2023-2024學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，若，則a的值可能為（）A.，3 B. C.，3，8 D.，8【答案】D【解析】由題意若，解得或，若，解得，當時，滿足題意，當時，違背了集合中元素間的互異性，當時，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.2.下列說法正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則B.若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則不等式的解集為C.函數(shù)在上是減函數(shù)D.與為同一函數(shù)【答案】B【解析】對于A，若是奇函數(shù)，且定義域中包含0，才有，A錯誤；對于B，若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則，得，所以，其在上為減函數(shù)，若，則，解得，B正確；對于C，函數(shù)在和上是減函數(shù)，C錯誤；對于D，函數(shù)，與不是同一函數(shù)，D錯誤.故選：B.3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】C【解析】對于A，當時，無意義，故A錯誤；對于B，當時，無意義，故B錯誤；對于C，若且，則，，故C正確；對于D，令，則，，顯然，故D錯誤.故選：C.4.太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水，回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊凈水器處理成飲用水循環(huán)使用．凈化過程中，每過濾一次可減少水中雜質(zhì)10%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的1%以下，至少需要過濾的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.42次 B.43次 C.44次 D.45次【答案】C【解析】設(shè)經(jīng)過次過濾達到要求，原來水中雜質(zhì)為1，由題意，即，所以，所以，所以至少需要過濾的次數(shù)為44次.故選：C.5.已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，由于，又，，則，所以，函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，所以，即.故選：A.6.甲、乙兩選手進行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則乙最終獲勝的概率為（）A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648【答案】B【解析】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：一是前兩局乙獲勝，則獲勝的概率為，二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，則獲勝的概率為，而這兩種情況是互斥的，所以乙最終獲勝的概率為.故選：B.7.若把函數(shù)圖象平移，可以使圖象上的點變換成點，則函數(shù)的圖象經(jīng)此平移變換后所得的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知圖象上的點變換成點，意味著函數(shù)的圖象向右平移一個單位且向下平移2個單位，此時對應(yīng)的函數(shù)解析式為，若，則時，且單調(diào)遞減，時，且單調(diào)遞增，對比選項可知D選項符合題意.故選：D.8.已知，且滿足，則的值為（）A.0 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為，所以，令，因為在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，又時，，所以為奇函數(shù)，所以，所以，又，所以，可得，即故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法錯誤的是（）A.命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個奇數(shù)能被3整除”B.“菱形是正方形”是全稱命題C.式子化簡后為D.“”是“，有為真命題”的充分不必要條件【答案】AD【解析】對于A，命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)能被3整除”，故A符合題意；對于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全稱命題，故B不符合題意；對于C，若式子有意義，則，即，所以，故C不符合題意；對于D，，有，等價于，有，等價于，所以“”是“，有為真命題”的必要不充分條件，故D符合題意.故選：AD.10.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（）A.B.圖象的對稱中心為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.滿足的x的取值范圍是【答案】BC【解析】對于選項A，將代入等式，可得，選項A錯誤；對于選項B，若函數(shù)滿足，即，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，選項B正確；對于選項C，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，選項C正確；對于選項D，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，可得：當時，，解得，則；當時，，解得，則；所以不等式的解集為，選項D不正確.故選：BC.11.已知樣本甲：與樣本乙：滿足關(guān)系，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.樣本乙的極差等于樣本甲的極差B.若某個為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)C.樣本乙眾數(shù)小于樣本甲的眾數(shù)D.若某個為樣本甲的平均數(shù)，則是樣本乙的平均數(shù)【答案】ACD【解析】由樣本甲：，，，…，與樣本乙：，，，…，滿足，知：樣本乙的極差不等于樣本甲的極差，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故A中結(jié)論不正確；不妨令，因為在上單調(diào)遞減，則，所以若某個為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)，故B中結(jié)論正確；因為在上單調(diào)遞減，則樣本乙的眾數(shù)等于樣本甲的眾數(shù)，故C中結(jié)論不正確；若某個為樣本甲的平均數(shù)，則不一定是樣本乙的平均數(shù)，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故D中結(jié)論不正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的零點相同，則的取值可能是（）A.2 B. C.0 D.4【答案】AC【解析】設(shè)的零點為，則，又，故，解得，則．，因為函數(shù)與函數(shù)的零點相同，所以方程無解或與方程的解相同，所以或，解得，所以．故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.某班擬從2名男學(xué)生和1名女學(xué)生中隨機選派2名學(xué)生去參加一項活動，則恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動的概率是______．【答案】【解析】設(shè)2名男學(xué)生分別為,1名女學(xué)生為，所以選派2名學(xué)生去參加一項活動共有：三種情況，符合題意的情況有兩種，所以恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動的概率是.14.在一次籃球比賽中，某球隊共進行了9場比賽，得分分別26，37，23，45，32，36，40，42，51，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為______．【答案】40【解析】將得分從小到大排列有又，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第6個數(shù)，即40.15.已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為______．【答案】【解析】因為區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，則有，，，，所以，且a，b是兩個不同的正數(shù)，則有，當且僅當時即，等號成立，滿足，故的最小值是.16.記表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】如圖所示：若，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有1個交點，即函數(shù)恰有1個零點，不符合題意；如圖所示：若函數(shù)恰有2個零點，且，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，顯然當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，只需保證當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，則，解不等式組得，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）當時，集合，可得或，所以.（2）由題知，集合A是集合B的真子集，當時，，即，符合題意，當時，則，即，且滿足，兩式不能同時取等號，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍為．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）用二分法求方程在區(qū)間上的一個近似解（精確度為0.1）．解：（1）在單調(diào)遞增；證明如下：任取，不妨設(shè)，，因為，則，，，可得，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）因為函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)且單調(diào)的，可知其在區(qū)間上的零點即為方程在區(qū)間上的解，且，，可得在內(nèi)有且僅有一個零點，在區(qū)間上利用二分法列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值區(qū)間長度1此時解在區(qū)間，此區(qū)間長度為，，滿足精確度為0.1，故區(qū)間，即內(nèi)任意一個實數(shù)都是對應(yīng)方程符合精確度要求的一個近似解，比如2.6是方程在上的一個近似解．19.已知函數(shù)（，且），從下面兩個條件中選擇一個進行解答．①的反函數(shù)經(jīng)過點；②的解集為．（1）求實數(shù)a的值；（2）若，，求的最值及對應(yīng)x的值．解：（1）若選①：由題知，函數(shù)的反函數(shù)為，則，即；若選②：由題知，的解集為，因為，所以，即.（2）由（1）知，，則，令，則，當，即時，；當，即時，，綜上：當時，；當時，．20.從某學(xué)校800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組的人數(shù)為4．（1）求第七組的頻率；（2）估計該校800名男生身高的中位數(shù)；（3）從樣本身高屬于第六組和第八組的男生中隨機抽取兩名，若他們的身高分別為x，y，記為事件E，求．解：（1）第六組的頻率為，則第七組的頻率為.（2）由圖知，身高在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，由于，，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由，得，所以這所學(xué)校800名男生身高的中位數(shù)為174.5cm.（3）樣本身高在第六組的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，在第八組的人數(shù)為，設(shè)為A，B，則從中隨機抽取兩名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組時，事件E發(fā)生，所以事件E包含的基本事件為，，，，，，共7種情況，所以．21.已知，函數(shù)，．（1）若，求不等式的解集；（2）求不等式的解集；（3），不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）令，，即，解得或，所以或，解得.（2）依題意得，，即，當時，；當時，x的解集為空集；當時，.（3）依題意得，因為，所以，又，，當且僅當時，取得等號，所以，即．22.近幾年，直播平臺作為一種新型的學(xué)習(xí)渠道，正逐漸受到越來越多人們的關(guān)注和喜愛．某平臺從2020年建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐年增加．已知從2020到2023年，每年年末該平臺的會員人數(shù)如下表所示（注：第4年數(shù)據(jù)為截止到2023年10月底的數(shù)據(jù)）．建立平臺第x年1234會員人數(shù)y（千人）28365282（1）請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個模型中選擇一個恰當?shù)哪Ｐ凸浪阍撈脚_建立年后會員人數(shù)y（千人），求出你所選擇模型的解析式，并預(yù)測2023年年末的會員人數(shù)；①；②（且）；③（且）；（2）為了更好的維護管理平臺，該平臺規(guī)定第x年的會員人數(shù)上限為千人，請根據(jù)（1）中得到的函數(shù)模型，求k的最小值．解：（1）由數(shù)據(jù)可知，函數(shù)是一個增函數(shù)，且增長越來越快，故選擇模型③，由表格中的數(shù)據(jù)可得，，，解得，，，故函數(shù)模型的解析式為，當時，預(yù)測2023年年末的會員人數(shù)為千人.（2）由題知，對，都有，令，則，令，則不等式右邊等價于函數(shù)，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，即k的最小值為7．江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，若，則a的值可能為（）A.，3 B. C.，3，8 D.，8【答案】D【解析】由題意若，解得或，若，解得，當時，滿足題意，當時，違背了集合中元素間的互異性，當時，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.2.下列說法正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則B.若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則不等式的解集為C.函數(shù)在上是減函數(shù)D.與為同一函數(shù)【答案】B【解析】對于A，若是奇函數(shù)，且定義域中包含0，才有，A錯誤；對于B，若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則，得，所以，其在上為減函數(shù)，若，則，解得，B正確；對于C，函數(shù)在和上是減函數(shù)，C錯誤；對于D，函數(shù)，與不是同一函數(shù)，D錯誤.故選：B.3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】C【解析】對于A，當時，無意義，故A錯誤；對于B，當時，無意義，故B錯誤；對于C，若且，則，，故C正確；對于D，令，則，，顯然，故D錯誤.故選：C.4.太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水，回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊凈水器處理成飲用水循環(huán)使用．凈化過程中，每過濾一次可減少水中雜質(zhì)10%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的1%以下，至少需要過濾的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.42次 B.43次 C.44次 D.45次【答案】C【解析】設(shè)經(jīng)過次過濾達到要求，原來水中雜質(zhì)為1，由題意，即，所以，所以，所以至少需要過濾的次數(shù)為44次.故選：C.5.已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，由于，又，，則，所以，函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，所以，即.故選：A.6.甲、乙兩選手進行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則乙最終獲勝的概率為（）A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648【答案】B【解析】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：一是前兩局乙獲勝，則獲勝的概率為，二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，則獲勝的概率為，而這兩種情況是互斥的，所以乙最終獲勝的概率為.故選：B.7.若把函數(shù)圖象平移，可以使圖象上的點變換成點，則函數(shù)的圖象經(jīng)此平移變換后所得的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知圖象上的點變換成點，意味著函數(shù)的圖象向右平移一個單位且向下平移2個單位，此時對應(yīng)的函數(shù)解析式為，若，則時，且單調(diào)遞減，時，且單調(diào)遞增，對比選項可知D選項符合題意.故選：D.8.已知，且滿足，則的值為（）A.0 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為，所以，令，因為在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，又時，，所以為奇函數(shù)，所以，所以，又，所以，可得，即故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法錯誤的是（）A.命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個奇數(shù)能被3整除”B.“菱形是正方形”是全稱命題C.式子化簡后為D.“”是“，有為真命題”的充分不必要條件【答案】AD【解析】對于A，命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)能被3整除”，故A符合題意；對于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全稱命題，故B不符合題意；對于C，若式子有意義，則，即，所以，故C不符合題意；對于D，，有，等價于，有，等價于，所以“”是“，有為真命題”的必要不充分條件，故D符合題意.故選：AD.10.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（）A.B.圖象的對稱中心為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.滿足的x的取值范圍是【答案】BC【解析】對于選項A，將代入等式，可得，選項A錯誤；對于選項B，若函數(shù)滿足，即，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，選項B正確；對于選項C，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，選項C正確；對于選項D，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，可得：當時，，解得，則；當時，，解得，則；所以不等式的解集為，選項D不正確.故選：BC.11.已知樣本甲：與樣本乙：滿足關(guān)系，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.樣本乙的極差等于樣本甲的極差B.若某個為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)C.樣本乙眾數(shù)小于樣本甲的眾數(shù)D.若某個為樣本甲的平均數(shù)，則是樣本乙的平均數(shù)【答案】ACD【解析】由樣本甲：，，，…，與樣本乙：，，，…，滿足，知：樣本乙的極差不等于樣本甲的極差，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故A中結(jié)論不正確；不妨令，因為在上單調(diào)遞減，則，所以若某個為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)，故B中結(jié)論正確；因為在上單調(diào)遞減，則樣本乙的眾數(shù)等于樣本甲的眾數(shù)，故C中結(jié)論不正確；若某個為樣本甲的平均數(shù)，則不一定是樣本乙的平均數(shù)，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故D中結(jié)論不正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的零點相同，則的取值可能是（）A.2 B. C.0 D.4【答案】AC【解析】設(shè)的零點為，則，又，故，解得，則．，因為函數(shù)與函數(shù)的零點相同，所以方程無解或與方程的解相同，所以或，解得，所以．故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.某班擬從2名男學(xué)生和1名女學(xué)生中隨機選派2名學(xué)生去參加一項活動，則恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動的概率是______．【答案】【解析】設(shè)2名男學(xué)生分別為,1名女學(xué)生為，所以選派2名學(xué)生去參加一項活動共有：三種情況，符合題意的情況有兩種，所以恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動的概率是.14.在一次籃球比賽中，某球隊共進行了9場比賽，得分分別26，37，23，45，32，36，40，42，51，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為______．【答案】40【解析】將得分從小到大排列有又，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第6個數(shù)，即40.15.已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為______．【答案】【解析】因為區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，則有，，，，所以，且a，b是兩個不同的正數(shù)，則有，當且僅當時即，等號成立，滿足，故的最小值是.16.記表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】如圖所示：若，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有1個交點，即函數(shù)恰有1個零點，不符合題意；如圖所示：若函數(shù)恰有2個零點，且，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，顯然當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，只需保證當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，則，解不等式組得，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）當時，集合，可得或，所以.（2）由題知，集合A是集合B的真子集，當時，，即，符合題意，當時，則，即，且滿足，兩式不能同時取等號，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍為．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）用二分法求方程在區(qū)間上的一個近似解（精確度為0.1）．解：（1）在單調(diào)遞增；證明如下：任取，不妨設(shè)，，因為，則，，，可得，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）因為函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)且單調(diào)的，可知其在區(qū)間上的零點即為方程在區(qū)間上的解，且，，可得在內(nèi)有且僅有一個零點，在區(qū)間上利用二分法列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值區(qū)間長度1此時解在區(qū)間，此區(qū)間長度為，，滿足精確度為0.1，故區(qū)間，即內(nèi)任意一個實數(shù)都是對應(yīng)方程符合精確度要求的一個近似解，比如2.6是方程在上的一個近似解．19.已知函數(shù)（，且），從下面兩個條件中選擇一個進行解答．①的反函數(shù)經(jīng)過點；②的解集為．（1）求實數(shù)a的值；（2）若，，求的最值及對應(yīng)x的值．解：（1）若選①：由題知，函數(shù)的反函數(shù)為，則，即；若選②：由題知，的解集為，因為，所以，即.（2）由（1）知，，則，令，則，當，即時，；當，即時，，綜上：當時，；當時，．20.從某學(xué)校800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得