2024-2025學年廣東省五校高二上學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省五校2024-2025學年高二上學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故選：C.2.橢圓的焦點為為橢圓上一點，若，則（）A.4 B.3 C.5 D.7【答案】D【解析】橢圓的長半軸長，依題意，，而，所以.故選：D3.已知三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的中點坐標為，所以邊上的中線所在直線的方程為，整理得.故選：B4.若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖，過點C作CD⊥AB于D，依題意，因為故|CD|=3，從而，圓的半徑為故所求圓的方程為即故選：C5.圓與圓的公切條數(shù)為（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【解析】的圓心是，半徑，即，圓心為，半徑，，，所以兩圓相交，公切線有條.故選：B6.如圖是某拋物線形拱橋的示意圖，當水面處于位置時，拱頂離水面的高度為2.5m，水面寬度為8m，當水面上漲0.9m后，水面的寬度為（）A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m【答案】A【解析】以拱頂為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，設(shè)拋物線的方程為，依題意可知，拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，所以當時，，解得，所以當水面上漲0.9m后，水面的寬度為.故選：A7.空間直角坐標系中，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為,經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下列問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過點的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)知：平面的法向量，直線的方向向量，且平面與直線相交于，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A8.已知點為橢圓上任意一點，直線過圓的圓心且與圓交于兩點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即，則圓心，半徑為.橢圓方程，,則，則圓心為橢圓的焦點，由題意的圓的直徑，且如圖，連接，由題意知為中點，則，可得.點為橢圓上任意一點，則，，由，得.故選：C二、多選題（本題共3小題，題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分送對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知直線，（）A.當時，直線的傾斜角為B.當時，C.若，則或D.直線始終過定點【答案】BD【解析】對于A，當時，直線：，故斜率，則傾斜角為120°，故A錯誤，對于B，等價于，解得，故B正確，對于C，若，且，故，故C錯誤，對于D，：變形為：，令且，解得，故恒過，故D正確，故選：BD10.已知直線l：與圓C：，下列說法正確的是（）A.點在圓C外B.直線l與圓C相離C.點P為圓C上的動點，點Q為直線l上的動點，則的取值范圍是D.將直線l下移4個單位后得到直線l＇，則圓C上有且僅有3個點到直線l＇的距離為【答案】BCD【解析】因為圓C：，所以圓心，半徑對于A：點A與圓心的距離為，所以點在圓C內(nèi)，故A錯；對于B：圓心到直線l的距離為，所以直線l與圓C相離，故B對；對于C：有B選項知，圓心到直線l的距離為，則的最小值是，無最大值，則的取值范圍是，故C對；對于D：直線圓心到直線的距離為是半徑的一半，如圖所示則圓C有且僅有3個點到直線的距離為2，故D對；故選：BCD.11.在直三棱柱中，，，，分別為棱和的中點，為棱上的動點，則（）A.B.該三棱柱的體積為4C.過，，三點截該三棱柱的截面面積為D.直線與平面所成角的正切值的最大值為【答案】ABD【解析】如圖建立空間直角坐標系，則.對于A，，因，，可得，因，且兩直線在平面內(nèi)，則有平面，又為棱上的動點，故，即A正確；對于B，由題意，該三棱柱的體積為，故B正確；對于C，如圖，設(shè)經(jīng)過，，三點的截面交于點，連接，因，平面，平面，則平面，又平面，故得，即截面為梯形.因，，設(shè)梯形的高為，則，解得.則故C錯誤；對于D，如圖，因平面，平面，則，又，，且兩直線在平面內(nèi)，故得平面，故可取平面的法向量為，又為棱上的動點，可設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因，故當且僅當時，取得最小值為5，此時取得最大值為，因，而正弦函數(shù)和正切函數(shù)在上均為增函數(shù)，故此時取得最大值為，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.三條直線與相交于一點，則的值為______.【答案】3【解析】由，即三條直線交于，代入，有.故答案為：313.已知空間中的三點，則點到直線的距離為______．【答案】【解析】設(shè)直線的單位方向向量為．則，，，，點到直線的距離故答案為：14.已知雙曲線的左焦點為為坐標原點，若在的右支上存在關(guān)于軸對稱的兩點，使得為正三角形，且，則的離心率為__________.【答案】【解析】由題意知，為正三角形，且，關(guān)于軸對稱，所以，且，所以，，由余弦定理得，由雙曲線定義得，即，所以.故答案：.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.（1）求曲線標準方程；（2）求過點且與曲線相切的直線的方程.解：（1）設(shè)，則，，由，得，所以曲線的標準方程為.（2）曲線是以為圓心，1為半徑的圓，過點的直線若斜率不存在，直線方程為，滿足與圓相切；過點的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線距離，解得，則方程為.過點且與曲線相切的直線的方程為或.16.如圖，在四棱錐中，平面，為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若，求平面和平面夾角的余弦值.解：（1）取的中點，連接，因為為棱的中點，所以，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，可取，因為軸垂直平面，則可取平面的法向量為，則，所以平面和平面夾角的余弦值為.17.已知雙曲線C:x2a2（1）求的方程；（2）直線與雙曲線相交于兩點，為坐標原點，的面積是，求直線的方程.解：（1）由題意可得，解得，故；（2）設(shè)，，由，可得，則有，解得且，，，，化簡得，即，解得或，故直線的方程為或.18.在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小；（3）在線段上是否存在點，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出長度；若不存在，請說明理由.解：（1）因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.因為，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；（3）假設(shè)在線段上存在點，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為.則滿足，化簡得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點，使平面與平面成角余弦值為.此時的長度為或.19.已知圓，點在圓上，過作軸的垂線，垂足為，動點P滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）斜率存在且不過的直線l與曲線C相交于M、N兩點，BM與BN的斜率之積為.①證明：直線l過定點；②求面積的最大值.解：（1）依題意，設(shè)，則，因為，所以，則，解得，因為圓上，所以，則，即，所以曲線的方程為.（2）①依題意，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去，得，則，即，所以，則，則，則，整理得，解得或（此時直線過點，舍去），所以直線過定點；②由①得，，則，所以，令，則，則，當且僅當，即，時，等號成立，滿足，所以面積的最大值為.廣東省五校2024-2025學年高二上學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故選：C.2.橢圓的焦點為為橢圓上一點，若，則（）A.4 B.3 C.5 D.7【答案】D【解析】橢圓的長半軸長，依題意，，而，所以.故選：D3.已知三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的中點坐標為，所以邊上的中線所在直線的方程為，整理得.故選：B4.若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖，過點C作CD⊥AB于D，依題意，因為故|CD|=3，從而，圓的半徑為故所求圓的方程為即故選：C5.圓與圓的公切條數(shù)為（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【解析】的圓心是，半徑，即，圓心為，半徑，，，所以兩圓相交，公切線有條.故選：B6.如圖是某拋物線形拱橋的示意圖，當水面處于位置時，拱頂離水面的高度為2.5m，水面寬度為8m，當水面上漲0.9m后，水面的寬度為（）A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m【答案】A【解析】以拱頂為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，設(shè)拋物線的方程為，依題意可知，拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，所以當時，，解得，所以當水面上漲0.9m后，水面的寬度為.故選：A7.空間直角坐標系中，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為,經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下列問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過點的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)知：平面的法向量，直線的方向向量，且平面與直線相交于，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A8.已知點為橢圓上任意一點，直線過圓的圓心且與圓交于兩點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即，則圓心，半徑為.橢圓方程，,則，則圓心為橢圓的焦點，由題意的圓的直徑，且如圖，連接，由題意知為中點，則，可得.點為橢圓上任意一點，則，，由，得.故選：C二、多選題（本題共3小題，題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分送對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知直線，（）A.當時，直線的傾斜角為B.當時，C.若，則或D.直線始終過定點【答案】BD【解析】對于A，當時，直線：，故斜率，則傾斜角為120°，故A錯誤，對于B，等價于，解得，故B正確，對于C，若，且，故，故C錯誤，對于D，：變形為：，令且，解得，故恒過，故D正確，故選：BD10.已知直線l：與圓C：，下列說法正確的是（）A.點在圓C外B.直線l與圓C相離C.點P為圓C上的動點，點Q為直線l上的動點，則的取值范圍是D.將直線l下移4個單位后得到直線l＇，則圓C上有且僅有3個點到直線l＇的距離為【答案】BCD【解析】因為圓C：，所以圓心，半徑對于A：點A與圓心的距離為，所以點在圓C內(nèi)，故A錯；對于B：圓心到直線l的距離為，所以直線l與圓C相離，故B對；對于C：有B選項知，圓心到直線l的距離為，則的最小值是，無最大值，則的取值范圍是，故C對；對于D：直線圓心到直線的距離為是半徑的一半，如圖所示則圓C有且僅有3個點到直線的距離為2，故D對；故選：BCD.11.在直三棱柱中，，，，分別為棱和的中點，為棱上的動點，則（）A.B.該三棱柱的體積為4C.過，，三點截該三棱柱的截面面積為D.直線與平面所成角的正切值的最大值為【答案】ABD【解析】如圖建立空間直角坐標系，則.對于A，，因，，可得，因，且兩直線在平面內(nèi)，則有平面，又為棱上的動點，故，即A正確；對于B，由題意，該三棱柱的體積為，故B正確；對于C，如圖，設(shè)經(jīng)過，，三點的截面交于點，連接，因，平面，平面，則平面，又平面，故得，即截面為梯形.因，，設(shè)梯形的高為，則，解得.則故C錯誤；對于D，如圖，因平面，平面，則，又，，且兩直線在平面內(nèi)，故得平面，故可取平面的法向量為，又為棱上的動點，可設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因，故當且僅當時，取得最小值為5，此時取得最大值為，因，而正弦函數(shù)和正切函數(shù)在上均為增函數(shù)，故此時取得最大值為，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.三條直線與相交于一點，則的值為______.【答案】3【解析】由，即三條直線交于，代入，有.故答案為：313.已知空間中的三點，則點到直線的距離為______．【答案】【解析】設(shè)直線的單位方向向量為．則，，，，點到直線的距離故答案為：14.已知雙曲線的左焦點為為坐標原點，若在的右支上存在關(guān)于軸對稱的兩點，使得為正三角形，且，則的離心率為__________.【答案】【解析】由題意知，為正三角形，且，關(guān)于軸對稱，所以，且，所以，，由余弦定理得，由雙曲線定義得，即，所以.故答案：.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.（1）求曲線標準方程；（2）求過點且與曲線相切的直線的方程.解：（1）設(shè)，則，，由，得，所以曲線的標準方程為.（2）曲線是以為圓心，1為半徑的圓，過點的直線若斜率不存在，直線方程為，滿足與圓相切；過點的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線距離，解得，則方程為.過點且與曲線相切的直線的方程為或.16.如圖，在四棱錐中，平面，為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若，求平面和平面夾角的余弦值.解：（1）取的中點，連接，因為為棱的中點，所以，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，可取，因為軸垂直平面，則可取平面的法向量為，則，所以平面和平面夾角的余弦值為.17.已知雙曲線C:x2a2（1）求的方程；（2）直線與雙曲線相交于兩點，為坐標原點，的面積是，求直線的方程.解：（1）由題意可得，解得，故；（2）設(shè)，，由，可得，則有，解得且，，，