2023-2024學(xué)年河南省開(kāi)封市高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開(kāi)封市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則它的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A.2.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知，所以；因此可得.故選：C3.已知為等差數(shù)列，且，為方程的兩根，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，是方程的兩根，所以，則．故選：D．4.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.6 B.8 C.9 D.12【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，，所以，，解得，所以，故選：C5.已知圓，圓，則與的位置關(guān)系是（）A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】D【解析】易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心，半徑；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心，半徑；顯然圓心距，且，即，可得兩圓內(nèi)切.故選：D6.已知雙曲線的一條漸近線方程為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線C:x2a可設(shè)雙曲線，代入A3,2可得：，則雙曲線，即，可知，所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：B.7.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】F（2，0）,K（-2，0），過(guò)A作AM⊥準(zhǔn)線，則|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，三角形APM為等腰直角三角形，設(shè)A（m2，2m）（m＞0）,由得，解得則△AFK的面積=4×2m?=4m=8,故選B.8.某汽車集團(tuán)從2023年開(kāi)始大力發(fā)展新能源汽車，2023年全年生產(chǎn)新能源汽車2000輛，每輛車的利潤(rùn)為1萬(wàn)元.如果在后續(xù)的幾年中，經(jīng)過(guò)技術(shù)不斷創(chuàng)新，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的，每輛車的利潤(rùn)都比前一年增加1000元，則生產(chǎn)新能源汽車6年的時(shí)間內(nèi)，該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)約為（假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車都能銷售出去，參考數(shù)據(jù)：）（）A.2.291億 B.2.59億 C.22.91億 D.25.9億【答案】B【解析】設(shè)第n年每輛車的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則每輛車的利潤(rùn)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，設(shè)第n年新能源汽車的銷量為輛，則該汽車的銷量構(gòu)成首項(xiàng)為2000，公比為的等比數(shù)列，所以，設(shè)該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)為S萬(wàn)元，則①，②，①﹣②得，所以萬(wàn)元即億元，所以該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)約為億元.故選：B二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知直線l的方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列點(diǎn)中在直線l上的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由題意可知，直線l的方程可表示為，即；經(jīng)檢驗(yàn)可得點(diǎn)，，在直線l上，不在直線l上.故選：ACD10.已知四面體ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以，正確；對(duì)于B，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，正確；對(duì)于D，，錯(cuò)誤.故選：AC11.已知橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）A. B.或C.弦長(zhǎng)的最大值為 D.點(diǎn)一定在直線上【答案】AD【解析】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：，聯(lián)立橢圓與直線的方程，得：，由判別式，得，即，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；韋達(dá)定理：，弦長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)取最大值，，選項(xiàng)C不正確；由直線，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，選項(xiàng)D正確.故選：AD.12.已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則（）A.存在直線平面，使得平面B.存在直線平面，使得平面C.點(diǎn)到平面的距離為D.與平面所成角的余弦值為【答案】BC【解析】對(duì)于A，假設(shè)存在直線平面，使得平面，則可得平面平面，顯然不成立，即假設(shè)不成立，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得，且，可知四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面；所以平面，即存在直線平面，使得平面，即B正確；對(duì)于C，連接，如下圖所示：易知，，，則的面積為；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由可得，解得，即可知C正確；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：易知，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，解得，即；又，可得，由線面角法向量求法可得與平面所成角的正弦值為，余弦值為，可得D錯(cuò)誤；故選：BC三、填空題：本題共4小題.13.已知數(shù)列an的首項(xiàng)為，遞推公式為，則______．【答案】【解析】由題意，.故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面，內(nèi)的射影分別為點(diǎn)，則______．【答案】【解析】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知，，則，所以.故答案為：15.已知圓，若直線與圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，則的最小值是______．【答案】【解析】因?yàn)橹本€，即，可知直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)閳A的圓心，半徑，且，即點(diǎn)在圓內(nèi)，可知直線與圓相交，由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值.故答案為：.16.已知過(guò)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0左焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與C交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)【答案】【解析】由題意，F(xiàn)1-c,0，所以直線的方程為，令得，因?yàn)锳是的中點(diǎn)，所以，將點(diǎn)代入得，結(jié)合化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以或，又，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖,在空間四邊形ABCD中,，，，，.（1）求；（2）求CD的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，，，所以；?）因?yàn)?，所以，所?18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求通項(xiàng)公式；（2）求的最大值及取得最大值時(shí)n的值．解：（1）記的公差為d，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以．?）因?yàn)樗裕?dāng)n取與最接近的整數(shù)即5或6時(shí)，最大，最大值為．19.已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與直線AB平行且與圓C相切的直線的方程．解：（1）如下圖所示：設(shè)圓心，因?yàn)閳A心C在直線上，所以，因?yàn)锳，B是圓上的點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即，解之可得，，所以圓心，半徑，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線斜率為，所以所求直線的斜率也為，設(shè)所求直線方程為，所以圓心C到該直線的距離為，解之得，所以所求直線方程為：．20.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由可得，因?yàn)?，所以，，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，所以．21.如圖，在三棱錐中，平面ABC，．（1）求證：平面平面PBC；（2）若，M是PB的中點(diǎn)，求平面ACM與平面PBC的夾角．解：（1）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又因?yàn)?，，平面PAC，所以平面PAC，又平面PBC，所以平面平面PBC．（2）由（1）平面PAC，又平面APC，所以，作分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)，則，，，，，可得，，設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為，則，取，則平面ACM的一個(gè)法向量為．取PC的中點(diǎn)，，平面PAC，由（1）中平面PAC，可得，，又平面PBC，所以平面PBC，所以平面PBC的一個(gè)法向量為，所以，所以平面ACM與平面PBC的夾角為．22.已知橢圓，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，．（1）求C的離心率e；（2）已知MN為C的一條過(guò)原點(diǎn)的弦（M，N不同于點(diǎn)A）．（?。┣笞C：直線AM，AN斜率之積為定值，并求出該值；（ⅱ）若直線AM，AN與y軸分別交于點(diǎn)D，E，且△ADE面積的最小值為，求橢圓C的方程．解：（1），，所以．（2）（?。┰O(shè)Aa,0，Mx1,y1，，則，由，得，所以為定值．（ⅱ）記，，則直線，所以，同理，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，此時(shí)，所以橢圓D的方程為：．河南省開(kāi)封市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則它的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A.2.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知，所以；因此可得.故選：C3.已知為等差數(shù)列，且，為方程的兩根，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，是方程的兩根，所以，則．故選：D．4.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.6 B.8 C.9 D.12【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，，所以，，解得，所以，故選：C5.已知圓，圓，則與的位置關(guān)系是（）A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】D【解析】易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心，半徑；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心，半徑；顯然圓心距，且，即，可得兩圓內(nèi)切.故選：D6.已知雙曲線的一條漸近線方程為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線C:x2a可設(shè)雙曲線，代入A3,2可得：，則雙曲線，即，可知，所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：B.7.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】F（2，0）,K（-2，0），過(guò)A作AM⊥準(zhǔn)線，則|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，三角形APM為等腰直角三角形，設(shè)A（m2，2m）（m＞0）,由得，解得則△AFK的面積=4×2m?=4m=8,故選B.8.某汽車集團(tuán)從2023年開(kāi)始大力發(fā)展新能源汽車，2023年全年生產(chǎn)新能源汽車2000輛，每輛車的利潤(rùn)為1萬(wàn)元.如果在后續(xù)的幾年中，經(jīng)過(guò)技術(shù)不斷創(chuàng)新，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的，每輛車的利潤(rùn)都比前一年增加1000元，則生產(chǎn)新能源汽車6年的時(shí)間內(nèi)，該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)約為（假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車都能銷售出去，參考數(shù)據(jù)：）（）A.2.291億 B.2.59億 C.22.91億 D.25.9億【答案】B【解析】設(shè)第n年每輛車的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則每輛車的利潤(rùn)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，設(shè)第n年新能源汽車的銷量為輛，則該汽車的銷量構(gòu)成首項(xiàng)為2000，公比為的等比數(shù)列，所以，設(shè)該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)為S萬(wàn)元，則①，②，①﹣②得，所以萬(wàn)元即億元，所以該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)約為億元.故選：B二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知直線l的方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列點(diǎn)中在直線l上的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由題意可知，直線l的方程可表示為，即；經(jīng)檢驗(yàn)可得點(diǎn)，，在直線l上，不在直線l上.故選：ACD10.已知四面體ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以，正確；對(duì)于B，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，正確；對(duì)于D，，錯(cuò)誤.故選：AC11.已知橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）A. B.或C.弦長(zhǎng)的最大值為 D.點(diǎn)一定在直線上【答案】AD【解析】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：，聯(lián)立橢圓與直線的方程，得：，由判別式，得，即，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；韋達(dá)定理：，弦長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)取最大值，，選項(xiàng)C不正確；由直線，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，選項(xiàng)D正確.故選：AD.12.已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則（）A.存在直線平面，使得平面B.存在直線平面，使得平面C.點(diǎn)到平面的距離為D.與平面所成角的余弦值為【答案】BC【解析】對(duì)于A，假設(shè)存在直線平面，使得平面，則可得平面平面，顯然不成立，即假設(shè)不成立，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得，且，可知四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面；所以平面，即存在直線平面，使得平面，即B正確；對(duì)于C，連接，如下圖所示：易知，，，則的面積為；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由可得，解得，即可知C正確；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：易知，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，解得，即；又，可得，由線面角法向量求法可得與平面所成角的正弦值為，余弦值為，可得D錯(cuò)誤；故選：BC三、填空題：本題共4小題.13.已知數(shù)列an的首項(xiàng)為，遞推公式為，則______．【答案】【解析】由題意，.故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面，內(nèi)的射影分別為點(diǎn)，則______．【答案】【解析】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知，，則，所以.故答案為：15.已知圓，若直線與圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，則的最小值是______．【答案】【解析】因?yàn)橹本€，即，可知直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)閳A的圓心，半徑，且，即點(diǎn)在圓內(nèi)，可知直線與圓相交，由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值.故答案為：.16.已知過(guò)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0左焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與C交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)【答案】【解析】由題意，F(xiàn)1-c,0，所以直線的方程為，令得，因?yàn)锳是的中點(diǎn)，所以，將點(diǎn)代入得，結(jié)合化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以或，又，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖,在空間四邊形ABCD中,，，，，.（1）求；（2）求CD的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋?，，所以；?）因?yàn)椋?，所?18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求通項(xiàng)公式；（2）求的最大值及取得最大值時(shí)n的值．解：（1）記的公差為d，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以．?）因?yàn)樗裕?dāng)n取與最接近的整數(shù)即5或6時(shí)，最大，最大值為．19.已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與直線AB平行且與圓C相切的直線的方程．解：（1）如下圖所示：設(shè)圓心，因?yàn)閳A心C在直線上，所以，因?yàn)锳，B是圓上的點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離