2023-2024學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在等比數(shù)列中，若，則（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè)的公比為，則，所以，所以故選：D.2.已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C3.已知曲線的焦距為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，該曲線的半焦距為，若該曲線為橢圓，則或，可得(舍去)或，若該曲線為雙曲線，則，可得(舍去)，綜上，故選：B4.若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()，則，解得（負(fù)值舍），所以的準(zhǔn)線方程為，即.故選：D5.已知向量，且，則（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】，因?yàn)?，設(shè)，則，解得，所以故選：C6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將有三條棱互相平行且只有一個(gè)面為平行四邊形的五面體稱為芻甍.如圖，今有一芻甍，四邊形為平行四邊形，平面，且，點(diǎn)在棱上，且.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得.又因?yàn)?，所?故選：A7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】可化為，表示圓心為，半徑為的圓，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，則，當(dāng)此直線與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，由，整理得，解得或，故的最小值為.故選：B.8.已知斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的斜率為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，兩式作差可得，因?yàn)?，又，所以，所以的離心率為.故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)與到直線的距離相等，則的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題知，過的中點(diǎn)，或的斜率與的斜率相等，又的中點(diǎn)為，則過點(diǎn)的直線為AD選項(xiàng)；又的斜率為，則B選項(xiàng)符合條件.故選：ABD10.已知均是公差不為0的等差數(shù)列，且，記的前項(xiàng)和分別為，則（）A. B.C.為遞增數(shù)列 D.【答案】AD【解析】對(duì)于A，由，得，故A正確；對(duì)于B，設(shè)的公差分別為，均不為0，所以，即，所以，所以，所以無法確定的通項(xiàng)公式，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B，不妨取，因此，則為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故D正確.故選：AD11.已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.的最小值為B.以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相離C.的面積為定值D.【答案】BD【解析】設(shè).對(duì)于A，若，則與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直線為軸，與不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，過分別向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，則，因此以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相離，故B正確；對(duì)于C，的面積為為定值，顯然不是定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意，直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立與，得，從而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得此時(shí)，因此，故D正確.故選：BD.12.已知四棱臺(tái)的底面為正方形,棱底面,且，則下列說法正確的是（）A.直線與平面相交B.若直線與平面交于點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn)C.平面將該四棱臺(tái)分成的大?小兩部分體積之比為D.若點(diǎn)分別在直線上運(yùn)動(dòng)，則線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.對(duì)于A，由，可知為平面的一個(gè)法向量，又，所以，因此與不垂直，即直線與平面相交，故A正確；對(duì)于B，連接、、,設(shè)正方形的中心為，正方形的中心為，則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，可得平面，、平面，故與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，由，故，且，故與相似，故，故是的一個(gè)三等分點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，延長(zhǎng)至，使得，則，又，所以，從而平面分四棱臺(tái)所成的大?小兩部分的體積之比為：，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，其中，因此，則，因此，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)度的最小值為，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的一條漸近線方程為__________.【答案】（或，答案不唯一）【解析】由得，，焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：（或答案不唯一）14.直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】由得，聯(lián)立方程得解得即定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：15.已知公比的等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，則__________.【答案】【解析】解析由成等差數(shù)列得，即，因?yàn)椋?，解得（舍去）或，易知成等比，所以，所?故答案為：16.如圖，已知是圓的弦，為的中點(diǎn)，且在弦上的射影為，則，該定理稱為阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，點(diǎn)在直線下方，，則過點(diǎn)的圓的方程為__________.【答案】【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以為直徑，?設(shè)，則，解得（舍去）或，設(shè)，由，得，解得，過點(diǎn)的圓，是以為直徑的圓，所以其圓心為，半徑為故答案為：.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（1）已知等差數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；（2）已知等比數(shù)列的公比，且，求的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，解得，所以；（2）因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，且，所以，所以，所以.18.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng).解：（1）由題意知的半焦距，因?yàn)殡x心率，所以，，所以的方程為.（2）聯(lián)立方程得解得所以.由對(duì)稱性可知，所以的周長(zhǎng)為.19.已知圓經(jīng)過和兩點(diǎn)，且與軸的正半軸相切.（1）求圓的方程；（2）若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，求圓的方程.解：（1）根據(jù)題意設(shè)圓方程為，其中.將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程得，解得.因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)閳A與圓關(guān)于對(duì)稱，所以兩個(gè)圓的圓心關(guān)于對(duì)稱，半徑相等.由（1）知圓的圓心為，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得：，，即所以圓的方程為.20.如圖，在四棱錐中,平面,且，.（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，故兩兩垂直，根?jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.因此，所以又因?yàn)椋矫?，所以直線平面.（2）根據(jù)（1）知，為平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，則.因?yàn)?所以平面與平面夾角的余弦值為.21.已知在數(shù)列中，的前項(xiàng)和.（1）證明：為等差數(shù)列；（2）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，所以，兩式相減得，整理得，所以，兩式相減整理得，即為等差數(shù)列.（2）由條件及（1）知是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.所以，則，兩式相減得，整理得.22.已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，且.（1）求的方程；（2）已知直線與交于兩點(diǎn)，過分別作的切線，若兩切線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，證明：經(jīng)過定點(diǎn).解：（1）因?yàn)椋郧€是以為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，所以實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，虛半軸長(zhǎng)，所以曲線的方程為.（2）由題知切線斜率均存在，所以設(shè)過點(diǎn)所作的切線分別為，由題意知且，由得，因?yàn)榕c相切，所以，且，整理得.此時(shí)可得，即.同理.由得.直線的斜率為，所以的方程為，令，得，即經(jīng)過定點(diǎn).湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在等比數(shù)列中，若，則（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】設(shè)的公比為，則，所以，所以故選：D.2.已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C3.已知曲線的焦距為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，該曲線的半焦距為，若該曲線為橢圓，則或，可得(舍去)或，若該曲線為雙曲線，則，可得(舍去)，綜上，故選：B4.若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()，則，解得（負(fù)值舍），所以的準(zhǔn)線方程為，即.故選：D5.已知向量，且，則（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】，因?yàn)?，設(shè)，則，解得，所以故選：C6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將有三條棱互相平行且只有一個(gè)面為平行四邊形的五面體稱為芻甍.如圖，今有一芻甍，四邊形為平行四邊形，平面，且，點(diǎn)在棱上，且.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得.又因?yàn)?，所?故選：A7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】可化為，表示圓心為，半徑為的圓，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，則，當(dāng)此直線與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，由，整理得，解得或，故的最小值為.故選：B.8.已知斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的斜率為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，兩式作差可得，因?yàn)?，又，所以，所以的離心率為.故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)與到直線的距離相等，則的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題知，過的中點(diǎn)，或的斜率與的斜率相等，又的中點(diǎn)為，則過點(diǎn)的直線為AD選項(xiàng)；又的斜率為，則B選項(xiàng)符合條件.故選：ABD10.已知均是公差不為0的等差數(shù)列，且，記的前項(xiàng)和分別為，則（）A. B.C.為遞增數(shù)列 D.【答案】AD【解析】對(duì)于A，由，得，故A正確；對(duì)于B，設(shè)的公差分別為，均不為0，所以，即，所以，所以，所以無法確定的通項(xiàng)公式，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B，不妨取，因此，則為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD11.已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.的最小值為B.以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相離C.的面積為定值D.【答案】BD【解析】設(shè).對(duì)于A，若，則與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直線為軸，與不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，過分別向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，則，因此以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相離，故B正確；對(duì)于C，的面積為為定值，顯然不是定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意，直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立與，得，從而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得此時(shí)，因此，故D正確.故選：BD.12.已知四棱臺(tái)的底面為正方形,棱底面,且，則下列說法正確的是（）A.直線與平面相交B.若直線與平面交于點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn)C.平面將該四棱臺(tái)分成的大?小兩部分體積之比為D.若點(diǎn)分別在直線上運(yùn)動(dòng)，則線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.對(duì)于A，由，可知為平面的一個(gè)法向量，又，所以，因此與不垂直，即直線與平面相交，故A正確；對(duì)于B，連接、、,設(shè)正方形的中心為，正方形的中心為，則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，可得平面，、平面，故與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，由，故，且，故與相似，故，故是的一個(gè)三等分點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，延長(zhǎng)至，使得，則，又，所以，從而平面分四棱臺(tái)所成的大?小兩部分的體積之比為：，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，其中，因此，則，因此，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)度的最小值為，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的一條漸近線方程為__________.【答案】（或，答案不唯一）【解析】由得，，焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：（或答案不唯一）14.直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】由得，聯(lián)立方程得解得即定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：15.已知公比的等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，則__________.【答案】【解析】解析由成等差數(shù)列得，即，因?yàn)?，所以，解得（舍去）或，易知成等比，所以，所?故答案為：16.如圖，已知是圓的弦，為的中點(diǎn)，且在弦上的射影為，則，該定理稱為阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，點(diǎn)在直線下方，，則過點(diǎn)的圓的方程為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以為直徑，?設(shè)，則，解得（舍去）或，設(shè)，由，得，解得，過點(diǎn)的圓，是以為直徑的圓，所以其圓心為，半徑為故答案為：.四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（1）已知等差數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；（2）已知等比數(shù)列的公比，且，求的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，解得，所以；（2）因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，且，所以，所以，所以.18.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng).解：（1）由題意知的半焦距，因?yàn)殡x心率，所以，，所以的方程為.（2）聯(lián)立方程得解得所以.由對(duì)稱性可知，所以的周長(zhǎng)為.19.已知圓經(jīng)過和兩點(diǎn)，且與軸的正半軸相切.（1