高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）312橢圓的簡單幾何性質(zhì)（十大題型）

3．1．2橢圓的簡單幾何性質(zhì)目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點(diǎn)梳理】 3【典型例題】 6題型一：橢圓的幾何性質(zhì) 6題型二：根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值 10題型三：求離心率的值 13題型四：求離心率的范圍 18題型五：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 22題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系 24題型七：弦長問題 29題型八：中點(diǎn)弦問題 32題型九：橢圓的實際應(yīng)用 35題型十：定點(diǎn)定值問題 39

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，．橢圓的對稱性對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點(diǎn)①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)．②橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因為，所以的取值范圍是．越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)時，，這時兩個焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識點(diǎn)詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；知識點(diǎn)二：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角（）結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．知識點(diǎn)三：橢圓兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點(diǎn)詮釋：橢圓，的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的分母的大小，哪個分母大，焦點(diǎn)就在哪個坐標(biāo)軸上．知識點(diǎn)四：直線與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，則有；若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有；若點(diǎn)在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)（或兩個公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)（或一個公共點(diǎn)）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．直線與橢圓的相交弦設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則同理可得這里，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：知識點(diǎn)五：解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線（不平行于軸）過橢圓（）上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有．【典型例題】題型一：橢圓的幾何性質(zhì)【典例11】（多選題）（河北省滄州市八縣20232024學(xué)年高二10月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）下列關(guān)于曲線性質(zhì)的描述正確的是（

）A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于原點(diǎn)對稱C．關(guān)于直線對稱 D．所圍成的圖形的面積小于12【答案】ABD【解析】把曲線中的同時換成，方程變?nèi)詾?，所以曲線關(guān)于軸對稱，故A對；把曲線中的，同時換成，方程變?nèi)詾?，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B對；把曲線中的，同時換成，方程變?yōu)椋?，所以曲線不關(guān)于直線對稱，故C錯；由可得，，所以所圍成的圖形的面積小于12，故D對，故選：ABD【典例12】（多選題）（2024·甘肅慶陽·一模）已知橢圓：，則（

）A．的焦點(diǎn)在軸上 B．的焦距為10C．的離心率為 D．的長軸長是短軸長的5倍【答案】BC【解析】對于橢圓：，可得，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，離心率為，長軸長為，短軸長為，故AD錯誤，BC正確.故選：BC【變式11】（多選題）（2024·高二·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知橢圓，則下列說法中正確的是（

）A．橢圓的焦點(diǎn)在軸上 B．橢圓的長軸長是C．橢圓的焦距為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，因為橢圓的方程為，所以橢圓的焦點(diǎn)在上，且，A正確，所以橢圓的長軸長為，B正確，橢圓的焦距為，C錯誤；橢圓的離心率，D正確.故選：ABD.【變式12】（多選題）（2024·高二·廣東江門·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)（非長軸的頂點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．當(dāng)時，橢圓C的離心率為C．當(dāng)時，的周長為6D．若橢圓C的離心率為，則的面積的最大值是【答案】AC【解析】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確；對于B，當(dāng)時，，離心率，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，則的周長為，C正確；對于D，橢圓C的離心率為，即，解得，，設(shè)，則的面積，D錯誤.故選：AC.【變式13】（多選題）（2024·高一·重慶·期末）已知兩橢圓和，則（

）A．兩橢圓的焦距相等 B．兩橢圓的離心率相等C．兩橢圓有2個交點(diǎn) D．兩橢圓有4個交點(diǎn)【答案】BC【解析】橢圓：（），即，橢圓：（），即，則的長半軸長為，短半軸長為，焦半距長，的長半軸為，短軸為，焦半距長，對于A，的焦距為，的焦距為，故A錯誤；對于B，的離心率為，的離心率，故B正確；對于CD，聯(lián)立可得，所以與有2個公共點(diǎn)，故C正確，D錯誤.故選：BC.【變式14】（多選題）（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．離心率C．面積的最大值為12D．以線段為直徑的圓與圓相切【答案】BCD【解析】因為橢圓，則，由橢圓的定義可知，，故A錯誤；由橢圓離心率公式可得，故B正確；因為設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，顯然，則面積的最大值為，故C正確；線段的中點(diǎn)為，則以線段為直徑的圓的方程為，其圓心為，半徑，且圓的圓心為，半徑，則兩圓的圓心距為，即兩圓外切，故D正確；故選：BCD題型二：根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值【典例21】（2024·高二·上海·期中）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，則的取值范圍是.【答案】【解析】橢圓上的點(diǎn)可設(shè)為，即，所以，故答案為：.【典例22】（2024·高二·福建廈門·期中）已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是.【答案】【解析】橢圓，則，，所以，設(shè)，，則，所以，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即的取值范圍是.故答案為：.【變式21】（2024·高二·重慶沙坪壩·期中）若P是橢圓上一動點(diǎn)，，則的最大值為．【答案】4【解析】令，則，又，所以，又，當(dāng)時，的最大值為4.故答案為：4【變式22】（2024·高二·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；若是的角平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍為.【答案】【解析】令直線與相交于點(diǎn)，連接，由，且為的角平分線，得，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，橢圓的長短半軸長、半焦距分別為，顯然且，且有，，，則，所以.【變式23】（2024·高二·四川涼山·期末）已知是圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，垂足為，點(diǎn)滿足.若點(diǎn)，，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意設(shè)Px,y，所以，因為，所以.將點(diǎn)帶入圓，則點(diǎn)滿足橢圓的方程.所以，又，即，當(dāng)時，最大，最小且為；當(dāng)或時，最小，最大且為，即，即，所以的取值范圍為.故答案為：.【變式24】（2024·高二·廣西河池·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，則.【答案】【解析】設(shè)，則，將代入上式中得：，∵，∴當(dāng)時，故答案為：題型三：求離心率的值【典例31】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）橢圓（）的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若直線與以為圓心半徑為的圓相切，則橢圓離心率等于.【答案】【解析】依題意，，，，所以直線的方程為：，又直線與以為圓心半徑為的圓相切，故，即，，方程兩邊同除以得，解得或，又橢圓的離心率，所以.故答案為：【典例32】（2024·高二·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且軸，，則此橢圓的離心率是．

【答案】【解析】根據(jù)題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖所示則有，直線方程為，代入方程可得，所以，又，所以，即，整理可得；所以，即，即可得橢圓的離心率為.故答案為：【變式31】（2024·高三·河北唐山·階段練習(xí)）已知橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若為等腰三角形，則C的離心率為．【答案】【解析】不妨設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距分別為，則，且根據(jù)橢圓的性質(zhì)易知，所以，顯然若為等腰三角形，則只能有，即，則.故答案為：【變式32】（2024·高二·安徽阜陽·階段練習(xí)）橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，直線另交橢圓C與點(diǎn)B，若，則C的離心率為.【答案】33/【解析】如圖，過B作軸于H，設(shè)橢圓方程為，AF2=a，，易知，所以，又，，所以，，得到，代入橢圓方程得，整理得到，所以.故答案為：【變式33】（2024·高二·湖南衡陽·階段練習(xí)）設(shè)I、G分別是的內(nèi)心和重心，若于F，則以B、C為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率是．【答案】【解析】如圖，令點(diǎn)在第一象限（由橢圓對稱性，其他位置同理），連接，顯然點(diǎn)在上，連接并延長交軸于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，軸，過點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，則，因為為的重心，所以，因為軸，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)也為，，因為為的角平分線，則有，又因為，所以可得，又由角平分線的性質(zhì)可得，，而所以得，所以，，所以，即，因為即，化簡得,解得.故答案為：.【變式34】（2024·高二·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知是橢圓：上一點(diǎn)，，是的兩個焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且.則的離心率為.【答案】【解析】如圖，設(shè)，，延長交于，由題意知，為的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，又，即，則，又點(diǎn)在的平分線上,則，故是等腰直角三角形，因此，則，可得，，又，則，因此可得，又在中，，則，將，代入得，即，由所以，所以，.故答案為：.【變式35】（2024·高二·湖南·階段練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，若且，則橢圓的離心率為．【答案】【解析】因為過原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，,故四邊形為矩形，故，又，，所以，則，又，即，且，解得，（由于，故舍去）結(jié)合，故，即又，因此，故，解得，故答案為：題型四：求離心率的范圍【典例41】（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓的焦距為，若直線恒與橢圓有兩個不同的公共點(diǎn)，則橢圓的離心率范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將直線整理可得，易知該直線恒過定點(diǎn)，若直線恒與橢圓有兩個不同的公共點(diǎn)，可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；易知橢圓上的點(diǎn)當(dāng)其橫坐標(biāo)為時，縱坐標(biāo)為，即可得，整理可得，即，解得.故選：A【典例42】（2024·高二·浙江·期中）已知橢圓，為橢圓上一動點(diǎn)（不含左右端點(diǎn)），左右端點(diǎn)為，則離心率e的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，，，由題意可知，，即，得，則.故選：B【變式41】（2024·高二·廣東江門·階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點(diǎn)，則橢圓離心率的范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因為以為直徑的圓與橢圓有四個交點(diǎn)，所以，即，，，所以，即，又因為，所以橢圓離心率的取值范圍為．故選：A．【變式42】（2024·高二·湖南長沙·期中）焦點(diǎn)在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，則橢圓離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不妨設(shè)矩形的對角線所在的直線方程為：（假設(shè)），聯(lián)立，則，解得：，，所以矩形的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，因為點(diǎn)在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，所以，則，即，，即，解得：，即.故選：C.【變式43】（2024·高二·湖南郴州·期末）已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若使為直角三角形的點(diǎn)有8個，則的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】為直角三角形，可分為以下三類討論：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn).由橢圓的對稱性可知：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)有兩個；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)有兩個，則要使為直角三角形的點(diǎn)有8個，須使以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形有4個.由橢圓的對稱性可得在軸上方有兩個點(diǎn)滿足以點(diǎn)為直角頂點(diǎn).則，即，所以，解得即，所以，又因為橢圓離心率，所以.故選：C.【變式44】（2024·高二·北京·期中）橢圓上存在一點(diǎn)P滿足，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)點(diǎn)位于短軸的端點(diǎn)時，最大，要使橢圓上存在一點(diǎn)P滿足，只要最大時大于等于即可，即當(dāng)點(diǎn)位于短軸的端點(diǎn)時，，所以，又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的范圍是.故選：D.題型五：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【典例51】已知直線與圓沒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．在橢圓內(nèi) B．在橢圓外C．在橢圓上 D．不確定【答案】A【解析】直線與圓沒有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離，即，，又，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部.故選：A.【典例52】（2024·高二·全國·競賽）已知過原點(diǎn)的所有直線都與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】橢圓的方可化為①一方面，由原方程表示橢圓，知，且，于是，.另一方面，由已知條件知原點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，于是，解得.綜上可得或.故選：C【變式51】（2024·高二·河南南陽·階段練習(xí)）點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在橢圓上 B．點(diǎn)在橢圓內(nèi)C．點(diǎn)在橢圓外 D．不確定【答案】B【解析】由于，所以在內(nèi)，故選：B【變式52】（2024·高二·河北邯鄲·階段練習(xí)）直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線過定點(diǎn)，只需該點(diǎn)落在橢圓內(nèi)或橢圓上，∴，解得，又，故選：C．【變式53】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若點(diǎn)在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)不在橢圓上 B．點(diǎn)不在橢圓上C．點(diǎn)在橢圓上 D．無法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系【答案】C【解析】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，若點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，，，三點(diǎn)都在橢圓上，故選：C【變式54】（2024·高二·上海浦東新·期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】對于直線，整理得，令，解得，故直線過定點(diǎn).∵，則點(diǎn)在橢圓C的內(nèi)部，所以直線l與橢圓C相交.故選：A.題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系【典例61】（2024·高二·江蘇常州·期中）已知橢圓，直線，則直線與橢圓的公共點(diǎn)有個.【答案】2【解析】直線過定點(diǎn),，即定點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則直線與橢圓C的公共點(diǎn)有兩個.故答案為：2.【典例62】（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）已知直線與橢圓相交，則C的長軸長的取值范圍是．【答案】【解析】將代入，得，則，解得．因為C的長軸長為，所以C的長軸長的取值范圍是．故答案為：.【變式61】（2024·高三·上?！ら_學(xué)考試）直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)為．【答案】2【解析】直線恒過，由于，所以是橢圓內(nèi)部的一點(diǎn)，所以直線與橢圓恒有2個交點(diǎn)．故答案為：2．【變式62】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）直線和曲線的位置關(guān)系為.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過，由知定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.【變式63】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足．(1)求的取值范圍；(2)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．【解析】（1）依題意知，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部且與原點(diǎn)不重合．由橢圓方程得，由數(shù)形結(jié)合可得，①當(dāng)點(diǎn)在線段上且不與原點(diǎn)重合時，；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線或反向延長線上時，；③當(dāng)在橢圓內(nèi)部且不在直線上時，如圖延長交橢圓于點(diǎn)，連接，則，且，綜上，的取值范圍為．（2）解法一：由題意知，點(diǎn)和直線恰好是橢圓的一對極點(diǎn)和極線，∵點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴極線與橢圓相離，故極線與橢圓公共點(diǎn)的個數(shù)為零．解法二：當(dāng)時，直線，直線方程可化為，由可得，，則或，∴，而橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，∴此時橢圓與直線無公共點(diǎn)；當(dāng)時，由，消去可得，，則由，則，故，∴此時橢圓與直線無公共點(diǎn)．綜上所述：橢圓與直線相離，沒有公共點(diǎn)．【變式64】（2024·高二·上海·課堂例題）已知動點(diǎn)在橢圓C：之外，作直線l：．證明：直線l與橢圓C有兩個不同的公共點(diǎn)．【解析】由消去得，，（*），因為在橢圓之外，所以，即，所以，方程（*）有兩個不等的實根，即直線與橢圓有兩個不同的公共點(diǎn)；【變式65】（2024·高二·福建泉州·期末）已知橢圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上不同于的點(diǎn).(1)若直線的斜率分別為，求的最小值；(2)已知直線，直線分別交于P、Q兩點(diǎn)，為PQ中點(diǎn)．試判斷直線MN與的位置關(guān)系．【解析】（1）取代入可得，所以，設(shè)，則.法一：所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）所以的最小值為1．法二：則，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以的最小值為1．（2）如下圖，由題意可知，法一：直線，直線取代入可得，則即又因為，所以，則直線的斜率，則直線，整理得，即將與聯(lián)立得：，則，所以直線與橢圓相切.法二：由直線，令，則則，同理所以中點(diǎn)為，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即．將與聯(lián)立得：，即，即，即，得到唯一解，所以直線與橢圓相切.題型七：弦長問題【典例71】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓，其右焦點(diǎn)為，若直線過點(diǎn)與交于，則最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】要使AB最小，即為和焦點(diǎn)在的軸垂直的直線截得的線段長．右焦點(diǎn)為，直線為，聯(lián)立此直線和橢圓解得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故AB最小值為1．故選：B．【典例72】（2024·高二·浙江紹興·期末）已知橢圓，過原點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，可得直線的方程為：，代入中，整理解得：，當(dāng)，；當(dāng)時，，故有,則.故選：D.【變式71】（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程，消可得：，，設(shè)Ax則，，根據(jù)弦長公式有：.故選：B.【變式72】（2024·高二·陜西渭南·期末）已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)Ax1,y1消去整理得，解得或，則，，則，，所以，所以當(dāng)，即時AB取最大值.故選：C【變式73】（2024·高二·青海西寧·期中）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其中左焦點(diǎn)為，長軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P、Q，求弦長．【解析】（1）由題意可設(shè)C:x則，即，且，可得，所以橢圓方程為.（2）設(shè)，將直線與橢圓聯(lián)立，得，解得或所以弦長.【變式74】（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為A，，長軸的長為4．過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)（非長軸端點(diǎn)）．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的上頂點(diǎn)A，求的面積．【解析】（1）因為，長軸的長為4，所以，，，所以橢圓的方程為．（2）因為，，若直線l過橢圓的上頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn).所以l：，則點(diǎn)到直線l的距離為，由得，所以，，則，所以．題型八：中點(diǎn)弦問題【典例81】（2024·高二·浙江衢州·期末）斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則．【答案】/【解析】設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，可得，由韋達(dá)定理可得，則，則，則，所以.故答案為：【典例82】（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,Bx將兩點(diǎn)代入橢圓方程，得，兩式作差得，整理得得直線的斜率為，直線的方程為，即.經(jīng)檢驗符合題意.A故答案為：.【變式81】（2024·高二·上?！て谥校E圓被直線截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則．【答案】6【解析】聯(lián)立可得．設(shè)弦的兩個端點(diǎn)為，，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，解得.故答案為：6．【變式82】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為．【答案】【解析】因為，則在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓總有兩個交點(diǎn)，因為，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，，顯然，則，，，可得，則，即，所以，即直線的斜率，故答案為：【變式83】（2024·高二·廣西玉林·階段練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為.【答案】【解析】因為，則在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓總有兩個交點(diǎn)，因為，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè),，,，顯然，則，，，可得，則，即，所以，即直線的斜率，故答案為：【變式84】（2024·高三·云南普洱·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上.(1)求C的離心率；(2)設(shè)恒過點(diǎn)D的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且D為AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.【解析】（1）由題意得，解得，，所以橢圓C的方程為，故C的離心率；（2）設(shè)Ax1,聯(lián)立，消去y得，故，由直線化為，恒過，故，即，所以，解得，此時二次方程為，滿足題意，故所求直線的方程為題型九：橢圓的實際應(yīng)用【典例91】（2024·高二·北京西城·期末）如圖是一個橢圓形拱橋，當(dāng)水面在處時，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個橢圓.此時拱頂離水面，水面寬，那么當(dāng)水位上升時，水面寬度為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】以圖中水面所在的直線為軸，水面的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件可知：橋洞與其倒影恰好構(gòu)成的橢圓方程為：，當(dāng)水位上升時，水面的寬度也即當(dāng)時，直線被橢圓所截的弦長.把代入橢圓方程可得：，所以當(dāng)水位上升時，水面的寬度為，故選：.【典例92】（2024·高二·河南鄭州·期末）橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)．電影放映機(jī)聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，燈絲（看成一個點(diǎn)）在橢圓的右焦點(diǎn)處，燈絲與反射鏡的頂點(diǎn)的距離，過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦，在軸上移動電影機(jī)片門，將其放在光線最強(qiáng)處，則片門應(yīng)離燈絲（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)知，解得，所以片門放在光線最強(qiáng)處，片門應(yīng)離燈絲為．故選：C.【變式91】（2024·高二·吉林松原·階段練習(xí)）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)上，卡門位于另一個焦點(diǎn)上．由橢圓一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點(diǎn)．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時所經(jīng)過的路程為（

）A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm【答案】A【解析】設(shè)橢圓的方程為，因為此橢圓的離心率為，且，所以，所以，所以根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時所經(jīng)過的路程為cm.故選：A【變式92】（2024·高二·重慶沙坪壩·期中）甲?乙兩名探險家在桂林山中探險，他們來到一個山洞，洞內(nèi)是一個橢球形，截面是一個橢圓，甲?乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A?B兩點(diǎn)處，甲站在A處唱歌時離A處有一定距離的乙在B處聽得很清晰，原因在于甲?乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個焦點(diǎn)，符合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，即從一個焦點(diǎn)發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點(diǎn).現(xiàn)已知橢圓：上一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作切線l，A，B兩點(diǎn)為左右焦點(diǎn)，，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為.【答案】【解析】如圖，過M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點(diǎn)，，，由光學(xué)性質(zhì)可知MN平分，，則，因為，故，所以，.故答案為：.【變式93】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹．太空中飛船與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌．某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)（長軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到地面的距離為，近地點(diǎn)（長軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn)）到地面的距離為，地球的半徑為R，則該橢圓的短軸長為（用，，R表示）．【答案】【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，由題意可知，，所以．所以，所以．故答案為：.【變式94】（2024·高二·江蘇南通·期中）如圖，“神舟十三號”載人飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心（簡稱“地心”）為一個焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為e．設(shè)地球半徑為r，該飛船遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為R，則該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為．【答案】【解析】由題設(shè)，若橢圓軌道對應(yīng)方程為且，橢圓的幾何性質(zhì)知：，則，又近地點(diǎn)離地面的