黃金卷01（新高考Ⅰ卷專用）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬（ADDINCNKISM.UserStyle新課標=1\*ROMANI卷）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1.已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．2.若隨機變量，且，，則等于（）A． B． C． D．3.已知，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱，則的不可能值為（）A． B． C． D．4.已知，則（）A．3 B． C．2 D．5.《九章算術》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長D．由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3，設D為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點A作于點F，則下列推理正確的是（）A．由圖1和圖2面積相等得 B．由可得C．由可得 D．由可得6.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為1，高為1的正四棱錐，所得棱臺的體積為（）A．18 B．21 C．54 D．637.已知函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列一定正確的是（）A． B．C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)8.設，,，則下列大小關系正確的是（）A． B． C． D．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列說法正確的是（）A．若，則B．不存在實數(shù)，使得C．若向量，則或D．若向量在向量上的投影向量為，則的夾角為10.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當時，，則（

）A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于直線對稱C．的最小正周期為2 D．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．有極大值B．對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是C．當時，過原點與曲線相切的直線有2條D．若關于的方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若扇形AOB的面積為S，則當扇形AOB的周長取得最小值時，該扇形的圓心角的弧度數(shù)為_______．13.如圖，甲從A到B，乙從C到D，兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交，則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有________對.（用數(shù)字作答）14.設，記為平行四邊形內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫?縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)的值域為______.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知圓：和點，為圓外一點，直線與圓相切于點，.（1）求點的軌跡方程；（2）記（1）中的點的軌跡為，是否存在斜率為的直線，使以被曲線截得得弦為直徑得圓過點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.16．（15分）在中，.（1）求；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求及的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.17．（15分）隨著“雙十一購物節(jié)”的來臨，某服裝店準備了抽獎活動回饋新老客戶，活動規(guī)則如下：獎券共3張，分別可以再店內(nèi)無門檻優(yōu)惠10元?20元和30元，每人每天可抽1張獎券，每人抽完后將所抽取獎券放回，以供下一位顧客抽取.若某天抽獎金額少于20元，則下一天可無放回地抽2張獎券，以優(yōu)惠金額更大的作為所得，否則正常抽取.（1）求第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學期望；（2）記“第天抽取1張獎券”的概率為，寫出與的關系式并求出.18．（17分）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面平面，，點M是的中點.（1）證明：.（2）點N是的中點，，當直線與平面所成角的正弦值為時，求的長度.19．（17分）（1）當時，求證：（i）；（ii）（2）已知函數(shù).（i）當時，求在點處的切線方程；（ii）討論函數(shù)在上的零點個數(shù).

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬ADDINCNKISM.UserStyle（ADDINCNKISM.UserStyle新課標=1\*ROMANI卷）黃金卷01·參考答案第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678BBDDCBDB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011BCDABDABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．213．175014．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）【答案】【小問1詳解】設點坐標為，直線與圓相切于點，…1分則，所以，…3分即，…4分化簡得.…5分【小問2詳解】設直線方程為，點Mx1,y1聯(lián)立方程，得，…7分所以.…8分因為以為直徑得圓過點B?2,0，則，…9分即，化簡得，…10分代入根與系數(shù)關系中，得，…11分解得或，…12分故直線的方程為或.…13分16．（15分）【答案】【小問1詳解】由正弦定理得，…1分代入得，…2分所以，…3分因為，所以…5分所以，所以，.…7分【小問2詳解】選條件①：…8分因為，…9分由正弦定理得，由余弦定理得，…10分解得，所以．…11分由解得，解是唯一的.…13分所以，.…15分選擇條件②：由及余弦定理得，…8分即，解得或（負舍），…11分此時有一解，所以，…13分所以，.…15分選條件③：由及余弦定理得，…8分所以，故.…11分這與矛盾，故不成立.…13分所以條件③不滿足.…15分17．（15分）【答案】【小問1詳解】設第二天獲得的優(yōu)惠券金額為的可能取值為，第二天抽1張獎券的概率為，抽2張獎券的概率為，…2分若抽2張獎券，優(yōu)惠金額20元的概率為，優(yōu)惠金額30元的概率為，…3分，…4分，…5分，…6分故第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學期望.…8分【小問2詳解】記“第天抽取1張獎券”的概率為，則“第天抽取2張獎券”的概率為，…9分則“第天抽取1張獎券”的概率為，…11分，…12分設，則，…13分又，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，…14分.…15分18．（17分）【答案】【小問1詳解】∵M是中點，，…2分∴，…1分∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，…4分∴.…6分【小問2詳解】方法一：取中點F，連接，，作，垂足為G，連接，，∵M，F(xiàn)分別為，中點，，∴，又，∴；…7分由（1）知：平面，平面，∴；…8分∵，平面，，∴平面，…8分∵平面，∴，…9分又，，，平面，∴平面，∴直線與平面所成角為，…10分∴，設（），∵，，…12分∴，∴，又，…13分∴，解得：或，…15分故的長為或.…17分方法二：取中點F，連接，∵M，F(xiàn)分別為，中點，，…7分∴，又，∴；…8分由（1）知：平面，以F為坐標原點，，正方向為x，y軸正方向，過F作z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，…9分設（），∵，，…10分∴，，，，，∴，，；…11分設平面的法向量，則，令，解得：，，…13分∴；…14分∴，…15分解得：或，…16分故的長為或.…17分19．（17分）【答案】證明：（1）（i）令，則，…1分故在上為增函數(shù)，故，即，當且僅當時取等號；…3分故當時，成立.…5分（ii）令，則當時，，…6分設，則，令，當時，故在上為增函數(shù)，…7分故當時，，即：，當且僅當時取等號；…8分故在上為增函數(shù)，故，即，當且僅當時取等號；故當時，成立.…9分（2）（i）當時，，故在點處的切線方程為：…10分（ii）（A）當時，，…11分故，當且僅當時取等號，故在區(qū)間上的零點個數(shù)只有1個；（B）當時，，，當且僅當時取等號，故在區(qū)間上的零點個數(shù)只有1個；…12分（C）當時，，，…13分令，則，當時，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得在上為增函數(shù)，故，…14分當時，，故，使得，則，故在遞減，在遞增，又，故，則，使得，則，…15分故在遞減，在遞增，又，又，故，使得，即此時在區(qū)間上有兩個零點和；綜合有：當時，在區(qū)間上只有一個零點；…16分當時，在區(qū)間上有兩個零點.…17分【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬（ADDINCNKISM.UserStyle新課標=1\*ROMANI卷）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再結合補集和交集的定義求解即可.【詳解】因為或x≥1，，則，所以.故選：B.2.若隨機變量，且，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性，即可求解.【詳解】隨機變量，且，，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，所以.故選：B3.已知，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱，則的不可能值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知得函數(shù)周期，求出，再利用圖像的平移變換規(guī)律寫出函數(shù)平移后的解析式，再利用函數(shù)關于原點對稱，列出等式即可得到結果.【詳解】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，所以.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，要使該圖象關于原點對稱，則，，所以，，又，所以當時，為；當時，為；當時，為；故選：D4.已知，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】應用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式計算再結合同角三角函數(shù)關系求解.【詳解】.故選：D.5.《九章算術》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長d．由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3，設D為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點A作于點F，則下列推理正確的是（）A.由圖1和圖2面積相等得 B.由可得C.由可得 D.由可得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達式，可判斷A選項正誤，由題意可求得圖3中的表達式，逐一分析B、C、D選項，即可得答案【詳解】對于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，，因為，所以，整理得，故B錯誤；對于C，因為D為斜邊BC的中點，所以，因為，所以，整理得，故C正確；對于D，因為，所以，整理得，故D錯誤．故選：C．6.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為1，高為1的正四棱錐，所得棱臺的體積為（）A.18 B.21 C.54 D.63【答案】B【解析】【分析】利用相似比計算出，然后再利用棱臺的體積公式求解．【詳解】如圖所示，因為上下邊長比為，所以，則棱臺高，根據(jù)體積公式可得，故選：B．7.已知函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列一定正確的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性得出函數(shù)值判斷A,根據(jù)對稱性分別判斷B,C,D.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，，所以的圖象關于直線對稱，且因為由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖象關于對稱，則，令x=0，可得，即，由可得，因為不一定恒為0，所以不一定成立，故B選項錯誤；可得fx+4=?fx+2所以，故A選項錯誤；因為，則，且，即得，所以為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，D選項正確；因為，所以，又因為為偶函數(shù)，不一定恒為0，所以不一定為奇函數(shù)，所以C選項錯誤.故選：D【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是把為偶函數(shù)，為奇函數(shù)轉化為對稱關系得出函數(shù)周期及對稱軸對稱中心解題.8.設，,，則下列大小關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先通過構造函數(shù)得到當時，，再通過構造函數(shù)進一步得到，，由此即可比較，進一步比較，由此即可得解.【詳解】設，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，，所以，，從而當時，，，所以.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：在比較的大小關系時，可以通過先放縮再構造函數(shù)求導，由此即可順利得解.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.不存在實數(shù)，使得C.若向量，則或D.若向量在向量上的投影向量為，則的夾角為【答案】BCD【解析】【分析】運用平面向量的性質(zhì)定理，即可求解.【詳解】A選項：，所以，所以，故A錯誤；B選項：若得，則，顯然不成立，故B正確；C選項：因為,若向量，則或，故C正確；D選項：設的夾角為，則向量在向量上的投影向量為所以，又因為向量在向量上的投影向量為，所以則的夾角為，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當時，，則（

）A.的圖象關于點對稱 B.的圖象關于直線對稱C.的最小正周期為2 D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖像關于點對稱，由平移可得的圖象關于點1,0對稱；對于B，由函數(shù)軸對稱的性質(zhì)可得；對于C，由已知及奇函數(shù)的定義，賦值推導即可得到的最小正周期是否為2；對于D，由當時，，及函數(shù)的對稱性和周期性，可得f1+f2+f3+f4=0，則可得，即可求得結果.【詳解】對于A：因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖像關于點對稱，又函數(shù)的圖像向右平移1個單位可得到函數(shù)y=fx的圖像，所以的圖象關于點1,0對稱，故A正確；對于B：因為，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；對于C：由的圖象關于點1,0對稱，，，則，所以的最小正周期不可能為2，故C錯誤；對于D：因為當時，，所以，f1=0，因為的圖象既關于點1,0對稱，又關于直線對稱，所以，，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，又，則，則，則，所以的一個周期為，所以，所以f1+f所以，故D正確．故選：ABD．【點睛】結論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結論：（1）關于對稱：若函數(shù)關于直線軸對稱，則，若函數(shù)關于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有極大值B.對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是C.當時，過原點與曲線相切的直線有2條D.若關于的方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】求出極大值判斷A；探討最小值并建立不等式求出的范圍判斷B；求出過原點的曲線切線方程，再確定方程解的個數(shù)判斷C；變形給定等式并構造函數(shù)，探討函數(shù)性質(zhì)求出的范圍判斷D.【詳解】對于A，，求導得，當時，，當時，，函數(shù)在處取得極大值為，正確；對于B，，當時，，當時，，函數(shù)在遞減，在上遞增，，由對于恒成立，得，解得，B正確；對于C，，函數(shù)定義域為，求導得，設切點坐標為，則在處，的切線方程為，則，化簡得，當時，，此方程無解；當時，，此方程無解；當時，，滿足要求，因此方程只有這1個解，即過原點有且僅有一條直線與相切，C錯誤；對于D，由關于的方程有兩個實根，得有兩個不等實根，整理得，則，即，令函數(shù)，則即為，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，由A選項知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當時，函數(shù)取值集合為，而，因此在的取值集合為；當時，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，當時，，顯然函數(shù)在取值集合為，因此函數(shù)在的取值集合為，則有兩個根，必有，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：解決過某點的函數(shù)f(x)的切線問題，先設出切點坐標，求導并求出切線方程，然后將給定點代入切線方程轉化為方程根的問題求解.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若扇形AOB的面積為S，則當扇形AOB的周長取得最小值時，該扇形的圓心角的弧度數(shù)為_______．【答案】2【解析】【分析】設扇形AOB的半徑、弧長分別為r，l，進而根據(jù)扇形的面積公式可得，再結合基本不等式求解扇形AOB的周長最小時圓心角的弧度數(shù).【詳解】設扇形AOB的半徑、弧長分別為r，l，則，即，所以周長，當且僅當時取等號，所以當扇形AOB的周長最小時，圓心角的弧度數(shù)為.故答案為：2.13.如圖，甲從A到B，乙從C到D，兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交，則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有________對.（用數(shù)字作答）【答案】1750【解析】【分析】先分析甲乙分別到B,D走法，各有種不同的走法，由分步乘法計數(shù)原理知共有路徑，分析相同的路徑，甲從A走到D與乙從C走到B的路徑都相交，共有對相交路徑，故孤立路共有.【詳解】甲從A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從A到B共有種走法，乙從C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從A到B共有種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有不同路徑對，甲從A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以從A到D共有種走法,乙從C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以從C到B共有種走法,所以相交路徑共有對，因此不同的孤立路一共有對.故答案為：1750【點睛】本題主要考查了組合的實際應用，組合數(shù)的計算，分步乘法計數(shù)原理，屬于難題.14.設，記為平行四邊形內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫?縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】【分析】利用列舉法，寫出三個特殊情況，根據(jù)其總結歸納，設出整點出現(xiàn)的直線，分情況討論，可得答案.【詳解】在坐標系中作出四點，舉例：時，如下圖，平行四邊形內(nèi)部有9個整點；時，如下圖，平行四邊形內(nèi)部有12個整點；時，如下圖，平行四邊形內(nèi)部有11個整點；證明：設與交點為，與交點為，四邊形內(nèi)部（不包括邊界）的整點都在線段上，由，則線段上的整點有3個或4個，所以，易求得點，①當時，；②當時，；③其余情況，；故的值域為.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知圓：和點，為圓外一點，直線與圓相切于點，.（1）求點的軌跡方程；（2）記（1）中的點的軌跡為，是否存在斜率為的直線，使以被曲線截得得弦為直徑得圓過點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結合兩點間距離公式進行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系，結合直徑所對圓周角為直角的性質(zhì)、互相垂直兩直線的斜率關系進行求解即可.【小問1詳解】設點坐標為，直線與圓相切于點，…1分則，所以，…3分即，…4分化簡得.…5分【小問2詳解】設直線方程為，點Mx1,y1聯(lián)立方程，得，…7分所以.…8分因為以為直徑得圓過點B?2,0，則，…9分即，化簡得，…10分代入根與系數(shù)關系中，得，…11分解得或，…12分故直線的方程為或.…13分【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用直徑所對圓周角為直角、一元二次方程根與系數(shù)關系進行求解.16．（15分）在中，.（1）求；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求及的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）選擇①，，，選擇②，，【解析】【分析】（1）由正弦定理及倍角公式求得，從而求得；（2）選條件①：由正弦定理及余弦定理解得，代入面積公式求解.選條件②：由余弦定理求出值，再利用三角形面積公式即可；選條件③：由余弦定理及基本不等式得到矛盾.【小問1詳解】由正弦定理得，…1分代入得，…2分所以，…3分因為，所以…5分所以，所以，.…7分【小問2詳解】選條件①：…8分因為，…9分由正弦定理得，由余弦定理得，…10分解得，所以．…11分由解得，解是唯一的.…13分所以，.…15分選擇條件②：由及余弦定理得，…8分即，解得或（負舍），…11分此時有一解，所以，…13分所以，.…15分選條件③：由及余弦定理得，…8分所以，故.…11分這與矛盾，故不成立.…13分所以條件③不滿足.…15分17．（15分）隨著“雙十一購物節(jié)”的來臨，某服裝店準備了抽獎活動回饋新老客戶，活動規(guī)則如下：獎券共3張，分別可以再店內(nèi)無門檻優(yōu)惠10元?20元和30元，每人每天可抽1張獎券，每人抽完后將所抽取獎券放回，以供下一位顧客抽取.若某天抽獎金額少于20元，則下一天可無放回地抽2張獎券，以優(yōu)惠金額更大的作為所得，否則正常抽取.（1）求第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學期望；（2）記“第天抽取1張獎券”的概率為，寫出與的關系式并求出.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)乘法公式求解概率，即可由期望公式求解，（2）由題意得，即可利用構造法求解為等比數(shù)列，即可由等比數(shù)列的通項求解.【小問1詳解】設第二天獲得的優(yōu)惠券金額為的可能取值為，第二天抽1張獎券的概率為，抽2張獎券的概率為，…2分若抽2張獎券，優(yōu)惠金額20元的概率為，優(yōu)惠金額30元的概率為，…3分，…4分，…5分，…6分故第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學期望.…8分【小問2詳解】記“第天抽取1張獎券”的概率為，則“第天抽取2張獎券”的概率為，…9分則“第天抽取1張獎券”的概率為，…11分，…12分設，則，…13分又，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，…14分.…15分18．（17分）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面平面，，點M是的中點.（1）證明：.（2）點N是的中點，，當直線與平面所成角的正弦值為時，求的長度.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）先證明平面，由此得證；（2）方法一，取中點F，先證平面，可得平面，可得直線與平面所成角為，根據(jù)條件列式運算得解；方法二，取中點F，連接，以F為坐標原點，建立空間直角坐標系，設（），求出平面的法向量，利用向量法列式運算得解.【小問1詳解】∵M是中點，，…2分∴，…1分∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，…4分∴.…6分【小問2詳解】方法一：取中點F，連接，，作，垂足為G，連接，，∵M，F(xiàn)分別為，中點，，∴，又，∴；…7分由（1）知：平面，平面，∴；…8分∵，平面，，∴平面