題型專攻：全等三角形的判定【八大題型】（原卷版）

全等三角形的判定【八大題型】【題型1全等三角形的判定條件】【例1】（2022春?順德區(qū)期末）如圖，∠A＝∠D＝90°，給出下列條件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，從中添加一個(gè)條件后，能證明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【變式1-1】（2021秋?廬陽區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B、E在線段CD上，若∠A＝∠DEF，則添加下列條件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DE C．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【變式1-2】（2021秋?源匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列條件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2022秋?佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，則下列條件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能夠判定這兩個(gè)三角形全等的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【題型2證明兩個(gè)三角形全等】【例2】（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，B在同一直線上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，AE＝BF，∠A＝∠B．求證：△ADF≌△BCE．【變式2-1】（2021秋?肥西縣期末）已知，如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求證：△ABC≌△EAD．【變式2-2】（2021秋?信州區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、C作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：△BDE≌△CDF．【變式2-3】（2022?河源模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求證：△ADC≌△CMB．【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】【例3】（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求證：AB＝CD．【變式3-1】（2021春?橫山區(qū)期中）如圖，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)D是EF上一點(diǎn)，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，連接BD，求證：Rt△ADE≌Rt△CDF．【變式3-2】（2021秋?石阡縣期末）如圖，AB＝AC，E、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，AG⊥CE，垂足為點(diǎn)G，試判斷AF與AG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式3-3】（2021秋?沂源縣期末）如圖，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE與△ACB全等嗎？說明理由；（2）判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】【例4】（2022秋?孟津縣期末）如圖，BM，CN分別是鈍角△ABC的高，點(diǎn)Q是射線CN上的點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，請(qǐng)問AP與AQ有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【變式4-1】（2022春?金牛區(qū)校級(jí)期中）如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG＝AB，連結(jié)AD、AG．（1）求證：∠ABE＝∠ACG；（2）試判：AG與AD的關(guān)系？并說明理由．【變式4-2】（2021春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．BE⊥AC，垂足為G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求證：AE＝AF；（2）AE與AF有何位置關(guān)系．請(qǐng)說明理由．【變式4-3】（2021春?泰興市期末）如圖，在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使FM＝EF，連接CM．（1）求證：BE＝AC；（2）試判斷線段AC與線段MC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】【例5】（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AF∥BC且AF＝AD，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)且AE＝AB，連接EF，DE．連接FD交BE于點(diǎn)G．下列結(jié)論中正確的有（）個(gè)．①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四邊形ABDE＝S四邊形ADEF；⑤BG＝GE．A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-1】（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，結(jié)論：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式5-2】（2021春?錦州期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直線AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式5-3】（2021春?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上且AE＝AD，連接EC，BD，EC交BD于點(diǎn)M，連接AM，過點(diǎn)A分別作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分別為F、G，下列結(jié)論：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，則E是AB的中點(diǎn)；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【題型6全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】【例6】（2022春?杏花嶺區(qū)校級(jí)期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，求證：BD＝CE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D、E、C在同一直線上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β時(shí)，求∠DBC的度數(shù)（用含α和β的式子表示）．【變式6-1】（2022?南京模擬）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC＝90°時(shí)，那么∠DCE＝度；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時(shí)，請(qǐng)你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，∠BAC≠90°時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫出此時(shí)α與β之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【變式6-2】（2022秋?江夏區(qū)期末）已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．（1）如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；（2）如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；（3）如圖3，若∠DAB＝α，試探究∠AFG與α的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【變式6-3】（2021秋?肥西縣期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，若∠BAC＝26°，則∠DCE＝．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B，C兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【題型7全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】【例7】（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）當(dāng)∠A＝80°時(shí)，求∠EDC的度數(shù)；（2）求證：CF＝FG+CE．【變式7-1】（2022?黃州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【變式7-2】（2021秋?兩江新區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求證：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段FB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DG，點(diǎn)H是線段DG上一點(diǎn)，連接AH交BD于點(diǎn)K，連接KG．當(dāng)KB平分∠AKG時(shí)，求證：AK＝DG+KG．【變式7-3】（2022春?濟(jì)南期中）把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長(zhǎng)線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【題型8全等三角形的應(yīng)用】【例8】（2022春?二七區(qū)期末）為了測(cè)量一池塘的兩端A，B之間的距離，同學(xué)們想出了如下的兩種方案：方案①如圖1，先在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接AC，BC，并分別延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，BC至點(diǎn)E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的長(zhǎng)；方案②如圖2，過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過D作BD的垂線DE，在垂線上選一點(diǎn)E，使A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，則測(cè)出DE的長(zhǎng)即是AB的距離．問：（1）方案①是否可行？請(qǐng)說明理由；（2）方案②是否可行？請(qǐng)說明理由；（3）小明說在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，請(qǐng)把小明所說的條件補(bǔ)上．【變式8-1】（2021春?普寧市期末）學(xué)校為開展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，成立了以小明為首的戶外測(cè)量小組，測(cè)量小組帶有測(cè)量工具：繩子、拉尺、小紅旗、測(cè)角器（可測(cè)量?jī)蓚€(gè)點(diǎn)分別到測(cè)量者連線之間的夾角大?。∶餍〗M的任務(wù)是測(cè)量某池塘不能直接到達(dá)的兩個(gè)端點(diǎn)A、B之間的距離．（1）小明小組提出了測(cè)量方案：在池塘南面的空地上（如圖），取一個(gè)可直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，用繩子連接AC和BC，并利用繩子分別延長(zhǎng)AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，確定D、E兩個(gè)點(diǎn)后，最后用拉尺直接量出線段DE的長(zhǎng)，則端點(diǎn)A、B之間的距離就是DE的長(zhǎng)．你認(rèn)為小明小組測(cè)量方案正確嗎？請(qǐng)說明理由．（2）你還有不同于小明小組的其他測(cè)量方法嗎？請(qǐng)寫出其中一個(gè)完整的測(cè)量方案（在備用圖1中畫出簡(jiǎn)圖，但不必說明理由）．（3）假設(shè)池塘南面（即點(diǎn)D、E附近區(qū)域）沒有足夠空地（或空地有障礙物或不可直達(dá)等不可測(cè)量情況），而點(diǎn)B的右側(cè)區(qū)域有足夠空地并可用于測(cè)量，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)可行的測(cè)量方案（在備用圖2中畫出圖形），并說明理由．【變式8-2】（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)不同單元樓，他們想要測(cè)量小明家所在單元樓AB的高度，首先他們?cè)趦蓷潌卧獦侵g選定一點(diǎn)E，然后小華在自己家陽臺(tái)C處測(cè)得E處的俯角為∠1，小明站在E處測(cè)得眼睛F到AB樓端點(diǎn)A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，試求單元樓AB的高．【變式8-3】（2022春?鄭州期末）閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖，小明站在堤岸涼亭A點(diǎn)處