小學(xué)奧數(shù)幾何模型全面（蝴蝶定理、燕尾定理、鳥頭定理、相似模型、金字塔模型）含解析

模型二鳥頭模型

兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比.

如圖在△ABC中，分別是AB,4c上的點如圖（1）（或。在B4的延長線上，E在AC上

如圖2）,

貝uSazwc:S^ADE=（4BXAC）:（ADxAE）

［例1］如圖在八"。中，RE分別是4氏47上的點，且4）:45=2:5,AE:AC=4:7t

S“DE=16平方厘米，求八甌的面積?

【解析】連接BE,S*"E：S△饞.二AO:A8=2:5=（2x4）:（5x4）,

S△饞:S△郁c=A￡:AC=4:7=（4x5）:（7x5）,所以葭八遍$△海=（2*4）:（柔f,

設(shè)5"優(yōu)=8份，則S△皿=35份，Sdg=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35

份就是70平方厘米，"BC的面積是70平方厘米.由此我們得到一個重要的定理,

共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比.

【鞏固】如圖，三角形ABC中，A8是4)的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的

面積等于1,那么三角形A8C的面積是多少？

B1-------

【解析】連接BE.

???EC=3AE

又???AB=5AD

=

?**S2E=SABC+15,SABC0^ADE=?

【鞏固】如圖,三角形48c被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6f

乙部分面積是甲部分面積的幾倍？

【解析】連接4).

■:BE=3,AE=6

?,AB=3BE,SABI)

又；BD=DC=4,

【例2】如圖在zMBC中，。在E4的延長線上，石在AC上，且AB:">=5:2,

AE:EC=3:2,S△楨￡=12平方厘米，求人鉆。的面積.

【解析】連接BE,S?ADE:S^ABE=4D:AB=2:5=(2x3):(5x3)

SAABE:S^A8c=AE:AC=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5],

所以S“DE：SZ^C=(3X2):[5X(3+2)]=6:25,設(shè)2即「=6份，則S△皿=25份，

$△^￡=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的

面積是50平方厘米.由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面

積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比

【例3】如圖所示，在平行四邊形48CD中，E為48的中點，AF=2CF,三角形4FE(圖

中陰影部分)的面積為8平方厘米.平行四邊形的面積是多少平方厘米？

D

區(qū)

A七8

【解析】連接FB.三角形4FB面枳是三角形CFB面積的2倍，而三角形4FB面積是三角形

AEF面積的2倍，所以三角形ABC面積是三角形AEF面積的3倍；又因為平行四邊

形的面積是三角形ABC面積的2倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE面積的

(3x2)=6倍.因此，平行四邊形的面積為8x6=48(平方厘米).

【例4】已知△￡)￡；〃的面積為7平方厘米，跳：=C￡,AO=24/),C/=3A尸，求△/3C的面

積.

【解析】S4Q/S4A5c=(8Ox幽：(8Ax5C)=(lxl):(2x3)=l:6,

-(CExCF):(CBxC4)-(lx3):(2x4)-3:8

S△.：S^MC=(AOXAF):(A8X4C)=(2X1):(3X4)=1:6

設(shè)工詼=24份，則同於=4份，S△皿=4份，5“防=9份，

S△阻=24-4-4-9=7份，恰好是7平方厘米，所以S△杵=24平方厘米

【例5】如圖，三角形45c的面積為3平方厘米，其中A5:3E=2:5,BC:CD=3:2,三

角形或花的面積是多少？

【解析】由于NABC+NDB￡：=180°,所以可以用共角定理，設(shè)A8=2份，8c=3份，則

8E=5份，

30=3+2=5份，由共角定理

又S杈?=1，所以S~E=8?

同理可得S皿=6,SBDE=3.

+

所以SDEF=5ADF$BDE=1+8+6+3=18.

【例8】如圖，平行四邊形4BCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4ADf平

行四邊形ABCD的面積是2,求平行四邊形ABC力與四邊形EFGH的面積比.

【解析】連接AC、BD.根據(jù)共角定理

???在A4蛇和43莊中，ZABC與NFBE互補,

.SnABC_ABBC1x11

**S^.BE~BEBF~M~3'

又S&ABC=1,所以S.BE=3?

同理可得s△叩=8,S△即=15,5鼻叩=8.

所以SEFCH=S^AEH+S&CFG+S^DHG+S^BEF+SAW)=8+8+15+3+2=36.

所以mg=2=_L.

SEFGH3618

【例9】如圖，四邊形￡FG”的面積是66平方米，EA=ABtCB=BF,DC=CG,HD=DA,

求四邊形ABC。的面積.

【解析】連接8。.由共角定理得S^BCD:S^CCF=(CDxCB):?CGxCF)=1:2,即

S?cGT2s4(

同理S4AM*S^AHE=I：2,即=2s△ABD

連接AC,同理可以得到SAMG+S△詆=2S四邊形八8m

=+

S四邊形ER”SfHE+S^GF+S4HDG*^Afi￡F+5四邊形八^=5s四邊形48co

所以Spq邊二算"二胎？平方米

【例10]如圖，將四邊形ABCD的四條邊4?、CB、CD、4）分別延長兩倍至點￡：、

F、G、H,若四邊形ABC。的面積為5,則四邊形EFG”的面積是

【解析】連接AC、BD.

由于跖=2AB,BF=2BC,于是S^F=4sM8c?同理S處憾-4SMDC.

于是^ABEF+=4sg笈+4sAA0c=^SAf{CD.

再由于M=3Afi,AH=3ADt于是心防=95.加，同理&的=?

于是SgtM+S&CFG=9szM破+9S2CBD=9SABCD?

那么

4

【例11]如圖，在A4BC中，延長AB至。，使皮）=45,延長8c至石，使CE=，8C,

2

產(chǎn)是AC的中點，若AABC的面積是2,則△。石尸的面積是多少？

【解析】???在△ABC和△(7莊中，NACB與NFCE互補,

.S△皿ACBC2x2=4

S&FCEFCCE1x11

又SW=2,所以SFCE~05.

同理可得同加戶=2，S&JDE=3.

—

所以S4DEF-S4aBe+SdCEF+^￡^DEB~^￡^ADF+0.54-3—2—3.5

【例12】如圖，S△詆=1,BC=5BD,AC=4ECfDG=GS=SE,AF=FG.求S

【解析】本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是”

當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積匕等于夾這個角的兩邊

長度的乘積比”的反復(fù)運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的3種

情況.

432111

最后求得S"GS的面積為同心=『丁丁5*5=布?

【例13]如圖所示，正方形ABC/）邊長為8厘米，￡■是AD的中點，尸是CE的中點,

G是斯的中點，三角形ABG的面積是多少平方厘米？

【解析】連接AF、EG.

因為S^6=Sa8E=1x82=16,根據(jù)“當兩個三角形有一個角相等或互補時，這

兩個三角形的面積比等于夫這個角的兩邊長度的乘積比"S包=8,SEFG=8,再

根據(jù)“當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角

的兩邊長度的乘積比”，得到5的=16,SABh.E=32,SAB,.=24,所以5Ase=12平

方厘米.

【例14】四個面積為1的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積.

【解析】如圖，將原圖擴展成一個大正三角形。所，則AAG產(chǎn)與都是正三角形.

假設(shè)正六邊形的邊長為為明則AAG/與的邊長都是4%所以大正三角形

DE尸的邊長為4x2—1=7,那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍.而一個

正六邊形是由6個單位小正三角形組成的，所以一個單位小正三角形的面積為1，

6

40

三角形由7的面積為3.

6

4312

由于月4=船，戶8=3。，所以AAPB與三角形。砂的面積之比為一x2:一.

7749

12

同理可知兇DC、A4EC與三角形。石尸的面積之比都為匕，所以A4BC的面積占

49

I913491313

三角形DEF面積的I---x3=—,所以AA5C的面積的面積為三x'=".

49496496

【鞏固】已知圖中每個正六邊形的面積都是1,則圖中虛線圍成的五邊形A8CDE的面積

是.

【解析】從圖中可以看出，虛線AB和虛線CD外的圖形都等于兩個正六邊形的一半，也就

是都等于一個正六邊形的面積；虛線8c和虛線DE外的圖形都等于一個正六邊形

的一半，那么它們合起來等于一個正六邊形的面積：虛線人￡外的圖形是兩個三角

形，從右圖中可以看出，每個三角形都是一個正六邊形面積的！，所以虛線外圖

6

1112

形的面積等于Ix3+±x2=3士,所以五邊形的面積是10-32=6

6333

任意四邊形、梯形與相似模型

模型四相似三角形模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

<g1?-AD=-A-E=-D-E=-A-F

ABACBCAG

22

@S^DE：S^BC=AF：AG.

所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣

改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：

⑴相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；

⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；

⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半。

相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具。

在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形。

【例1】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16,4）=10,BE=4,那么產(chǎn)C的長

度是多少？

【解析】圖中有一個沙漏，也有金字塔，但我們用沙漏就能解決問題，因為平行于CZ）,

4

所以5戶：尸8=4:16=1:4,所以產(chǎn)C=10x——=8.

1+4

【例2】如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC,"的長為15厘米，AC被分為60等份。

如果小玻璃管口DE正好對著量具上20等份處（DE平行"），那么小玻璃管口徑

DE是多大?

【解析】有一個金字塔模型，所以￡>￡15=40:60,所以。石=10厘米。

【例3】如圖，DE平行BC,若AD:DB=2:3,那么：=

【解析】根據(jù)金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5,

S△加：S&M=2?:5?=4:25，

設(shè)S&ADE=4份，則S4ABe=25份，SABEC=25+5X3=15份，所以S&ADE:SaECb=4：15O

【例4】如圖，△ABC中，DE,FG,8c互相平行，AD=DF=FB,

則S4ADE:S四邊形DEGF"S四邊影FGCB=。

【解析】設(shè)％但=1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，

2

所以S&ADE?SgpQ-AD:AF~=1:4,S^ADE:$4枷=⑷=1：9,因此

S&FG=4份，S^ABC=9份，

進而有S四邊形DECF=3份，S四邊形FM8=5份，所以S&2E：Spq邊形DEGF:Spq邊形皿:8=］：3：5

【鞏固】如圖，比平行8C,且4）=2,AB=5fAE=4f求AC的長。

A

D,

【解析】由金字塔模型得4):45=從￡:47=。￡:以7=2:5,所以4C=4+2x5=10

【鞏固】如圖，△ABC中，DE,FGtMN,PQ,8C互相平行，AD=DF=FM=MP=PB,

則S^ADE'S網(wǎng)邊形o￡8?S網(wǎng)邊形房NW:S四邊形,“腱〃：S四邊形片翼沿=

22

【解析】設(shè)份，S^DE:S^FC=AD:AF=\:4,因此SMG=4份，進而有

S四邊形DEGk3份，同理有S四邊形FGMW=5份，S四邊形MV0P=7份，S四邊形呼8=9份.

所以有S4ADE:S四邊形DEGF：Sg邊形FGNM:'四邊彩MNQP'§四邊形代及方=1：3：5：7：9

【總結(jié)】繼續(xù)拓展，我們得到一個規(guī)律：平行線等分線段后，所分出來的圖形的面積成等差

數(shù)列。

［例5］已知AA5C中，。石平行BC,若AD:08=2:3,且S栩形皿比大心cm2,

求SgBC°

【解析】根據(jù)金字塔模型4):AB=OE:8C=2:(2+3)=2:5,:=22:52=4:25,

設(shè)S/iADE=4份，則S>ABC=25份，5梯形DBCE=25-4=21份,S梯形DBCE比S/XADE大普

份，恰好是8.5cn?,所以&枷=12.55?

【例6】如圖：MN平行BC,S^MPN；的=4:9,AM=4cm,求3M的長度

A

【解析】在沙漏模型中，因為所以MV:BC=2:3,在金字塔模型中有：

AM:AB=MN:BC=2:3,因為AM=4cr,AB=4+2x3=6cm,所以

BM=6-4=2c

【鞏固】如圖，已知DE平行8C,BO:EO=3:2,那么4):AB=。

【解析】由沙漏模型得8O:EO=8C:OE=3:2,再由金字塔模型得

AD:AB=DE:BC=2:3.

【例7】如圖，AABC中，AE=-ABtAD=-ACfED與BC平行,AEO。的面積是1

44

平方厘米。那么AAED的面積是平方厘米。

【解析】因為AE='A8,AD=-AC,ED與BC平行,

44

根據(jù)相似模型可知￡D:5C=1:4,EO:OC=l:4,=4s皿〃=4平方厘米，

則S&CDE=4+1=5平方厘米，

又因為SAC=A。：00=1:3，所以5必田=5'」=’(平方厘米).

【例8】在圖中的正方形中，A,8,。分別是所在邊的中點，CDO的面積是ABO面

積的幾倍？

【解析】連接8C,易知。4〃所，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知OB:OD=AE:4),且

OA:BE=DA:DE=1:2,所以C￡>，的面積等于C3,的面積；由

Q4=JBE=；AC可得。O=3Q4,所以為叨=S肩。=3S八"，即QX7的面積是

面積的3倍。

【例9】如圖，線段與BC垂直，已知A￡>=EC=4,BD=BE=6,那么圖中陰影部分

面積是多少？

0kAnk\

【解析】解法一：這個圖是個對稱圖形，且各邊長度已經(jīng)給出，不妨連接這個圖形的對稱軸

看看.

作輔助線30,則圖影關(guān)于50對稱，有SaqIc，S?=Sebo,且

設(shè)4Po的面積為2份，則的面積為3份，直角三角形ABE的面積為8份.

因為$.￡=6x10+2=30，而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為

30+8x4=15.

解法二：連接DE、AC.由于AD=EC=4,BD=BE=6,即以DE“AC,根

據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知。E:AC=8￡>:笈4=6:10=3:5,

根據(jù)梯形蝴蝶定理，COE:SCOA=32:(3X5):(3X5):52=9:15:15:25,

所以S陰影：S梯形人雙=05+15):(9+15+15+25)=15:32,即廝影=￡s梯做必：

又^^ADEC=-x10x10--x6x6=32,所以S陰影=^S梯形八阻=15.

【例10】(2008年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽)如圖，四邊形

40)和所G”都是平行四邊形，四邊形ABCQ的面積是16,BG:GC=3:1,則

四邊形EFGH的面積=.

AED

【解析】因為尸G"E為平行四邊防，所以反7/AG,所以AGCE為平行四邊形.

BG:GC=3:1,那么GC:BC=1:4,所以S八次=,xS?=』xl6=4.

rlVJk-*-4ZUJVUy|

叉AE=GC,所以AE:BG=GC:BG=1:3,根據(jù)沙漏模型，

33

FG:AF=BG:AE=3:1,所以S11aH=1sAec《=\x4=3.

【例11】己知三角形A5C的面積為a,AF:FC=2:\t七是8D的中點，且所〃8C,

交CD于G,求陰影部分的面積.

【解析】已知A/?F=C2,且EF〃BC,利用相似三角形性質(zhì)可知

2

EF:BC=AF:AC=2:3,所以律=?BC,且S皿：S=4:9.

又因為石是班＞的中點，所以EG是三角形08C的中位線，那么EG=1BC,

2

I2

EG:EF=-:-=3:4,所以GEEE1:,可得S。F消五J：,所以

SCF%S4^J：?那么SCFG=T77,

1O

【例12】已知正方形AB8,過C的直線分別交AB、AD的延長線于點七、F,且

AE=10cm,4尸二15cm,求正方形AACD的邊長.

【解析】方法一：本題有兩個金字塔模型，根據(jù)這兩個模型有3C:A/=CE:M,

DC:AE=CF:EFt設(shè)正方形的邊長為xcm,所以有空+空=里+生=1,

AFAEEFEF

即二十二=1,解得％=6,所以正方形的邊長為6cm.

1510

y]S-X

方法二：或根據(jù)一個金字塔列方程即2=12-,解得％=6

1015

【例13]如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，邊8C=120毫米，高4)=80亳

米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在3C上，其余兩個頂點分別在AB、

AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

4

【解析】觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關(guān)系的兩個金字塔模型，所以有

PNAPPHBPgpwwj』”以玄止PNPHAPBP,而

——=——，——=—,設(shè)正萬形的邊長為x毫米，——+——=—+—=1,即

BCABADABBCADABAB

—+—=1,解得工=48,即正方形的邊長為48毫米.

12080

【鞏固】如圖，在AABC中，有長方形OEFG,G、F在BC上,D、石分別在AB、AC

上，A”是/MBC邊BC的高，交DE于M,DG:DE=1:2,8c=12厘米，

4￥=8厘米，求長方形的長和寬.

【解析】觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關(guān)系的兩個金字塔模型，所以上士=士，

BCAB

DGBD?“‘DEDGADBD

——=——，所以有——4-——=——4-——設(shè)力G=x,則OE=2x,所以有

AHABBCAHABAB

7r?44R

—+-r=1,解得x=三，2x=—,因此長方形的長和寬分別是竺厘米，三94厘

1287777

米.

【例14】圖中A8CD是邊長為12c相的正方形，從G到正方形頂點C、。連成一個三角

形，已知這個三角形在上截得的石廠長度為4c加，那么三角形GQC的面積是

多少？

【解析】根據(jù)題中條件，可以直接判斷出石尸與。C平行，從而三角形GEF與三角形GDC相

似，這樣，就可以采用相似三角形性質(zhì)來解決問題.

做GM垂直。C于M,支AB于N.

因為印〃0C,所以三角形GEI與三角形GDC相似，且相似比為

EF:4:121,

所以GMGA/=1:3,又因為MN=GM-GN=T2,所以GM=18(on),

所以三角形GDC的面積為QX12X18=108。,>

【例15]如圖，將一個邊長為2的正方形兩邊長分別延長1和3,割出圖中的陰影部分,

求陰影部分的面積是多少？

【解析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例有：—=^-:上上-=」一

1+22+32+31+2

則N尸=』，EM=-f

93

【例16]（2008年101中學(xué)考題）圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)（厘米），它們的面

積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是.

【解析】設(shè)大、小正方形的邊長分別為〃？厘米、〃厘米則1+〃2=52,所以

;w<8.若則4<5x25,不合題意，所以機只能為6或7.檢

驗可知只有m=6、"=4滿足題意，所以大、小正方形的邊長分別為6厘米和4

厘米.根據(jù)相似三角形性質(zhì)，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得

8G=36（厘米）'所以陰影部分的面積為：萬的3.6=]。.8（平方厘米）.

【例17]如圖，O是矩形一條對角線的中點，圖中已經(jīng)標出兩個三角形的面積為3和4,

那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？

【解析】連接OB,面積為4的三角形占了矩肪面積的;，所以〃°E8=4—3=1,所以

OE:1:3,所以5:,由三角形相似可得陰影部分面積為

【例18】已知長方形ABC。的面積為70厘米，￡是4）的中點，尸、G是8c邊上的

二等分點，求陰影△曲的面積是多少厘米？

【解析】因為石是AD的中點，尸、G是8c邊上的三等分點，由此可以說明如果把長方形

的長分成6份的話，那么￡D=AD=3份、BF=FG=GC=?肪,大家能在圖形中

找到沙漏△EOD和△80G:有石。：36二3：4,所以8：80=3：4,相當于把BD

分成（3+4）7份，同理也可以在圖中在次找到沙漏：AEHD和ABHF也是沙漏,

ED：BF=3：2,由此可以推出：HD：BH=3：2,相當于把班）分成（3+2）5份,

那么我們就可以把即分成35份（5和7的最小公倍數(shù)）其中。。占15份，8〃占14

份，”0占6份，連接E8則可知△班。的面積為70+4=千，在瓦）為底的三角

形中HO占6份，則面積為：羽x9=3（平方厘米）.

235

【例19】是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、產(chǎn)分別為A6、3。的中點,

則圖中陰影部分的面積為平方厘米.

【解析】方法一：注意引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關(guān)性質(zhì).

設(shè)G、H分別為4）、QC的中點，連接G"、EF、BD.

可得S皿二,平行四邊形ABC。,

對角線BD被EF、AC、G”平均分成四段.叉OM〃EF、所以

23

DO:ED=：BD:：BD=2:3,OE:ED=（ED-OD）:ED=（3-2）:3=1:3,

所以SA/。=?。?平行四邊Wg。=§、^乂72=6（平方厘米）,SADO=2xSAEO=12

（平方厘米）.

同理可得SVi=6平方厘米，SLgLA?！癑=12平方厘米.

所以S般-SAEQ-SE=36-6-6=24（平方厘米），

于是，陰影部分的面積為24+12+12=48（平方厘米）.

方法二：尋找圖中的沙漏，AE:CD=AO:OC=\:2tFC:AD=CM:AM=\:2,

因此。，“為AC的三等分點，54皿=:現(xiàn)行四邊形『=：x72=12（平方厘米），

S&IEOU,S&JCQ='x12x2=6（平方厘米），同理另尸必（7=6（平方厘米），所以

^=72-12-6-6=48（平方厘米）.

【例20]如圖，三角形PDW的面積是8平方厘米，長方形ABCD的長是6厘米，寬是

4厘米，M是8C的中點，則三角形加）。的面積是平方厘米.

【解析】本題在矩形內(nèi)連接三點構(gòu)成一個三角形，而且其中一點是矩/某一條邊的中點，一

般需要通過這一點做垂線.

取AO的中點N,連接MN,設(shè)MN交PD千K.

則三角形qDM被分成兩個三角形，而且這兩個三角形有公共的底邊MK,可知三

1Q

角形PDM的面積等于±xMKxBC=8（平方厘米），所以MK=?（厘米），那么

23

?4

NK=4--=-（厘米）.

33

Q

因為NK是三角形A"）的中位線，所以AP=2xNK=2（厘米），所以三角形47）

3

1Q

的面積為_Lx2x6=8（平方厘米）.

23

【例21]如圖，長方形ABCQ中，E為AD的中點,AF與BE、8￡＞分別交于G、H,

OE垂直AD于E,交AF于O,已知A”=5cm,HF=3cm,求AG.

【解析】由于AB〃￡獷，利用相似三角形性質(zhì)可以得到48:。尸=加/:〃/=5:3,

又因為E為AD中點，那么有QE:也＞=1:2,

所以A38心;=1,利用相似三角彩性質(zhì)可以得到

2

AGGO:A=BK,

而AO=3A產(chǎn)=gx（5+3）=4（cm）,所以AG=4x—=—（cm）.

1313v）

[例22]右圖中正方形的面積為1,E＞尸分別為A8、8力的中點，GC=-FC.求

陰影部分的面積.

【解析】題中條件給出的都是比例關(guān)系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解,

而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質(zhì).

陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可求出面積.可

以作切垂直8c于〃，G/垂直8c于/.

根據(jù)相似三角形性質(zhì)，C/:C//=CG:CF=1:3,又因為CH=HB,所以

C/:CB=1:6,即8/:BC=（6-1）:6=5:6,所以S卬上=gxgx。二卷.

【例23】梯形A8CD的面積為12,AB=2CDtE為AC的中點，應(yīng):的延長線與AO交

于廣，四邊形CD尸E的面積是.

G

【解析】延長所、8相交于G.

由于七為AC的中點，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，CG=AB=2CD,GD=-GC=-AB

22t

再根據(jù)相似三角形性質(zhì)，AE產(chǎn)3AB=D(S,GF:GB=l:3,而

A力$GD2,

X

所以S1tBeD=§^ABCD=~12=4,S讖K=2sMe0=8-

_J_8

又2==s皿=1SAG8。，所以加"E3AGBC=§GBC^§'

26

【例24]如圖，三角形A6C的面積為60平方厘米，D、E、F分別為各邊的中點,

那么陰影部分的面積是平方厘米.

A

【解析】陰影部分是一個不規(guī)則的四邊形，不方便直接求面積，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個三角形

的面積之差.而從圖中來看，既可以轉(zhuǎn)化為M所與AfiVW的面積之差，又可以轉(zhuǎn)

化為MCM與ACFN的面枳之差.

（法1）如圖，連接DE.

由于。、E、產(chǎn)分別為各邊的中點，那么石尸為平行四邊形，且面積為三?角形

ABC面積的一半，即30平方厘米；那么ABE尸的面積為平行四邊形或史尸面積的

一半，為15平方厘米.

根據(jù)幾何五大模型中的相似模型，由于￡應(yīng)為三角形ABC的中位線，長度為8c的

一半，則EM:8M=OE:8C=1:2,所以EM=；EB;

EN:FN=DE:FC=VA.所以EN=、EF.

2

那么MMI的面積占MEF面積的-x-=-,所以陰影部分面積為

236

15x（1-春）=12.5（平方厘米）.

（法2）如圖，連接AM.

根據(jù)燕尾定理，S^BM：S^M=AE：EC=\-.\,S^CM：S^CM=AD：DB=\：\,

所以s爾改='x60=20平方厘米，

?MFV.vZ

而S謝c=；X60=30平方厘米,所以S^CN=；S.0c=7.5平方厘米.

那么陰影部分面積為20-7.5=12.5（平方厘米）.

【總結(jié)】求三角形的面積，一般有三種方法：

（1）利用面積公式：底x高+2;

（2）利用整體減去部分；

（3）利用比例和模型.

【例25]如圖，A8C。是直角梯形，A5=4,A0=5,DE=3,那么梯形48c。的面積是

【解析】延長反）交A8于尸點，分別計算△AO0AAO8,Z\OOC,Z\BOC的面積，再求和.

DE：BF=DO：OB=3：1

?,$t\MyD*S&AOB=3.1；00c—S&BOC=3/

S?AOD=S^BOC

=1x4x5=10

又?S&ABD

2

3

S&AODABD

[S.=7.5,S^A0H—2.5,S400c—7.5,SA/XX?-3s20c=3x7.5=22.5

S梯形A3C0=7.5+2.5+7.5+22.5=40

【例26]邊長為8厘米和12厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面

積是多少平方厘米？

【解析】給圖形標注字母，按順時針方向標注，大正方形為ABCD,，1、正方形為MNDE,EB

分別交AC,AO于O,H兩點，

AO：OC=AB：EC=12：20=3：5,AH：BC=AO：OC=3：5

???AO：AC=3：8,AH：AD=3：5tS.AHO：S.ADC=9：40

???S△皿=，12:=72

99

X

?*,S^AHL而S△A0c=—72=16.2

【例27】如右圖，長方形中，所=16,FG=9,求AG的長.

【解析】因為）〃應(yīng);，根據(jù)相似三角形性質(zhì)知型=任

GBGE

又因為D尸〃AB,—,

GBGA

sriFG

所以二i=，，PpAG2=GEFG=25X9=225=152,所以AG=15.

GEGA

【例28】（第21屆迎春杯試題）如圖，已知正方形的邊長為4,“是8C邊的中

點，E是DC邊上的點，且DE:EC=1:3,A尸與應(yīng):相交于點G,求治八時

【解析】方法一：連接AE,延長AF,DC兩條線交于點M,構(gòu)造出兩個沙漏，所以有

AB-.CM=BF.FC=\At囚此CM=4,根據(jù)題題有CE=3,再根據(jù)另一個沙漏

4432

有GB:GE=AB:EM=4:7,所以53即=jjX（4x4+2）=%.

方法二：連接A,E,分別求S.mF=4x2=：,

=4x4—4x1+2—3x2+2—4=7,根據(jù)蝴蝶定理

4432

S△）:必S產(chǎn)八公￡（,所以S△謝=4+7=."4x4+2）=打?

【例29]如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1,E、尸是AB、4）的中點,

BF交EC于M,求ABMG的面積.

D

AZ）的中點，得EFHBD,而

FD.B6FH母Q:,

EB:CD=BG:GD=1:2所以CH:CF=GH:EF=2:3,

并得G、a是的三等分點，所以BG=GH,所以

BG:EF=B