高考數(shù)學(xué)第二輪專題第4講-導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題

第4講導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題真知真題掃描

考點(diǎn)考法探究教師備用習(xí)題

模塊一1.[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;真知真題掃描

1.[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.真知真題掃描

真知真題掃描2.[2020·全國(guó)卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;

真知真題掃描

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考點(diǎn)考法探究例1已知a∈R,函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；單調(diào)性

考點(diǎn)考法探究例1已知a∈R,函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

考點(diǎn)考法探究【規(guī)律提煉】利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),實(shí)際上就是在該區(qū)間上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,得到關(guān)于參數(shù)的不等式,從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍;(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上存在單調(diào)區(qū)間,實(shí)際上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集,從而轉(zhuǎn)化為不等式問題,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍;(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性,區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí),可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集,從而求出參數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)考法探究自測(cè)題1.已知函數(shù)f(x)=x2+cos2x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;解:f'(x)=2x-2cosxsinx=2x-sin2x,令m(x)=f'(x),則m'(x)=2-2cos2x=2(1-cos2x)≥0,所以f'(x)為增函數(shù).又因?yàn)閒'(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.考點(diǎn)考法探究1.已知函數(shù)f(x)=x2+cos2x.(2)若x≥0,不等式f(x)≥kx+1恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:不等式f(x)≥kx+1可化為x2-kx-1+cos2x≥0.設(shè)g(x)=x2-kx-1+cos2x,x≥0,則g'(x)=2x-k-sin2x.由(1)可知g'(x)是[0,+∞)上的增函數(shù).因?yàn)間'(0)=-k,所以當(dāng)k≤0時(shí),g'(x)≥0,函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),所以g(x)≥g(0)=-1+cos20=0,所以當(dāng)k≤0時(shí)符合題意.當(dāng)k>0時(shí),g'(0)=-k<0,所以存在x0>0,使得g'(x0)=0.當(dāng)0≤x<x0時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x>x0時(shí),g'(x)>0.所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,x0)上是減函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上是增函數(shù),所以g(x)min=g(x0)<g(0)=0,不合題意.綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,0].考點(diǎn)考法探究2.已知函數(shù)f(x)=x2eax-1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

考點(diǎn)考法探究2.已知函數(shù)f(x)=x2eax-1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究例已知f(x)=lnx-x2+2ax,a∈R.(1)若a=0,求f(x)在[1,e]上的最小值;極值與最值

考點(diǎn)考法探究例已知f(x)=lnx-x2+2ax,a∈R.(2)求f(x)的極值點(diǎn).

考點(diǎn)考法探究【規(guī)律提煉】1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)求定義域;(2)求導(dǎo);(3)令f'(x)=0;(4)列表,檢查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左、右兩側(cè)的值的符號(hào);(5)得出結(jié)論:如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.注意:只有極大值無極小值時(shí),要指出“無極小值”.考點(diǎn)考法探究2.已知函數(shù)極值求參數(shù)時(shí)需注意的問題(1)根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解;(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).3.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,得出f(x)在[a,b]上的最值.考點(diǎn)考法探究自測(cè)題已知函數(shù)f(x)=xlnx.若函數(shù)F(x)=f(x)-ax2有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

考點(diǎn)考法探究

存在性問題與任意性問題

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究【規(guī)律提煉】1.含參數(shù)的不等式能成立(存在性)問題的轉(zhuǎn)化方法若a≥f(x)對(duì)x∈D能成立,則a≥f(x)min;若a≤f(x)對(duì)x∈D能成立,則a≤f(x)max.2.含全稱、存在量詞的不等式能成立問題(1)存在x1∈A,對(duì)于任意x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)max;(2)對(duì)于任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)min.考點(diǎn)考法探究3.恒成立問題與存在性問題的關(guān)系恒成立問題與存在性問題的求解過程是“互補(bǔ)”的,即f(x)≥g(a)對(duì)x∈D恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在x∈D,使f(x)≥g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值.應(yīng)特別關(guān)注等號(hào)能否取到,注意端點(diǎn)值的取舍.考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

不等式的證明

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究【規(guī)律提煉】用導(dǎo)數(shù)法證明不等式一般有以下方法:(1)構(gòu)造函數(shù)法;(2)通過對(duì)函數(shù)的變形,利用分析法證明不等式;(3)分成兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行研究;(4)利用圖像的特點(diǎn)證明不等式;(5)利用放縮法證明不等式.考點(diǎn)考法探究角度2

雙變量不等式的證明例5

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(a-b-1)x+b+1(a,b∈R).(1)若a=0,試討論f(x)的單調(diào)性;

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究【規(guī)律提煉】1.含參不等式的證明方法對(duì)于含參數(shù)的不等式,如果易分離參數(shù),那么可先分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù),直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;否則應(yīng)進(jìn)行分類討論,在解題過程中,必要時(shí)可作出函數(shù)圖像(草圖),借助幾何圖形分析轉(zhuǎn)化.考點(diǎn)考法探究2.破解含雙參不等式的證明問題的關(guān)鍵一是轉(zhuǎn)化,即由已知條件入手,尋找雙參所滿足的關(guān)系式,并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式;二是構(gòu)造函數(shù),借用導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求其最值;三是回歸含雙參的不等式的證明,把所求的最值應(yīng)用到含雙參的不等式中,即可證得結(jié)果.考點(diǎn)考法探究自測(cè)題已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;

考點(diǎn)考法探究(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:f'(x1·x2)<1-a.

考點(diǎn)考法探究

零點(diǎn)(方程的解)判斷

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究【規(guī)律提煉】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況估計(jì)函數(shù)圖像的大致形狀,從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件,進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件;(2)也可以先求導(dǎo),通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況,推導(dǎo)出函數(shù)本身需要滿足的條件,此時(shí),由于函數(shù)比較復(fù)雜,常常需要構(gòu)造新函數(shù),通過多次求導(dǎo),層層推理得解.考點(diǎn)考法探究自測(cè)題

已知函數(shù)f(x)=x3-alnx(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

考點(diǎn)考法探究(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e]上存在兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

考點(diǎn)考法探究

公切線

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究【規(guī)律提煉】求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法:(1)已知切點(diǎn)P(x0,y0),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程:先求出切線的斜率f'(x0),再由點(diǎn)斜式寫出方程.(2)已知切線的斜率為k,求曲線y=f(x)的切線方程:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),通過方程k=f'(x0)解得x0,再由點(diǎn)斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn)),求曲線y=f(x)的切線方程:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f'(x0),再由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究(2)若函數(shù)g(x)=x3(x>0)的圖像在點(diǎn)P處的切線為l,是否存在這樣的點(diǎn)P使得直線l與曲線y=f(x)也相切?若存在,求滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究例8已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a),a∈R.(1)若對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(x)>0,求a的取值范圍;數(shù)列型不等式的證明

考點(diǎn)考法探究

考點(diǎn)考法探究【規(guī)律提煉】證明與數(shù)列有關(guān)的不等式的策略(1)根據(jù)已知的不等式,用關(guān)于正整數(shù)n的式子代替函數(shù)不等式中的自變量,得到關(guān)于n的不等式,通過多次求和證明.此類問題一般至少有兩問,已知的不等式常由第一問根據(jù)待證式的特征而得到.(2)已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式),而待證不等式為與對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式(或與指數(shù)有關(guān)的不等式),還要注意指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的互化,如ex≥x+1(x>-1)可化為ln(x+1)≤x等.考點(diǎn)考法探究自測(cè)題

已知函數(shù)f(x)=ex,h(x)=x+lnx,g(x)=(x-a+1)ea.(1)設(shè)F(x)=xf(x)-ah(x)(a≠0),討論F(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

考點(diǎn)考法探究已知函數(shù)f(x)=ex,h(x)=x+lnx,g(x)=(x-a+1)ea.(1)設(shè)F(x)=xf(x)-ah(x)(a≠0),討論F(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);又H(0)=-a<0,H(a)=a(ea-1)>0,∴?x0>0,H(x0)=0,且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),H(x)<0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),H(x)>0,從而F'(x0)=0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),F'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,∴x=x0是函數(shù)F(x)的極小值點(diǎn).綜上,當(dāng)a<0時(shí),F(x)無極值點(diǎn),當(dāng)a>0時(shí),F(x)有一個(gè)極值點(diǎn).考點(diǎn)考法探究

解:方程f(x)=g(x)可化為ex-a=x-a+1.設(shè)x-a=t,則原方程可化為et=t+1.設(shè)M(t)=et-t-1,則M'(t)=et-1.當(dāng)t∈(-∞,0)時(shí),M'(t)<0,M(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(0,+∞)時(shí),M'(t)>0,M(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.∴M(t)min=M(0)=0,∴當(dāng)t≠0時(shí),M(t)>0,∴方程et=t+1只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,∴方程f(x)=g(x)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.∵對(duì)于任意的t∈R,et≥t+1,當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)取等號(hào),考點(diǎn)考法探究

教師備用例題[備選理由]例1主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題,屬于能力提升題.例2考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需注意恒成立問題的轉(zhuǎn)化,適合于中等或以下學(xué)生練習(xí).例3考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式和裂項(xiàng)求和法,可以作為典型例題講評(píng).例4考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值,考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法,有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想意識(shí).例5主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)和極值.例6考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,可以提升學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能力.例7考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,雙變量不等式的證明,難度稍大,有利于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)換化歸能力.教師備用例題

教師備用例題

教師備用例題

教師備用例題

教師備用例題

教師備用例題例3

[配例8使用]已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-ax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),其中a∈R.(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

教師備用例題例3

[配例8使用]已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-ax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),其中a∈R.(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

教師備用例題

教師備用例題

教師備用例題

教師備用例題

①當(dāng)a>1時(shí),方程g(x)=a無實(shí)根,即f(x)沒有零點(diǎn);②當(dāng)a=1