2023-2024學年山西省長治市高二上學期1月期末數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省長治市2023-2024學年高二上學期1月期末數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在數列，，，，…中，根據前5項的規(guī)律寫出的第12個數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】觀察可得，數列的第個數可以寫為，所以第12個數為：.故選：D2.某跳水運動員在距離地面高跳臺上練習跳水，其重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）的函數關系是，則該運動員在時的瞬時速度（單位：）為（）A. B.2.9 C.0.45 D.【答案】A【解析】由題意，求導后得，當時，，故A正確.故選：A.3.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，則，可知：所求切線的斜率為2，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：B.4.已知數列的前項和為,且滿足,,若,則（）A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】因為，所以數列是等差數列，設公差為d，則，可得，又，可得，.故選：C5.已知直線與直線垂直，則的值為（）A.1或 B.1或4 C.2或 D.2或3【答案】D【解析】由題意可得，即，解得或.故選：D.6.函數的導函數的圖象如圖所示，那么該函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知與軸有三個交點，不妨設為，當，，當，,當，，當，，所以在區(qū)間，單調遞減，故A、C錯誤；在區(qū)間,單調遞增，故B錯誤，故D正確.故選：D.7.已知圓的半徑為1，以點為圓心，若圓上的點到原點的距離的最大值為7，則實數的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設為圓上點，則.因為.故選：A8.已知數列滿足，，若成立，則的最大值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】因為，整理得，且，可知是以首項為3，公差為1的等差數列，所以，可得，當時，可得，且符合上式，所以，則，解得，即的最大值為8．故選：B．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列導數運算正確是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】選項A，，故A正確；選項B，，故B錯誤；選項C，，故C正確；選項D，，故D錯誤.故選：AC.10.在三棱錐中,,,,點在直線上,且，是的中點，則下列結論可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，因為是的中點，可得，所以A不正確；對于B，當點在線段上時，因為，此時，則，所以B正確；對于C，當點在線段的延長線上時，因為，此時為的中點，可得，所以C正確；對于D，當點在線段上時，可得；當點在線段的延長線上時，，當點在線段的延長線上時，不可能成立，所以D不正確.綜上可得，可能正確的結論為BC.故選：BC.11.如圖所示是某家用汽車遠光燈示意圖，其中心截口曲線是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點處，且燈口直徑是，燈深，則（）A.遠光燈光線按照路徑射向遠處B.光源到反光鏡頂點的距離是C.與拋物線對稱軸垂直的光線長度為D.燈口上任意一點到焦點的距離是【答案】AD【解析】對于選項A：根據題意可知：遠光燈光線按照路徑射向遠處，故A正確；如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，可知，可得，解得，所以拋物線方程為，焦點坐標為，對于選項B：光源到反光鏡頂點的距離是，故B錯誤；對于選項C：與拋物線對稱軸垂直的光線長度為，故C錯誤；對于選項D：燈口上任意一點到焦點的距離是，故D正確；故選：AD.12.已知在有兩個極值點，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】，因為在上有兩個極值點，，即方程有兩個解，若，則，方程即為，不成立，所以.所以，在和兩個區(qū)間上各有一解，，不妨設，函數和在上的草圖如下：則，，所以，故A正確；又，由在上單調遞增，所以，故B正確；因為，，所以，，，所以，因為在上單調遞增，所以，所以，故C正確；，因為，且，所以；且，所以，故D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數列為等比數列，，，則______.【答案】12【解析】設等比數列的公比為，由題意可得：，則，且，所以.故答案為：12.14.若函數（且）在區(qū)間上單調遞增，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】由函數（且）在區(qū)間上單調遞增，得在區(qū)間上恒成立，又在區(qū)間上恒正，只需滿足在區(qū)間上恒成立即可，令，若，則，則一次函數在區(qū)間上單調遞減，不可能恒正；若，則，則一次函數在區(qū)間單調遞增，所以只需，即，解得，故答案為：.15.已知數列滿足，則的通項公式______.【答案】【解析】因為，若，可得；若，則，可得；且符合上式，可得，所以.故答案為：.16.在雙曲線型冷卻塔（如圖）的建設過程中,人員、物料的運輸一直是困擾施工的難題,經實踐探索設計出“附墻升降機”,其結構如圖所示,安裝之后附著在冷卻塔的外側,通過升降吊籠完成輸送任務.假設該冷卻塔的最小半徑為,上口半徑為,下口半徑為，高為.附墻升降機軌道在點以下與冷卻塔貼合,從點到頂端點是豎直的,則長約為______（保留整數）.【答案】【解析】根據雙曲線的對稱性,在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖所示的直角坐標系:使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合.此時上、下口的直徑都平行于軸,且,設雙曲線的方程為，則，因為直徑是實軸，又兩點都在雙曲線上，所以，解得，因為，所以，解得，所以雙曲線方程為，所以，因為雙曲線關于軸對稱，所以.故答案為:.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，長方體中，，，.為的中點.（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）求點到直線的距離.解：（1）如圖：取中點，連接，，由長方體的性質可知，所以(或其補角)即為與所成的角，在中：，，，由余弦定理：，故所求角的余弦為.（2）連接，，在中：，，，所以，所以，所以點到直線的距離為：.18.已知是公差不為零的等差數列，，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.解：（1）設等差數列的公差為，，則，，因為、、成等比數列，則，即，可得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得：，所以.19.已知函數.（1）討論單調性；（2）若在處有極大值，求在上的最值.解：（1），所以.由得：若，則或，所以函數在區(qū)間和上遞增，在上遞減；若，則在上恒成立，所以函數在上遞增；若，則或，所以函數在區(qū)間和上遞增，在上遞減.綜上，當時，函數增區(qū)間為：和，減區(qū)間為：；當時，函數增區(qū)間為：，無減區(qū)間；當時，函數增區(qū)間為：和，減區(qū)間為：.（2）函數在處有極大值，由（1）可知：且函數在遞增，在上遞減，在上遞增.又，，，.所以在上的最小值為：；最大值為：.20.有理數都能表示成（，，且，與互質）的形式，于是有理數集可表示為.任何有理數都可以化為有限小數或無限循環(huán)小數.反之，任一有限小數也可以化為的形式，從而它是有理數.對于無限循環(huán)小數，它可以表示成，這是數列的無窮項和，記為.設該數列的前項和為，經計算得，當趨于無窮大時，趨于0，則，即可得.（1）數列的無窮項和是有限小數嗎？請說明理由；（2）是有理數嗎？請說明理由.解：（1）是，理由如下：由題意得數列是首項為，公比為的等比數列，其無窮項和為，當趨于無窮大時，趨于，則，所以是有限小數.（2）是，理由如下：即為數列的無窮項和，記為，則其前項和為，則，當趨于無窮大時，趨于，則，所以是有限小數.21.已知橢圓的上、下頂點分別為，，上焦點為，，.（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條互相垂直的弦交于，兩點.當點變化時，直線是否過定點？并說明理由.解：（1）由題意，橢圓焦點在軸上，且，則.所以橢圓的標準方程為：.（2）如圖：由題意：直線的斜率一定存在，設直線：，聯立，消去得：，設，則，.設，用代替得：，.所以直線得方程為：令，得：所以直線過定點.22.已知.（1）若過點作曲線的切線，切線的斜率為2，求的值；（2）當時，討論函數的零點個數.解：（1）由題意可得：，設切點坐標為，則切線斜率為，即，可得切線方程為，將，代入可得，整理得，因為在內單調遞增，則在定義域內單調遞增，且當時，，可知關于的方程的根為1，即，所以.（2）因為，則，可知在內單調遞減，且，則，且在內單調遞減，可知在內單調遞減，所以在內單調遞減，且，（i）若，即時，則在內恒成立，可知在內單調遞增，則，當且僅當時，等號成立，所以在內有且僅有1個零點；（ⅱ）若，即時，則在內恒成立，可知在內單調遞減，則，當且僅當時，等號成立，所以在內有且僅有1個零點；（ⅲ）若，即時，則在內存在唯一零點，可知當時，；當時，；則在內單調遞增，在內單調遞減，且，可知，可知在內有且僅有1個零點，且，①當，即時，則在內有且僅有1個零點；②當，即時，則在內沒有零點；綜上所述：若時，在內有且僅有1個零點；若時，在內有且僅有2個零點.山西省長治市2023-2024學年高二上學期1月期末數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在數列，，，，…中，根據前5項的規(guī)律寫出的第12個數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】觀察可得，數列的第個數可以寫為，所以第12個數為：.故選：D2.某跳水運動員在距離地面高跳臺上練習跳水，其重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）的函數關系是，則該運動員在時的瞬時速度（單位：）為（）A. B.2.9 C.0.45 D.【答案】A【解析】由題意，求導后得，當時，，故A正確.故選：A.3.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，則，可知：所求切線的斜率為2，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：B.4.已知數列的前項和為,且滿足,,若,則（）A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】因為，所以數列是等差數列，設公差為d，則，可得，又，可得，.故選：C5.已知直線與直線垂直，則的值為（）A.1或 B.1或4 C.2或 D.2或3【答案】D【解析】由題意可得，即，解得或.故選：D.6.函數的導函數的圖象如圖所示，那么該函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知與軸有三個交點，不妨設為，當，，當，,當，，當，，所以在區(qū)間，單調遞減，故A、C錯誤；在區(qū)間,單調遞增，故B錯誤，故D正確.故選：D.7.已知圓的半徑為1，以點為圓心，若圓上的點到原點的距離的最大值為7，則實數的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設為圓上點，則.因為.故選：A8.已知數列滿足，，若成立，則的最大值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】因為，整理得，且，可知是以首項為3，公差為1的等差數列，所以，可得，當時，可得，且符合上式，所以，則，解得，即的最大值為8．故選：B．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列導數運算正確是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】選項A，，故A正確；選項B，，故B錯誤；選項C，，故C正確；選項D，，故D錯誤.故選：AC.10.在三棱錐中,,,,點在直線上,且，是的中點，則下列結論可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，因為是的中點，可得，所以A不正確；對于B，當點在線段上時，因為，此時，則，所以B正確；對于C，當點在線段的延長線上時，因為，此時為的中點，可得，所以C正確；對于D，當點在線段上時，可得；當點在線段的延長線上時，，當點在線段的延長線上時，不可能成立，所以D不正確.綜上可得，可能正確的結論為BC.故選：BC.11.如圖所示是某家用汽車遠光燈示意圖，其中心截口曲線是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點處，且燈口直徑是，燈深，則（）A.遠光燈光線按照路徑射向遠處B.光源到反光鏡頂點的距離是C.與拋物線對稱軸垂直的光線長度為D.燈口上任意一點到焦點的距離是【答案】AD【解析】對于選項A：根據題意可知：遠光燈光線按照路徑射向遠處，故A正確；如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，可知，可得，解得，所以拋物線方程為，焦點坐標為，對于選項B：光源到反光鏡頂點的距離是，故B錯誤；對于選項C：與拋物線對稱軸垂直的光線長度為，故C錯誤；對于選項D：燈口上任意一點到焦點的距離是，故D正確；故選：AD.12.已知在有兩個極值點，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】，因為在上有兩個極值點，，即方程有兩個解，若，則，方程即為，不成立，所以.所以，在和兩個區(qū)間上各有一解，，不妨設，函數和在上的草圖如下：則，，所以，故A正確；又，由在上單調遞增，所以，故B正確；因為，，所以，，，所以，因為在上單調遞增，所以，所以，故C正確；，因為，且，所以；且，所以，故D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數列為等比數列，，，則______.【答案】12【解析】設等比數列的公比為，由題意可得：，則，且，所以.故答案為：12.14.若函數（且）在區(qū)間上單調遞增，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】由函數（且）在區(qū)間上單調遞增，得在區(qū)間上恒成立，又在區(qū)間上恒正，只需滿足在區(qū)間上恒成立即可，令，若，則，則一次函數在區(qū)間上單調遞減，不可能恒正；若，則，則一次函數在區(qū)間單調遞增，所以只需，即，解得，故答案為：.15.已知數列滿足，則的通項公式______.【答案】【解析】因為，若，可得；若，則，可得；且符合上式，可得，所以.故答案為：.16.在雙曲線型冷卻塔（如圖）的建設過程中,人員、物料的運輸一直是困擾施工的難題,經實踐探索設計出“附墻升降機”,其結構如圖所示,安裝之后附著在冷卻塔的外側,通過升降吊籠完成輸送任務.假設該冷卻塔的最小半徑為,上口半徑為,下口半徑為，高為.附墻升降機軌道在點以下與冷卻塔貼合,從點到頂端點是豎直的,則長約為______（保留整數）.【答案】【解析】根據雙曲線的對稱性,在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖所示的直角坐標系:使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合.此時上、下口的直徑都平行于軸,且,設雙曲線的方程為，則，因為直徑是實軸，又兩點都在雙曲線上，所以，解得，因為，所以，解得，所以雙曲線方程為，所以，因為雙曲線關于軸對稱，所以.故答案為:.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，長方體中，，，.為的中點.（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）求點到直線的距離.解：（1）如圖：取中點，連接，，由長方體的性質可知，所以(或其補角)即為與所成的角，在中：，，，由余弦定理：，故所求角的余弦為.（2）連接，，在中：，，，所以，所以，所以點到直線的距離為：.18.已知是公差不為零的等差數列，，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.解：（1）設等差數列的公差為，，則，，因為、、成等比數列，則，即，可得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得：，所以.19.已知函數.（1）討論單調性；（2）若在處有極大值，求在上的最值.解：（1），所以.由得：若，則或，所以函數在區(qū)間和上遞增，在上遞減；若，則在上恒成立，所以函數在上遞增；若，則或，所以函數在區(qū)間和上遞增，在上遞減.綜上，當時，函數增區(qū)間為：和，減區(qū)間為：；當時，函數增區(qū)間為：，無減區(qū)間；當時，函數增區(qū)間為：和，減區(qū)間為：.（2）函數在處有極大值，由（1）可知：且函數在遞增，在上遞減，在上遞增.又，，，.所以在上的最小值為：；最大值為：.20.有理數都能表示成（，，且，與互質）的形式，于是有理數集可表示為.任何有理數都可以化為有限小數或無限循環(huán)小數.反之，任一有限小數也可以化為的形式，從而它是有理數.對于