高考數(shù)學第二輪專題第2講-函數(shù)的綜合問題

第2講函數(shù)的綜合問題真知真題掃描

考點考法探究教師備用習題

模塊一

真知真題掃描C[解析]函數(shù)g(x)=f(x)+x+a有2個零點,即方程f(x)=-x-a有2個不同的解,即函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-x-a有2個不同的交點.分別作出函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-x-a,由圖可知,當-a≤1,即a≥-1時,函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-x-a有2個不同的交點,即函數(shù)g(x)有2個零點.真知真題掃描

C

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B

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B

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D真知真題掃描

真知真題掃描

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(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)[解析]根據(jù)條件(1)可得f(0)=0,f(1)=1,又因為關(guān)于x的方程f(x)=a無實數(shù)解,所以a≠0且a≠1,故a∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).考點考法探究

函數(shù)的零點個數(shù)A

考點考法探究

B[解析]當x>0時,由|lnx|-3=0,得lnx=±3,∴x=e3或x=e-3;當x≤0時,由-2x2-4x-3=0,得2x2+4x+3=0,∵Δ=16-4×2×3<0,∴方程沒有實數(shù)根.故函數(shù)y=f(x)-3的零點個數(shù)是2.故選B.考點考法探究【規(guī)律提煉】確定函數(shù)零點個數(shù)的常用方法:(1)當方程易求解時,用解方程判定法;(2)應(yīng)用零點存在性定理;(3)數(shù)形結(jié)合:轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題求解.考點考法探究自測題1.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=lgx,則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為(

)A.4 B.3C.2 D.1B[解析]由奇函數(shù)的定義可知,f(0)=0.當x>0時,f(x)=lgx,由f(x)=lgx在(0,+∞)上單調(diào)遞增且f(1)=lg1=0可知,當x>0時,f(x)有1個零點.根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在(-∞,0)上也單調(diào)遞增,且f(-1)=-f(1)=0.綜上可知,f(x)有3個零點,分別為0,-1,1.故選B.考點考法探究2.函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點的個數(shù)為 (

)A.2 B.3C.4 D.6C[解析]函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點個數(shù),即方程|lgx2|=-x2+2|x|的根的個數(shù),令g(x)=|lgx2|,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),h(x)=-x2+2|x|,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),則g(x),h(x)均是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù).當x>0時,g(x)=|2lgx|,h(x)=-x2+2x,作出兩函數(shù)在(0,+∞)上的圖像,如圖所示.由圖可知,兩函數(shù)的圖像在(0,+∞)上共有2個交點,即當x>0時,|lgx2|=-x2+2|x|有2個根,根據(jù)對稱性可得,當x<0時,|lgx2|=-x2+2|x|有2個根,所以|lgx2|=-x2+2|x|共有4個根,即函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點的個數(shù)為4.故選C.考點考法探究

C

考點考法探究4.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a>0)的零點為x1,x2(x1<x2),函數(shù)f(x)的最小值為y0,且y0∈[x1,x2),則函數(shù)y=f[f(x)]的零點個數(shù)是(

)A.2或3B.3或4C.3 D.4A

考點考法探究

已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)D考點考法探究

考點考法探究

B

考點考法探究

B

考點考法探究【規(guī)律提煉】已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題的解題方法:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解.考點考法探究

B考點考法探究

考點考法探究

ABC

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(8,+∞)

考點考法探究

(-∞,2)∪(4,+∞)考點考法探究

函數(shù)零點的應(yīng)用D

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6

考點考法探究【規(guī)律提煉】函數(shù)零點的應(yīng)用大都體現(xiàn)在判斷圖像的位置問題、根的分布問題、根的取值范圍問題等,主要體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換化歸的思想.考點考法探究自測題1.已知{x1,x2,x3,x4}?{x>0|(x-3)·sinπx=1},則x1+x2+x3+x4的最小值為(

)A.12 B.15C.12π D.15πA

考點考法探究

B[解析]畫出函數(shù)f(x)的圖像,如圖所示.不妨令a<b<c,則1-2a=2b-1,則2a+2b=2,結(jié)合圖像可得4<c<5,故16<2c<32,所以18<2a+2b+2c<34.故選B.考點考法探究

不等式恒成立問題A

考點考法探究

A

考點考法探究

A

考點考法探究【規(guī)律提煉】1.對于恒成立問題,常用到以下兩個結(jié)論:(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.2.解決恒成立問題的常用方法是依據(jù)不等式的特點,等價變形,構(gòu)造函數(shù),借助圖像觀察,或參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理,此時要遵循“知道誰的范圍,誰是變量;求誰的范圍,誰是參數(shù)”的原則.

考點考法探究

D[解析](1)當x≤1時,f(x)=x2-2kx+2k,∴f(x)的圖像的對稱軸為直線x=k,且開口向上.考點考法探究①當k<1時,f(x)在(-∞,k)上單調(diào)遞減,在(k,1]上單調(diào)遞增,∴只需f(k)≥0,解得0≤k≤2,∴0≤k<1.②當k≥1時,f(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減,∴只需f(1)≥0,1≥0顯然成立,此時k≥1.∴當x≤1時,k≥0.(2)當x>1時,f(x)=(x-k-1)ex+e3,則f'(x)=(x-k)ex.①當k≤1時,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴只需-ke+e3≥0,∴k≤e2,此時k≤1.②當k>1時,f(x)在(1,k)上單調(diào)遞減,在(k,+∞)上單調(diào)遞增,∴只需f(k)=-ek+e3≥0,∴k≤3,此時1<k≤3.∴當x>1時,k≤3.綜上,0≤k≤3,故選D.考點考法探究

[-3,1]

考點考法探究3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=3x2,若不等式f(x+m2)≥4f(x)對任意的x∈[m,m+2]恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,-1]∪[2,+∞)

考點考法探究

考點考法探究

函數(shù)的同構(gòu)問題C[解析]令f(x)=ex-x-1,則f'(x)=ex-1,又x>0,故f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,原不等式可化為ex-x-1>m[eln(x+1)-ln(x+1)-1].易知x>ln(x+1),則ex-x-1>eln(x+1)-ln(x+1)-1>0,則m≤1.故選C.考點考法探究

e5

考點考法探究

e5

考點考法探究【規(guī)律提煉】1.同構(gòu)式是指除了變量不同,其余地方均相同的表達式.2.同構(gòu)式的應(yīng)用:(1)在方程中的應(yīng)用:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征,則a,b可視為方程f(x)=0的兩個根;(2)在不等式中的應(yīng)用:如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征,則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù),進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系,可比較大小或解不等式;考點考法探究(3)在解析幾何中的應(yīng)用:如果A(x1,y1),B(x2,y2)滿足的方程為同構(gòu)式,則A,B為方程所表示曲線上的兩點,特別地,若滿足的方程是直線方程,則該方程即為直線AB的方程;(4)在數(shù)列中的應(yīng)用:可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的形式,即關(guān)于(an,n)與(an-1,n-1)的同構(gòu)式,從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解.考點考法探究

B

考點考法探究

2

教師備用例題[備選理由]例1考查函數(shù)的零點個數(shù),將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點問題是處理此類問題的常用方法,取整函數(shù)是難點,有助于學生理解分段函數(shù).例2利用函數(shù)圖像考查根的存在性及根的個數(shù)判斷,能培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,數(shù)形結(jié)合思想意識,有助于理解復(fù)合函數(shù)的概念.例3考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用、函數(shù)的零點問題,解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件得出函數(shù)的周期,把函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題,有助于培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用.例4主要考查根據(jù)方程的根、函數(shù)圖像的交點求參數(shù)的取值范圍,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.教師備用例題例5考查函數(shù)的零點個數(shù)問題,解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與直線的交點個數(shù)問題,有利于培養(yǎng)學生利用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力.例6考查函數(shù)的零點個數(shù)問題,解題時可利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,運用極限思想研究函數(shù)值的變化趨勢,結(jié)合圖像得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵.例7考查已知方程根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,有利于培養(yǎng)學生利用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力.例8考查函數(shù)圖像的對稱性,有利于提高學生分析問題的能力和知識遷移能力,提升數(shù)學核心素養(yǎng).例9考查同構(gòu)函數(shù),較為典型,有利于學生理解構(gòu)造的意義與方法.教師備用例題例1

[配例1使用]定義在R上的函數(shù)f(x)=x2-[x]-2([x]表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù))的零點個數(shù)為 (

)A.0 B.1C.2 D.3D

教師備用例題例2

[配例1使用]定義域和值域均為[-a,a](常數(shù)a>0)的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像如圖所示,則方程g[f(x)]=0的根的個數(shù)不可能是(

)A.1 B.2C.3 D.4D[解析]由題圖知,當x∈[-a,a]時,g(x)=0有唯一根,不妨設(shè)為k,由g(x)的圖像可知k∈(0,a),則由g[f(x)]=0可得f(x)=k.因為k∈(0,a),所以由f(x)的圖像可知f(x)=k可能有1個根,2個根或3個根,不可能有4個根,故選D.教師備用例題例3

[配例1使用]已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=2x2,則函數(shù)g(x)=f(x)-log2|x|的零點個數(shù)為 (

)A.3 B.4C.5 D.6D[解析]因為f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期T=2.函數(shù)g(x)=f(x)-log2|x|的零點個數(shù)即為方程f(x)-log2|x|=0的根的個數(shù),即為函數(shù)f(x)的圖像與y=log2|x|的圖像的交點個數(shù).作出兩函數(shù)的圖像,如圖所示,由圖可知兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)為6,故選D.教師備用例題例4

[配例2使用]已知函數(shù)f(x)=x3-4x,過點A(