選：C.4．（2024·高二·上海·課后作業(yè)）如圖，在四面體OABC中，，，，若，且∥平面ABC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由條件可知，延長(zhǎng)與交于，連接，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以∥，令，，則有，，根據(jù)向量基底表示法的唯一性，得解得∥，，，．故選：D．5．（2024·高二·浙江金華·期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，由空間向量的共面定理可知，點(diǎn)四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面上，所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離d，由正方體棱長(zhǎng)為1，可得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C6．（2024·高一·吉林延邊·階段練習(xí)）平行六面體中.則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，故，故.故選：A7．（2024·高二·安徽蕪湖·期中）已知向量在基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，所以，所以，所以在基底下的坐標(biāo)為.故選：A8．（2024·高一·江蘇南京·期末）已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，空間中一點(diǎn)滿足，其中，，，且.則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，所以，因?yàn)椴还簿€，所以共面，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，所以當(dāng)平面時(shí)，最小，取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)在上，且，所以，即的最小值為.故選：B二、多選題9．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列命題，其中不正確的為（

）A．若，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段B．若，則是鈍角C．若，則與一定共線D．非零向量滿足與，與，與都是共面向量，則必共面【答案】ABD【解析】對(duì)于A，考慮平行四邊形中，滿足，但不滿足A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)兩個(gè)非零向量的夾角為時(shí)，滿足，但不是鈍角，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可得，則與一定共線，可知C正確；對(duì)于D，考慮三棱柱，令，滿足與，與，與都是共面向量，但不共面，可得D錯(cuò)誤.故選：ABD10．（2024·高二·江蘇泰州·期末）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，且，，為的重心，為的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．． B．C．若，則向量共面 D．若，則【答案】ACD【解析】延長(zhǎng)交與點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦模?，所以，所以，，所以，又，所以，所以，A正確；因?yàn)椋?，所以，所以，又，，所以，，，所以，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，設(shè)，則，，，所以，，所以，所以向量共面，C正確；因?yàn)?，，由可得，，又，，，所以，所以，所以，D正確.故選：ACD.11．（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）在平行六面體中，記，設(shè)，下列結(jié)論中正確的是（

）.A．若點(diǎn)P在直線上，則B．若點(diǎn)P在直線上，則C．若點(diǎn)P在平面內(nèi)，則D．若點(diǎn)P在平面內(nèi)，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若點(diǎn)P在直線上，則，則，由于三點(diǎn)共線，故，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若點(diǎn)P在直線上，則，而，結(jié)合，得，B正確；對(duì)于C，若點(diǎn)P在平面內(nèi)，即四點(diǎn)共面，則由，可知，C正確，對(duì)于D，若點(diǎn)P在平面內(nèi)，則，則，又，則，D正確，故選：BCD三、填空題12．（2024·高二·黑龍江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為兩兩所成夾角均為，點(diǎn)分別在棱上，且，則；直線與所成角的余弦值為.【答案】【解析】連接，，故；，故，故，則，故直線與所成角的余弦值為.故答案為：；13．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，四邊形，都是邊長(zhǎng)為1的正方形，,則，兩點(diǎn)間的距離是．【答案】【解析】因?yàn)樗倪呅?、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則，，又，則，因?yàn)?，由圖易知，，所以，即，兩點(diǎn)間的距離是．故答案為：．14．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，若為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為棱PC上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，且，若，，，四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)的值是．

【答案】/【解析】連接，

因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以．又因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，，，四點(diǎn)共面，所以，解得．故答案為：四、解答題15．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在空間四面體中，，，兩兩成角，且，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，試求E，F(xiàn)間的距離．

【解析】由題意得，，同理可得，因?yàn)椋?，所以，即E，F(xiàn)間的距離為．16．（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點(diǎn)O是與的交點(diǎn)．(1)用向量，，表示向量；(2)求異面直線AO與BC所成的角的余弦值；(3)判定平面ABC與平面的位置關(guān)系．【解析】（1）由題意可知：點(diǎn)O是的中點(diǎn)，則，所以．（2）設(shè)，則，．所以．又因?yàn)?，所以，．所以．所以異面直線與所成的角的余弦值為．（3）取的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則．又，即．且，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面?7．（2024·高二·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD和ABEF中，，記．(1)當(dāng)時(shí)，求MN與AE夾角的余弦值；(2)是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）,在矩形ABEF中,易知，，當(dāng)時(shí)，,,,.故MN與AE夾角的余弦值.（2）若平面ABCD，平面ABCD，.則顯然成立，又，即，解得,滿足題意.故存在，使得平面ABCD.18．（2024·高二·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè).(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)?，，所?19．（2024·高二·吉林松原·期中）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為2，D為的中點(diǎn)．

(1)以為空間的一組基底表示向量，．(2)線段上是否存在一點(diǎn)E，使得？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1），；（2）連接，假設(shè)線段上存在一點(diǎn)E，使得，且，，則，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，，所以，所以，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，，所以存在點(diǎn)，且.

【高考真題、模擬題】1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在所有棱長(zhǎng)均為的平行六面體中，為與交點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，所以，所以，即.故選：C2．（2024·山西晉中·三模）已知三棱錐中，