2023-2024學年安徽省宣城市高一上學期1月期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省宣城市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.集合，，則＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合，，則，.故選：B.2.設，使得不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，對比選項可知不等式成立的一個充分不必要條件是.故選：D.3.若命題“，使”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意命題“，使”是真命題，所以，當且僅當，有，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.4.已知，且，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A：若滿足，則不滿足，故A錯誤；對于B：若滿足，則不滿足，故B錯誤；對于C：若滿足，則不滿足，故C錯誤；對于D：令，易知函數(shù)在R上增函數(shù)，因為，所以，則，故D正確.故選：D.5.已知函數(shù)滿足，且，則（）A.0 B.1 C.5 D.【答案】C【解析】由題意在中令，則，解得，令，則，則，所以.故選：C.6.設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，所以.故選：A.7.已知，且，，則的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由得，于是，又，，所以，因此，當且僅當，即時，等號成立，故.故選：B.8.已知定義在R上的函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且對任意的，總有，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又已知在上單調(diào)遞減，所以，可得因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，由對稱性可知，所以當時，取得最大值，即最大值為，在當時取得最小值，即最小值為，要使對任意的，都有，只要成立即可，所以，解得，又，所以的取值范圍，即.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，則的可能取值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】AC【解析】當時，；當時，.所以的值為.故選：AC.10.下列運算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.11.對任意的，函數(shù)的值域是．則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.的最小值是12 D.的最小值是【答案】ABC【解析】因為函數(shù)的值域是，所以，且，即，所以，故AB正確；由，得，則，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值是12，故C正確；由，得，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是，故D錯誤.故選：ABC.12.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關于函數(shù)的結(jié)論中正確的是（）A.在上是單調(diào)遞增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.的值域是【答案】ACD【解析】因為使得，所以此時，，所以，所以是周期為1的周期函數(shù)，故C正確；對于D，我們只需考慮在上的值域即可，此時，故D正確；對于A，因為在上單調(diào)遞增，而是周期為1的周期函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確；對于B，因為是周期為1的周期函數(shù)，所以，即不是奇函數(shù)，故B錯誤.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)______．【答案】2【解析】由冪函數(shù)的解析式可得，即，解得或，當時，在上是減函數(shù)，不符合題意；當時，在上是增函數(shù)，符合題意.綜上可知，.14.已知角滿足，則__________________.【答案】【解析】〖祥解〗由題意得．15.已知實數(shù)x滿足不等式，則函數(shù)最大值是______．【答案】【解析】由，解得，，當時，取得最大值.16.已知函數(shù)，若存在四個不同的實數(shù)，，，滿足，且，則______．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，當時，對稱軸為所以，當時，，令，解得，所以時對稱軸為，此時，設，若存在四個不同的實數(shù)，，，滿足，則，由圖可知，關于直線對稱，，關于直線對稱，所以，，則．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當時，求集合；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）當時，集合，，故．（2）當時，，即，滿足，故滿足題意；當時，，即時，，解得，于是得，所以，故實數(shù)m的取值范圍是．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）解關于x的不等式．解：（1）證明：由題意，解得，所以函數(shù)的定義域為．因?qū)θ我舛加?，，所以是奇函?shù).（2）原不等式可化為，又函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得或，所以原不等式的解集為．19.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．解：（1）由圖象得：，，所以，，所以，又由，，可得，所以．令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由，因為，可得，所以，則.20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為實施“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，充分利用當?shù)刈匀毁Y源，大力發(fā)展特色水果產(chǎn)業(yè)，將該鎮(zhèn)打造成“水果小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下函數(shù)關系：，肥料成本投入為4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工費）為6x元，已知該水果的售價為10元/千克，且銷路暢通供不應求，記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？單株利潤最大值是多少元？解：（1）.（2），當時，；當時，，當且僅當，即時等號成立．由得當時，．所以當施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，單株利潤最大值是90元．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；（2）若函數(shù)在上有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）.故最小正周期.由，，得函數(shù)對稱軸方程為，．（2），令，得．要使在上有2個零點，則函數(shù)與函數(shù)圖像在上有2個交點，因為，所以．作出在的圖像，得或，解得或，即a的取值范圍為.22.已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）設函數(shù)，若對任意，存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）當時，，，令，因為，則，所以，其中，則時，，時，，即，所以的值域為.（2）由，，設，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因為對任意，存在，使得，則，所以，在上恒成立，令，因為，則，即在上恒成立，則在上恒成立，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，即．安徽省宣城市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.集合，，則＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合，，則，.故選：B.2.設，使得不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，對比選項可知不等式成立的一個充分不必要條件是.故選：D.3.若命題“，使”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意命題“，使”是真命題，所以，當且僅當，有，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.4.已知，且，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A：若滿足，則不滿足，故A錯誤；對于B：若滿足，則不滿足，故B錯誤；對于C：若滿足，則不滿足，故C錯誤；對于D：令，易知函數(shù)在R上增函數(shù)，因為，所以，則，故D正確.故選：D.5.已知函數(shù)滿足，且，則（）A.0 B.1 C.5 D.【答案】C【解析】由題意在中令，則，解得，令，則，則，所以.故選：C.6.設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，所以.故選：A.7.已知，且，，則的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由得，于是，又，，所以，因此，當且僅當，即時，等號成立，故.故選：B.8.已知定義在R上的函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且對任意的，總有，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又已知在上單調(diào)遞減，所以，可得因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，由對稱性可知，所以當時，取得最大值，即最大值為，在當時取得最小值，即最小值為，要使對任意的，都有，只要成立即可，所以，解得，又，所以的取值范圍，即.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，則的可能取值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】AC【解析】當時，；當時，.所以的值為.故選：AC.10.下列運算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.11.對任意的，函數(shù)的值域是．則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.的最小值是12 D.的最小值是【答案】ABC【解析】因為函數(shù)的值域是，所以，且，即，所以，故AB正確；由，得，則，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值是12，故C正確；由，得，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是，故D錯誤.故選：ABC.12.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關于函數(shù)的結(jié)論中正確的是（）A.在上是單調(diào)遞增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.的值域是【答案】ACD【解析】因為使得，所以此時，，所以，所以是周期為1的周期函數(shù)，故C正確；對于D，我們只需考慮在上的值域即可，此時，故D正確；對于A，因為在上單調(diào)遞增，而是周期為1的周期函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確；對于B，因為是周期為1的周期函數(shù)，所以，即不是奇函數(shù)，故B錯誤.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)______．【答案】2【解析】由冪函數(shù)的解析式可得，即，解得或，當時，在上是減函數(shù)，不符合題意；當時，在上是增函數(shù)，符合題意.綜上可知，.14.已知角滿足，則__________________.【答案】【解析】〖祥解〗由題意得．15.已知實數(shù)x滿足不等式，則函數(shù)最大值是______．【答案】【解析】由，解得，，當時，取得最大值.16.已知函數(shù)，若存在四個不同的實數(shù)，，，滿足，且，則______．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，當時，對稱軸為所以，當時，，令，解得，所以時對稱軸為，此時，設，若存在四個不同的實數(shù)，，，滿足，則，由圖可知，關于直線對稱，，關于直線對稱，所以，，則．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當時，求集合；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）當時，集合，，故．（2）當時，，即，滿足，故滿足題意；當時，，即時，，解得，于是得，所以，故實數(shù)m的取值范圍是．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）解關于x的不等式．解：（1）證明：由題意，解得，所以函數(shù)的定義域為．因?qū)θ我舛加?，，所以是奇函?shù).（2）原不等式可化為，又函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得或，所以原不等式的解集為．19.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值．解：（1）由圖象得：，，所以，，所以，又由，，可得，所以．令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由，因為，可得，所以，則.20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為實施“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，充分利用當?shù)刈匀毁Y源，大力發(fā)展特色水果產(chǎn)業(yè)，將該鎮(zhèn)打造成“水果小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下函數(shù)關系：，肥料成本投入為4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工費）為6x元，已知該水果的售價為10元/千克，且銷路暢通供不應求，記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？單株利潤最大值是多少元？解：（1）.（2），當時，；當時，，當且僅當，即時等號成立．由得當時，．所以當施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，單株利潤最大值是90元．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；（2）若函數(shù)在上有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍．解