《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)》課件-第5章 圖形變換

1第五章圖形變換圖形變換是對(duì)圖形進(jìn)行一系列的變換，從而方便用戶在圖形交互式處理過(guò)程中對(duì)圖形進(jìn)行各種觀察。

圖形變換主要有：幾何變換、坐標(biāo)變換和觀察變換，它們之間有著密切的聯(lián)系。常用的基本幾何變換有：平移變換、比例變換、旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換、錯(cuò)切變換等。2圖形的幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形，是圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換?；編缀巫儞Q都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換。

基本概念3齊次坐標(biāo)：所謂齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來(lái)表示。例如，二維點(diǎn)(x,y)的齊次坐標(biāo)表示為(hx,hy,h)，其中，h為不為0的比例系數(shù)。由此可以看出，一個(gè)向量的齊次表示是不唯一的，齊次坐標(biāo)的取不同的值都表示的是同一個(gè)點(diǎn).齊次坐標(biāo)4齊次坐標(biāo)還可以表示無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)。若h=0就表示了一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示即h=1的齊次坐標(biāo)表示。齊次坐標(biāo)5假設(shè)面上的點(diǎn)變換后為點(diǎn)。在引入規(guī)范化齊次坐標(biāo)后，點(diǎn)P可以表示為一個(gè)行向量矩陣或一個(gè)列向量矩陣，即或。二維空間中的某點(diǎn)的變換可以表示成齊次坐標(biāo)矩陣與三階矩陣的乘積，即

二維變換矩陣6上式可以表示為。其中，被稱為二維齊次坐標(biāo)變換矩陣。，，，。是對(duì)圖形進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換；是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；是對(duì)圖形進(jìn)行投影變換；是對(duì)圖形進(jìn)行整體比例變換。二維變換矩陣7三維圖形變換包括三維幾何變換和投影變換。三維幾何變換包括基本幾何變換和三維復(fù)合幾何變換（見(jiàn)5.4節(jié)）；三維投影變換包括平面幾何投影和觀察投影，而平面幾何投影可分為兩大類，即平行投影和透視投影（分別見(jiàn)5.5節(jié)和5.6節(jié)）。三維變換矩陣8三維圖形的幾何變換是指對(duì)三維圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、比例等變換。復(fù)雜圖形的幾何變換是通過(guò)變換矩陣對(duì)圖形的點(diǎn)、線、面等基本元素的作用而實(shí)現(xiàn)的。三維圖形變換可以表示為圖形點(diǎn)集的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與三維變換矩陣的乘積。其中三維變換矩陣的形式為三維幾何變換及三維齊次坐標(biāo)變換矩陣9三維變換可以表示成其規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣和三維變換矩陣乘積的形式，即三維幾何變換及三維齊次坐標(biāo)變換矩陣10其中：，是對(duì)空間中的某點(diǎn)進(jìn)行對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、比例和錯(cuò)切變換。，是對(duì)空間中的某點(diǎn)進(jìn)行平移變換。，是對(duì)空間中的某點(diǎn)進(jìn)行透視投影變換。，其作用是進(jìn)行整體比例變換。三維幾何變換及三維齊次坐標(biāo)變換矩陣11平面幾何投影平面幾何投影變換就是把三維立體投射到投影面上從而得到二維平面圖形。在實(shí)際應(yīng)用中，我們往往需要把三維立體投影到諸如顯示屏幕、繪圖儀的臺(tái)面等這些二維的平面上來(lái)表現(xiàn)。三維投影變換包括平面幾何投影和觀察投影，而平面幾何投影可分為兩大類，即平行投影和透視投影。其詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)5.5節(jié)和5.6節(jié)。12基本幾何變換——平移變換平移是指將p點(diǎn)沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位過(guò)程。圖6-1平移變換13Tx，Ty稱為平移矢量。推導(dǎo)：矩陣形式：5.2基本幾何變換——平移變換14推導(dǎo)：矩陣形式：基本幾何變換——比例變換15比例變換是指對(duì)p點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿x方向放縮Sx倍，沿y方向放縮Sy倍。其中Sx和Sy稱為比例系數(shù)?；編缀巫儞Q——比例變換圖6-2比例變換(Sx=2,Sy=3)16基本幾何變換——比例變換圖6-3比例變換17二維旋轉(zhuǎn)是指將p點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）得到新的點(diǎn)p’的重定位過(guò)程?；編缀巫儞Q——旋轉(zhuǎn)變換圖6-4旋轉(zhuǎn)變換18推導(dǎo)：（極坐標(biāo)）矩陣：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角基本幾何變換——旋轉(zhuǎn)變換19平移、縮放、旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示：圖形通常要進(jìn)行一系列基本幾何變換，希望能夠把二維變換統(tǒng)一表示為矩陣的乘法?；編缀巫儞Q20平移：基本幾何變換21比例:基本幾何變換22整體比例變換：基本幾何變換23旋轉(zhuǎn)變換：基本幾何變換24基本幾何變換——二維變換矩陣25對(duì)稱變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點(diǎn)的鏡像?；編缀巫儞Q——對(duì)稱變換26基本幾何變換——對(duì)稱變換27(1)關(guān)于x軸對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換圖6-5關(guān)于x軸對(duì)稱28(2)關(guān)于y軸對(duì)稱圖6-6關(guān)于y軸對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換29(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換圖6-7關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱30(4)關(guān)于y=x軸對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換圖6-8關(guān)于x＝y(tǒng)對(duì)稱31(5)關(guān)于y=-x軸對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換圖6-9關(guān)于x＝－y對(duì)稱32錯(cuò)切變換，也稱為剪切、錯(cuò)位變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理?；編缀巫儞Q——錯(cuò)切變換圖6-10錯(cuò)切變換33其變換矩陣為：(1)沿x方向錯(cuò)切(2)沿y方向錯(cuò)切(3)兩個(gè)方向錯(cuò)切基本幾何變換——錯(cuò)切變換34二維圖形幾何變換的計(jì)算幾何變換均可表示成P’=P*T的形式。

1.點(diǎn)的變換

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2.直線的變換二維圖形幾何變換的計(jì)算36

3.多邊形的變換二維圖形幾何變換的計(jì)算37復(fù)合變換圖形作一次以上的幾何變換，變換結(jié)果是每次變換矩陣的乘積。任何一復(fù)雜的幾何變換都可以看作基本幾何變換的組合形式。復(fù)合變換具有形式：38復(fù)合變換——二維復(fù)合平移39復(fù)合變換——二維復(fù)合比例40復(fù)合變換——二維復(fù)合旋轉(zhuǎn)41復(fù)合變換42相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換相對(duì)某個(gè)參考點(diǎn)(xF,yF)作二維幾何變換，其變換過(guò)程為： (1)平移； (2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行二維幾何變換； (3)反平移。

43例1.相對(duì)點(diǎn)(xF,yF)的旋轉(zhuǎn)變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換44相對(duì)任意方向的二維幾何變換相對(duì)任意方向作二維幾何變換，其變換的過(guò)程是： (1)旋轉(zhuǎn)變換； (2)針對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行二維幾何變換； (3)反向旋轉(zhuǎn)。例2.相對(duì)直線y=x的反射變換45

例3.將正方形ABCO各點(diǎn)沿下圖所示的(0,0)→(1,1)方向進(jìn)行拉伸，結(jié)果為如圖所示的，寫(xiě)出其變換矩陣和變換過(guò)程。復(fù)合變換可能發(fā)生的變換：沿（0，0）到（1，1）的比例變換圖6-11沿固定方向拉伸47坐標(biāo)系之間的變換問(wèn)題：圖6-12坐標(biāo)系間的變換48分析：圖6-13坐標(biāo)系間的變換的原理坐標(biāo)系之間的變換可以分兩步進(jìn)行：圖6-14坐標(biāo)系間的變換的步驟50變換的性質(zhì)平移、比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切和反射等變換均是二維仿射變換的特例，反過(guò)來(lái)，任何常用的二維仿射變換總可以表示為這五種變換的復(fù)合。

二維仿射變換是具有如下形式的二維坐標(biāo)變換：

51僅包含旋轉(zhuǎn)、平移和反射的仿射變換維持角度和長(zhǎng)度的不變性；比例變換可改變圖形的大小和形狀；錯(cuò)切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生畸變。變換的性質(zhì)52三維幾何變換如何對(duì)三維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換;如何進(jìn)行投影變換;53三維變換三維齊次坐標(biāo)變換矩陣三維基本幾何變換三維復(fù)合變換54三維齊次坐標(biāo)變換矩陣55三維基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換。假設(shè)三維形體變換前一點(diǎn)為p(x,y,z)，變換后為p'(x',y',z')。三維基本幾何變換56三維基本幾何變換——平移變換圖7-1三維平移變換57一般比例變換三維基本幾何變換——比例變換58例：對(duì)下圖所示的長(zhǎng)方形體進(jìn)行比例變換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長(zhǎng)方形體各點(diǎn)坐標(biāo)。

三維基本幾何變換——比例變換圖7-2三維比例變換60三維基本幾何變換——比例變換整體比例變換61三維基本幾何變換——旋轉(zhuǎn)變換圖7-3三維旋轉(zhuǎn)的方向與角度62三維基本幾何變換——旋轉(zhuǎn)變換繞Z軸旋轉(zhuǎn)圖7-3三維旋轉(zhuǎn)的方向與角度63三維基本幾何變換——旋轉(zhuǎn)變換繞X軸旋轉(zhuǎn)圖7-3三維旋轉(zhuǎn)的方向與角度64三維基本幾何變換——旋轉(zhuǎn)變換繞Y軸旋轉(zhuǎn)圖7-3三維旋轉(zhuǎn)的方向與角度65關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱關(guān)于XOY平面進(jìn)行對(duì)稱變換的矩陣計(jì)算形式為：

三維基本幾何變換——對(duì)稱變換66關(guān)于YOZ平面進(jìn)行對(duì)稱變換的矩陣計(jì)算形式為：

三維基本幾何變換——對(duì)稱變換67三維基本幾何變換——對(duì)稱變換關(guān)于ZOX平面進(jìn)行對(duì)稱變換的矩陣計(jì)算形式為：

68關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱變換關(guān)于x軸進(jìn)行對(duì)稱變換的矩陣計(jì)算形式為：

三維基本幾何變換——對(duì)稱變換69三維基本幾何變換——對(duì)稱變換關(guān)于Y軸進(jìn)行對(duì)稱變換的矩陣計(jì)算形式為：

70關(guān)于Z軸進(jìn)行對(duì)稱變換的矩陣計(jì)算形式為：

三維基本幾何變換——對(duì)稱變換71關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

三維基本幾何變換——對(duì)稱變換72三維基本幾何變換——錯(cuò)切變換73三維復(fù)合變換是指圖形作一次以上的變換，變換結(jié)果是每次變換矩陣的乘積。

三維復(fù)合變換74相對(duì)于參考點(diǎn)F(xf,yf,zf)作比例、對(duì)稱等變換的過(guò)程分為以下三步： (1)將參考點(diǎn)F移至坐標(biāo)原點(diǎn)； (2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行三維幾何變換； (3)進(jìn)行反平移。相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換75相對(duì)于F(xf,yf,zf)點(diǎn)進(jìn)行比例變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換圖7-4相對(duì)參考點(diǎn)F的比例變換76問(wèn)題：如何求出為T(mén)RAB。

繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換圖7-5P點(diǎn)繞AB軸旋轉(zhuǎn)圖7-6三維旋轉(zhuǎn)78(1)將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到A點(diǎn)；繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換79(2)將O‘BB’繞x‘軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，則O’B旋轉(zhuǎn)到x‘o’z‘平面上；繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換80繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換(3)將O‘B繞y’軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，則O‘B旋轉(zhuǎn)到z’軸上；81(4)經(jīng)以上三步變換后，AB軸與z‘軸重合，此時(shí)繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞z軸的旋轉(zhuǎn)；(5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來(lái)的位置。

繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換82類似地，針對(duì)任意方向軸的變換可用五個(gè)步驟來(lái)完成：(1)使任意方向軸的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)進(jìn)行平移變換。(2)使方向軸與某一坐標(biāo)軸重合，此時(shí)需進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。(3)針對(duì)該坐標(biāo)軸完成變換。(4)用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。(5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換83投影變換平面幾何投影平行投影透視投影84投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形的過(guò)程。平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過(guò)這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖。觀察投影是指在觀察空間下進(jìn)行的圖形投影變換。平面幾何投影變換85投影中心、投影面、投影線：

平面幾何投影變換圖7-7投影構(gòu)成86平面幾何投影可分為兩大類：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的；平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無(wú)限的。平面幾何投影變換圖7-8平面幾何投影分為透視投影和平行投影圖7-9平面幾何投影的分類88平行投影可分成兩類：正投影和斜投影。性質(zhì)：能夠精確地反映物體的實(shí)際尺寸。平面幾何投影變換——平行投影圖7-10平行投影正投影又可分為：三視圖和正軸測(cè)。當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測(cè)圖。

平面幾何投影變換——正投影圖7-11正投影90三視圖包括主視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種，投影面分別與X軸、Y軸和Z軸垂直。平面幾何投影變換——三視圖圖7-12三維形體及其三視圖91確定三維形體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)；引入齊次坐標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)的變換矩陣；將所作變換用矩陣表示，通過(guò)運(yùn)算求得三維形體上各點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x‘,y’)或(y‘,z’)；由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維形體投影后的三視圖。

平面幾何投影變換——三視圖92主視圖：將三維形體向xoz面（又稱V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。

平面幾何投影變換——三視圖圖7-13三維形體及其主視圖93主視圖投影矩陣為：平面幾何投影變換——三視圖94俯視圖：三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖。平面幾何投影變換——三視圖圖7-14三維形體及其主、俯視圖(1)投影變換(2)使H面繞x軸負(fù)轉(zhuǎn)90°(3)使H面沿z方向平移一段距離-z0

98俯視圖投影矩陣為：平面幾何投影變換——三視圖99側(cè)視圖：獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面（側(cè)面W）作垂直投影。平面幾何投影變換——三視圖圖7-15三維形體及其三視圖(1)側(cè)視圖的投影變換(2)使W面繞z軸正轉(zhuǎn)90°(3)使W面沿負(fù)x方向平移一段距離x0103側(cè)視圖投影矩陣為：平面幾何投影變換——三視圖104最后的三視圖：

圖例平面幾何投影變換——三視圖圖7-16三維形體及其三視圖105平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖圖7-17正軸測(cè)圖圖7-18正軸測(cè)圖107(1)先繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖108(2)再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖109(3)將三維形體向xoy平面作正投影

平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖110最后得到正軸測(cè)圖的投影變換矩陣：此矩陣是一般正軸測(cè)圖的投影變換矩陣。平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖111正等測(cè)圖平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖圖7-19正等測(cè)圖112將α和β的值代入(7-1)式得到正等測(cè)圖的投影變換矩陣：平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖113正二測(cè)圖平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖圖7-20正二測(cè)圖114將α值代入(7-1)式得到正二測(cè)圖的投影變換矩陣：平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖115能同時(shí)反映物體的多個(gè)面，具有一定的立體效果。能使空間任意一組平行線的投影仍然保持平行。不能保持三維空間的角度關(guān)系。沿三個(gè)坐標(biāo)軸的方向均可測(cè)量距離，但要注意比例關(guān)系。平面幾何投影變換——正軸測(cè)圖116斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。常選用垂直于某個(gè)主軸的投影面，使得平行于投影面的形體表面可以進(jìn)行距離和角度的測(cè)量。特點(diǎn)：既可以進(jìn)行測(cè)量又可以同時(shí)反映三維形體的多個(gè)面，具有立體效果。平面幾何投影變換——斜投影圖117常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。平面幾何投影變換——斜投影圖圖7-21斜平行投影118圖7-21斜平行投影的形成平面幾何投影變換——斜投影圖119斜平行投影的投影變換矩陣為：平面幾何投影變換——斜投影圖

對(duì)于斜等測(cè)圖有：α=45?,ctgα=1。斜二測(cè)圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/2。通常β取30°或45°。圖7-22斜平行投影121平面幾何投影變換——斜投影圖圖7-23單位立方體的斜平行投影122平面幾何投影變換——透視投影124透視縮小效應(yīng)：物體的透視投影的大小與物體到投影中心的Z方向距離成反比。平面幾何投影變換——透視投影圖7-24透視縮小效應(yīng)125透視投影的深度感更強(qiáng)，更加具有真實(shí)感，但透視投影不能夠準(zhǔn)確反映物體的大小和形狀。透視投影的大小與物體到投影中心的距離有關(guān)。一組平行線若平行于投影平面時(shí)，它們的透視投影仍然保持平行。只有當(dāng)物體表面平行于投影平面時(shí)，該表面上的角度在透視投影中才能被保持。平面幾何投影變換——透視投影圖7-25滅點(diǎn)127不平行于投影面的平行線的投影會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為滅點(diǎn)(VanishingPoint)。坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)稱作主滅點(diǎn)。一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。兩點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行。三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。平面幾何投影變換——透視投影128圖7-26透視投影平面幾何投影變換——透視投影129平面幾何投影變換——透視投影一點(diǎn)透視：只有一個(gè)主滅點(diǎn)。為方便起見(jiàn)，假定投影中心（即視點(diǎn)）在軸上，投影面在面上，一點(diǎn)透視的步驟如下：1.將三維物體平移到適當(dāng)位置：2.令投影中心（即視點(diǎn)）在軸上，進(jìn)行透視變換，此時(shí)的透視變換矩陣為130一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視：只有一個(gè)主滅點(diǎn)。為方便起見(jiàn)，假定投影中心（