第六章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 A卷 單元測(cè)試卷（含解析） 高二數(shù)學(xué)人教B版(2019)選修三

第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（A卷基礎(chǔ)夯實(shí)）【滿分：150分】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則()A.-1 B.-2 C.1 D.22.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段上的平均速度為，則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是()A. B.3 C.6 D.3.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則()A.-4 B.-2 C.2 D.44.已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.和 B. C. D.和5.若函數(shù)，且恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為()A.3 B.4 C. D.6.已知函數(shù)在處有極值0，則()A.27或54 B.27 C.54 D.27或587.長(zhǎng)征五號(hào)B運(yùn)載火箭是中國(guó)近地軌道運(yùn)載能力最大的新一代運(yùn)載火箭.長(zhǎng)征五號(hào)B運(yùn)載火箭的整流罩外形是馮·卡門曲線外形，可以更好地減小空氣阻力，減輕載荷所受影響.某學(xué)校航天興趣小組制作的整流罩模型，近似一個(gè)圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長(zhǎng)為6，且圓錐的高與圓柱的高之比為，則該模型體積的最大值為()A. B. C. D.8.已知，定義運(yùn)算@：，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若，設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則a的最小值為()A. B. C.e D.2e二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程可以是()A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則()A.有兩個(gè)極值點(diǎn)B.在上單調(diào)遞減C.關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)零點(diǎn)11.設(shè)函數(shù)，則()A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C.存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D.存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則___________.13.已知，，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.14.若對(duì)任意，都有（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）已知函數(shù)，，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若直線是曲線的切線，求證：對(duì)任意的，都有.16.（15分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.17.（15分）已知函數(shù)，.（1）判斷的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.18.（17分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間，各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.19.（17分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程.（2）討論的單調(diào)性.（3）當(dāng)時(shí)，證明：.

答案以及解析1.答案：B解析：，，，解得.故選B.2.答案：D解析：由題意得，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于，故該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為.3.答案：B解析：由題得，所以，解得，所以，可得，所以切點(diǎn)為，將的坐標(biāo)代入切線方程得，所以.故選B.4.答案：D解析：，令，即，由題圖可得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故選D.5.答案：C解析：由題得.令，則.令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的最大值為.6.答案：C解析：因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值0，所以，且.因?yàn)椋越獾没虍?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處無極值，故舍去.當(dāng)時(shí)，滿足題意，所以，所以.故選C.7.答案：C解析：設(shè)圓錐的高為，則圓柱的高為3h，底面圓半徑為，則該模型的體積.令，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，模型的體積V取到最大值，故選C.8.答案：B解析：因?yàn)樗?，即，所以，即?duì)任意，恒成立.設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以對(duì)任意，恒成立.所以對(duì)任意，恒成立.即恒成立.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，.所以對(duì)任意，恒成立，只需即可.故a的最小值為.故選：B9.答案：BC解析：由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則過切點(diǎn)的切線方程為，把點(diǎn)代入，可得，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為.故選BC.10.答案：AC解析：由題知，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；在上不具有單調(diào)性，故B錯(cuò)誤；又，，，存在，使得，又，，有三個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)根，等價(jià)于曲線與直線有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)根，故C正確，故選AC.11.答案：AD解析：由題可知，.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由得，由得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，故有三個(gè)零點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由得，由得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故曲線必不存在對(duì)稱軸，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，解法一：，令，則可轉(zhuǎn)化為，由為奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故存在，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心，D正確.故選AD.解法二：任意三次函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，D正確.故選AD.12.答案：解析：因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線斜率為3，則所求的切線方程為，即.因?yàn)橹本€與拋物線相切，聯(lián)立方程得消去y得，，解得.13.答案：解析：由，得，即.由及的圖象，知，所以.記，，則.因?yàn)?，所以，所?所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以.14.答案：解析：因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以有恒成立.令，即證，則有，所以在上單調(diào)遞增，即有在上恒成立，即在上恒成立.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.15.答案：(1)0(2)證明見解析解析：(1)當(dāng)時(shí)，，則，令，解得；令，解得，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.，函數(shù)的最小值為0.(2)由已知得，設(shè)切點(diǎn)為，則且，解得，，，.要證，即證，即證，即證，令，，原不等式等價(jià)于，即，設(shè)，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即成立，所以對(duì)任意，都有.16.答案：（1），（2）證明見解析解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)闀r(shí)，有極大值，所以，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，在時(shí)有極大值，所以，.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，故當(dāng)時(shí)，.17.答案：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）解析：（1）由題知的定義域?yàn)椋?若，則，在上單調(diào)遞減，若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）恒成立，即恒成立.設(shè)，則恒成立.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹愠闪?，所以，易知，所以，即，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是.18.答案：（1）（2）解析：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以.又，所以所求切線方程為，即.（2）.①當(dāng)時(shí)，若，則，，所以，所以在上無零點(diǎn)，不符合題意.②當(dāng)時(shí)，.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，.（a）若，則，所以時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋栽?，上均無零點(diǎn)，不符合題意.（b）若，則，所以時(shí)，存在，使得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，.（?。┊?dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以在上無零點(diǎn)，不符合題意.（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，存在，，使得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍是.19.答案：（1）（2）見解析（3）證明見解析解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，且.所以所求切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，則.①當(dāng)時(shí)，由，得；由，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.②當(dāng)，即時(shí)，易得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.③當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.④當(dāng)，即時(shí)，由，得；由，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.⑤當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得.所