2024-2025學(xué)年四川省部分學(xué)校高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第八章，選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章第一節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線與直線平行，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】根據(jù)直線與直線平行，則，故.故選：A2.已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，根據(jù)題意，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，設(shè)，則不存在，故B正確.對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，所以，所以，故D錯(cuò)誤；故選：B.3.已知，是兩個(gè)互相平行的平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?又，，所以，，，平行或異面.故選：A4.直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】圓M的半徑，圓心，則圓心M到直線l的距離，故．故選：D．5.如圖，二面角的大小為，點(diǎn)A，B分別在半平面，內(nèi)，于點(diǎn)C，于點(diǎn)D．若，，．則（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】解法一：作于點(diǎn)C，且，連接，，，；解法二：由，，得，，．因?yàn)?，所以，則，解得，．故選：C.6.如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面體的棱長(zhǎng)為1，體積為，則該正二十面體的內(nèi)切球的半徑為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合，所以正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑，設(shè)為所以，解得，故選：C.7.已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，D為C的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),E為C上一點(diǎn)，且位于第二象限，直線AE，BE分別與y軸交于點(diǎn)H，G．若D為線段OH的中點(diǎn)，G為線段OD的中點(diǎn)．則點(diǎn)E到x軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】過點(diǎn)E作軸，垂足為F．由題意可得，，所以，，兩式相乘可得所以，則．故選：D8.如圖，正方形的棱長(zhǎng)為4，G，E分別是，AB的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則線段的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)平面EFG的法向量為，則，即令，可得．設(shè)，則．因?yàn)橹本€AP與平面EFG沒有公共點(diǎn)，所以平面EFG，則，所以，即．，當(dāng)時(shí)，AP取得最小值，最小值．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則（）A. B.C. D.的面積為【答案】ABD【解析】因?yàn)榭臻g內(nèi)三點(diǎn)，，，所以，，，則，，，A正確．因?yàn)?，所以，B正確．，C錯(cuò)誤．的面積為，D正確．故選：ABD.10.已知正四面體的棱長(zhǎng)為6，下列結(jié)論正確的是（）A.該正四面體的高為B.該正四面體的高為C.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為D.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為【答案】AD【解析】取中點(diǎn)，連接，過作垂直于交于點(diǎn)M，過作垂直于交于點(diǎn)N，如圖所示，由正四面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，為正四面體的高，記，因?yàn)樵诘酌娴纳溆盀榈闹匦?，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈膴A角為，且，所以，所以夾角的余弦值為，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD.11.笛卡爾葉形線是一個(gè)代數(shù)曲線,首先由笛卡兒在1638年提出．如圖，葉形線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)Px0,y0在C上，則下列結(jié)論正確的是（A.直線與C有3個(gè)公共點(diǎn) B.若點(diǎn)P在第二象限，則C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)槿~形線經(jīng)過點(diǎn)，所以．聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤．．因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以，，所以，B正確．若點(diǎn)P在第四象限，則，可推出．因?yàn)?，所以．?dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時(shí)，，所以．當(dāng)點(diǎn)P是原點(diǎn)或在第一象限時(shí)，易得，所以，C正確．由，可得，解得，所以，D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.與圓，都相切的直線有______條．【答案】3【解析】圓的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以圓與圓外切，與圓，都相切的直線有3條．故答案為：313.已知地球運(yùn)行的軌道是橢圓，且太陽在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，若地球到太陽的最大和最小距離分別為，，則這個(gè)橢圓的離心率為______．【答案】0.02【解析】設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，由題意，得，，解得，，所以這個(gè)橢圓的離心率．故答案為：0.0214.在正六棱柱中，，M，N分別為，的中點(diǎn)，平面CMN與直線交于點(diǎn)G，則______；點(diǎn)A到平面CMN的距離為______．【答案】4；【解析】連接AD，BF，設(shè)其交點(diǎn)為O．由正六棱柱的性質(zhì)知，，且，取的中點(diǎn)P，連接OP，則平面ABCDEF．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，M，N分別為，的中點(diǎn)，所以，，，，則，，．設(shè)平面CMN的一個(gè)法向量為n=則令，則．設(shè)，則．由，解得，又，所以．點(diǎn)A到平面CMN的距離．故答案為：4，四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點(diǎn)，，點(diǎn)C在x軸上，且是直角三角形，．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）求斜邊上中線所在直線的方程．解：（1）設(shè)．因?yàn)?，所以，顯然，則．因?yàn)?，，所以，解得，則．（2），，的面積為．（3）記AC的中點(diǎn)為E，則．直線BE的斜率為，直線BE的方程為，即，所以斜邊上的中線所在直線的方程為．16.已知直線l：恒過點(diǎn)C，且以C為圓心的圓與直線相切．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．解：（1）直線l：，即，所以直線l恒過點(diǎn)．（2）圓C的圓心為．圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）由于點(diǎn)D在圓內(nèi)部，所以當(dāng)直線AB與直線CD垂直時(shí)，取最小值．，，即的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，E為線段PC上一點(diǎn)，，且該四棱錐的體積為.（1）求AE的長(zhǎng)度；（2）求二面角的正弦值.解：（1）設(shè)，則，該四棱錐的體積為，解得，即，．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1,0,0，，，，，，，設(shè)，則，．若，則，解得，即E為PC的中點(diǎn)．連接AC，在中，；（2）由（1）得，，．設(shè)平面ABE的法向量為，則即取，得n=0,1,-1．設(shè)平面PBE的法向量為，則即取，得．設(shè)二面角的大小為，則，所以，所以二面角正弦值為．18.已知，分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，，，三點(diǎn)不共線，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，其為等邊三角形．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，證明：．解：（1）因?yàn)槭菣E圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，所以．當(dāng)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí)，的面積最大，其為等邊三角形，滿足，又因?yàn)?，所以，．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，Px1,y由得，，，所以，，即點(diǎn)，所以直線方程為．令，得．又，所以直線的方程為．令，得．延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于．由，得，則．同理由，得，則．因?yàn)椋?，顯然，所以．19.空間直角坐標(biāo)系中，任意直線l由直線上一點(diǎn)及直線的一個(gè)方向向量唯一確定,其標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為．若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn),則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，整理成一般式方程為．特殊地，平面xOy的一般式方程為，其法向量為．若兩個(gè)平面相交，則交線的一般式方程可以表示為（1）若集合，記集合M中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為S，求S的體積；（2）已知點(diǎn)，直線．若平面，，求的一般式方程；（3）已知三棱柱的頂點(diǎn),平面ABC的方程為，直線的方程為，平面的方程為．求直線與直線BC所成角的余弦值．解：（1）由條件知，S是一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為5，高為2的長(zhǎng)方體，則體積．（2）直線過點(diǎn)，方向向量為，．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，所以平面的點(diǎn)法式方程為，一般式方程為．（3）聯(lián)立解得即．又，所以．由平面的方程知，其法向量為．因?yàn)槠矫?，所以，即，解得，所以平面的方程為．直線BC上的點(diǎn)滿足化簡(jiǎn)得，所以直線BC的一個(gè)方向向量為，取直線BC的一個(gè)方向向量為．則，即直線與直線BC所成角的余弦值為．四川省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第八章，選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章第一節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線與直線平行，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】根據(jù)直線與直線平行，則，故.故選：A2.已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，根據(jù)題意，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，設(shè)，則不存在，故B正確.對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，所以，所以，故D錯(cuò)誤；故選：B.3.已知，是兩個(gè)互相平行的平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?又，，所以，，，平行或異面.故選：A4.直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】圓M的半徑，圓心，則圓心M到直線l的距離，故．故選：D．5.如圖，二面角的大小為，點(diǎn)A，B分別在半平面，內(nèi)，于點(diǎn)C，于點(diǎn)D．若，，．則（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】解法一：作于點(diǎn)C，且，連接，，，；解法二：由，，得，，．因?yàn)椋?，則，解得，．故選：C.6.如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面體的棱長(zhǎng)為1，體積為，則該正二十面體的內(nèi)切球的半徑為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合，所以正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑，設(shè)為所以，解得，故選：C.7.已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，D為C的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),E為C上一點(diǎn)，且位于第二象限，直線AE，BE分別與y軸交于點(diǎn)H，G．若D為線段OH的中點(diǎn)，G為線段OD的中點(diǎn)．則點(diǎn)E到x軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】過點(diǎn)E作軸，垂足為F．由題意可得，，所以，，兩式相乘可得所以，則．故選：D8.如圖，正方形的棱長(zhǎng)為4，G，E分別是，AB的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則線段的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)平面EFG的法向量為，則，即令，可得．設(shè)，則．因?yàn)橹本€AP與平面EFG沒有公共點(diǎn)，所以平面EFG，則，所以，即．，當(dāng)時(shí)，AP取得最小值，最小值．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則（）A. B.C. D.的面積為【答案】ABD【解析】因?yàn)榭臻g內(nèi)三點(diǎn)，，，所以，，，則，，，A正確．因?yàn)椋?，B正確．，C錯(cuò)誤．的面積為，D正確．故選：ABD.10.已知正四面體的棱長(zhǎng)為6，下列結(jié)論正確的是（）A.該正四面體的高為B.該正四面體的高為C.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為D.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為【答案】AD【解析】取中點(diǎn)，連接，過作垂直于交于點(diǎn)M，過作垂直于交于點(diǎn)N，如圖所示，由正四面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，為正四面體的高，記，因?yàn)樵诘酌娴纳溆盀榈闹匦?，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈膴A角為，且，所以，所以夾角的余弦值為，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD.11.笛卡爾葉形線是一個(gè)代數(shù)曲線,首先由笛卡兒在1638年提出．如圖，葉形線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)Px0,y0在C上，則下列結(jié)論正確的是（A.直線與C有3個(gè)公共點(diǎn) B.若點(diǎn)P在第二象限，則C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)槿~形線經(jīng)過點(diǎn)，所以．聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤．．因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以，，所以，B正確．若點(diǎn)P在第四象限，則，可推出．因?yàn)?，所以．?dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時(shí)，，所以．當(dāng)點(diǎn)P是原點(diǎn)或在第一象限時(shí)，易得，所以，C正確．由，可得，解得，所以，D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.與圓，都相切的直線有______條．【答案】3【解析】圓的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以圓與圓外切，與圓，都相切的直線有3條．故答案為：313.已知地球運(yùn)行的軌道是橢圓，且太陽在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，若地球到太陽的最大和最小距離分別為，，則這個(gè)橢圓的離心率為______．【答案】0.02【解析】設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，由題意，得，，解得，，所以這個(gè)橢圓的離心率．故答案為：0.0214.在正六棱柱中，，M，N分別為，的中點(diǎn)，平面CMN與直線交于點(diǎn)G，則______；點(diǎn)A到平面CMN的距離為______．【答案】4；【解析】連接AD，BF，設(shè)其交點(diǎn)為O．由正六棱柱的性質(zhì)知，，且，取的中點(diǎn)P，連接OP，則平面ABCDEF．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，M，N分別為，的中點(diǎn)，所以，，，，則，，．設(shè)平面CMN的一個(gè)法向量為n=則令，則．設(shè)，則．由，解得，又，所以．點(diǎn)A到平面CMN的距離．故答案為：4，四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點(diǎn)，，點(diǎn)C在x軸上，且是直角三角形，．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）求斜邊上中線所在直線的方程．解：（1）設(shè)．因?yàn)椋?，顯然，則．因?yàn)椋?，所以，解得，則．（2），，的面積為．（3）記AC的中點(diǎn)為E，則．直線BE的斜率為，直線BE的方程為，即，所以斜邊上的中線所在直線的方程為．16.已知直線l：恒過點(diǎn)C，且以C為圓心的圓與直線相切．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．解：（1）直線l：，即，所以直線l恒過點(diǎn)．（2）圓C的圓心為．圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）由于點(diǎn)D在圓內(nèi)部，所以當(dāng)直線AB與直線CD垂直時(shí)，取最小值．，，即的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，E為線段PC上一點(diǎn)，，且該四棱錐的體積為.（1）求AE的長(zhǎng)度；（2）求二面角的正弦值.解：（1）設(shè)，則，該四棱錐的體積為，解得，即，．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1,0,0，，，，，，，設(shè)，則，．若，則，解得，即E為PC的中點(diǎn)．連接AC，在中，；（2）由（1）得，，．設(shè)平面ABE的法向量為，則即取