2025屆福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)學(xué)校高三上學(xué)期12月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，所以或，解得或，所以不等式的解集為或；因?yàn)椋?，解得或，所以不等式的解集為或；因?yàn)榛蚴腔虻恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.2.已知平面的一個(gè)法向量為，則軸與平面所成的角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知軸的一個(gè)方向向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以軸與平面所成的角的正弦值為，由得.故選：B3.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為直線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為可知：，即，即，即，整理得：，故選：C.4.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O不在平面ABC內(nèi)，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由及A，B，C，D四點(diǎn)共面得，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B5.若數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的和依次構(gòu)成等差數(shù)列，則稱是“鄰和等差數(shù)列”.例如，數(shù)列1，2，4，5，7，8，10為“鄰和等差數(shù)列”.已知數(shù)列是“鄰和等差數(shù)列”，是其前項(xiàng)和，且，，，則（）A.39700 B.39800 C.39900 D.40000【答案】A【解析】設(shè)，由，得，則，故．故選：A6.已知直線過(guò)定點(diǎn)A，過(guò)定點(diǎn)B，與交于點(diǎn)P（異于A，B兩點(diǎn)），則的面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將直線變形為：，知過(guò)定點(diǎn)，將直線變形為：，知過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)且時(shí)，兩直線的斜率乘積知：此時(shí)，因?yàn)?，由直徑所?duì)的圓周角為知，點(diǎn)在以線段為直徑的圓上（不含、兩點(diǎn)），所以點(diǎn)到線段的距離即為的高，設(shè)為，易知，因?yàn)?，所以所以，即的面積的最大值是,故選：D7.已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過(guò)的圓心且與交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，即的圓心，半徑為，橢圓方程中，，，則圓心為橢圓右焦點(diǎn)，線段為的直徑，連接，因此，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，，即，所以.故選：A8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（）A.若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B.存在Q點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D.若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】B【解析】選項(xiàng)A，分別取中點(diǎn)，連接，，由與，平行且相等得平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，連接，，，所以，同理平面，，平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面，即點(diǎn)軌跡是線段，A正確；選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)（），，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，若平面，則，所以存在，使得，，解得，因此正方形內(nèi)（含邊界）不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，，到平面的距離為，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，d有最大值1，時(shí)，，時(shí)，d有最大值，綜上，時(shí)，d取得最大值1，故與重合時(shí)，d取得最大值，三棱錐的體積最大，C正確；選項(xiàng)D，平面，平面，，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角是，軌跡長(zhǎng)度為，D正確．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（）A.的最小值為2 B.的最大值為7C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】對(duì)于A、B選項(xiàng)：由題意得：，半徑為1，：，，半徑為1，圓心距為，又點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：兩個(gè)圓心所在直線斜率為，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：圓心距，所以無(wú)公共弦，D錯(cuò)誤；故選：BC．10.已知函數(shù)，則下面說(shuō)法正確的是（）A.是的一個(gè)周期 B.的最大值為C.是的對(duì)稱軸 D.是的對(duì)稱中心【答案】AD【解析】，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；，又，令，因?yàn)榈闹芷跒椋灾恍栌懻搩?nèi)的的最大值，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)即時(shí)，有極大值，又，因此的最大值為，因?yàn)?，所以直線不是圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；，所以點(diǎn)是圖象的對(duì)稱點(diǎn)，故D正確.故選：AD11.已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.存在點(diǎn)，使得C.若，則外接圓的面積為D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因?yàn)榉匠探M無(wú)解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，若，即，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)為_(kāi)_______.【答案】【解析】令，解得，且，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故答案為：13.定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，則的對(duì)稱中心為_(kāi)_______；若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.【答案】①.②.【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，整理得，所以的對(duì)稱中心為；由，則，因，所以，所以，即，故答案為：；14.已知四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，則球的表面積為_(kāi)______．【答案】【解析】根據(jù)題意可知四邊形的頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，連接，如下圖所示：易知，又，在中，由余弦定理可得；在中，由余弦定理可得;又易知，所以可得，解得，又，所以，可得，即，設(shè)四邊形的外接圓半徑為，由正弦定理可得，解得，又平面，且，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，可得，即；因此外接球的表面積為.故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.15.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，為邊邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積．解：（1）由，即，因?yàn)?，所以，所以，得．?）由為的平分線，得，因?yàn)?，所以，即，①由余弦定理得，即，②由①②，得，所以?6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若直線的斜率為，求線段的長(zhǎng).解：（1）設(shè)，得（2）設(shè)Ax1,y所以有得由題可知兩式求差化簡(jiǎn)得即因?yàn)樗运灾本€的方程為聯(lián)立解得或所以17.如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，則，因?yàn)椋瑒t，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，所以平面平?（2）解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、P0,0,1、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，，平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，可得，則，整理可得，因此，線段上存在點(diǎn)，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為，且.18.已知圓和點(diǎn)（1）過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線，求切線的方程；（2）已知，設(shè)P為滿足方程的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引切線，切點(diǎn)為B，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)N，使得為定值?若存在，則求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，則說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)M作直線l交圓O于兩個(gè)不同的點(diǎn)C，線段CD不經(jīng)過(guò)圓心，分別在點(diǎn)C，D處作圓O的切線，兩條切線交于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E在一條定直線上，并求出該直線的方程.（1）解：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，顯然x=1與圓相切，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，由圓心到切線的距離為1，所以，解得，則，整理得，綜上，切線的方程為x=1和（2）解：由題設(shè)，若Px,y整理得，若存在，使為定值，又，，則，整理得，即，整理得，要使為定值，則，得，，或，，，綜上，存在定點(diǎn)，定值，或定點(diǎn)，定值.（3）證明：設(shè)，，，，，由，則，即，又，故，同理，所以直線CD為，又M在CD上，所以，故點(diǎn)E在直線上.19.已知函數(shù)，，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；（2）若對(duì)任意，有成立，求的取值范圍；（3）求證：.（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，由單調(diào)性知的最大值為，無(wú)最小值.（2）解：由（1）的結(jié)論可知，，即，即，由，故已知條件轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意，成立，若，則，此時(shí)對(duì)，有，不滿足條件；若，則對(duì)任意，都有，因?yàn)?，即滿足，所以的取值范圍是.（3）證明：由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)有，故有，令，則有，整理得：，所以，即福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，所以或，解得或，所以不等式的解集為或；因?yàn)椋?，解得或，所以不等式的解集為或；因?yàn)榛蚴腔虻恼孀蛹浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選：B.2.已知平面的一個(gè)法向量為，則軸與平面所成的角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知軸的一個(gè)方向向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以軸與平面所成的角的正弦值為，由得.故選：B3.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為直線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為可知：，即，即，即，整理得：，故選：C.4.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O不在平面ABC內(nèi)，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由及A，B，C，D四點(diǎn)共面得，即，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B5.若數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的和依次構(gòu)成等差數(shù)列，則稱是“鄰和等差數(shù)列”.例如，數(shù)列1，2，4，5，7，8，10為“鄰和等差數(shù)列”.已知數(shù)列是“鄰和等差數(shù)列”，是其前項(xiàng)和，且，，，則（）A.39700 B.39800 C.39900 D.40000【答案】A【解析】設(shè)，由，得，則，故．故選：A6.已知直線過(guò)定點(diǎn)A，過(guò)定點(diǎn)B，與交于點(diǎn)P（異于A，B兩點(diǎn)），則的面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將直線變形為：，知過(guò)定點(diǎn)，將直線變形為：，知過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)且時(shí)，兩直線的斜率乘積知：此時(shí)，因?yàn)?，由直徑所?duì)的圓周角為知，點(diǎn)在以線段為直徑的圓上（不含、兩點(diǎn)），所以點(diǎn)到線段的距離即為的高，設(shè)為，易知，因?yàn)椋运?，即的面積的最大值是,故選：D7.已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過(guò)的圓心且與交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，即的圓心，半徑為，橢圓方程中，，，則圓心為橢圓右焦點(diǎn)，線段為的直徑，連接，因此，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，，即，所以.故選：A8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（）A.若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B.存在Q點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D.若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】B【解析】選項(xiàng)A，分別取中點(diǎn)，連接，，由與，平行且相等得平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，連接，，，所以，同理平面，，平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面，即點(diǎn)軌跡是線段，A正確；選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)（），，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，若平面，則，所以存在，使得，，解得，因此正方形內(nèi)（含邊界）不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，，到平面的距離為，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，d有最大值1，時(shí)，，時(shí)，d有最大值，綜上，時(shí)，d取得最大值1，故與重合時(shí)，d取得最大值，三棱錐的體積最大，C正確；選項(xiàng)D，平面，平面，，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角是，軌跡長(zhǎng)度為，D正確．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（）A.的最小值為2 B.的最大值為7C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】對(duì)于A、B選項(xiàng)：由題意得：，半徑為1，：，，半徑為1，圓心距為，又點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，，，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：兩個(gè)圓心所在直線斜率為，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：圓心距，所以無(wú)公共弦，D錯(cuò)誤；故選：BC．10.已知函數(shù)，則下面說(shuō)法正確的是（）A.是的一個(gè)周期 B.的最大值為C.是的對(duì)稱軸 D.是的對(duì)稱中心【答案】AD【解析】，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；，又，令，因?yàn)榈闹芷跒椋灾恍栌懻搩?nèi)的的最大值，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)即時(shí)，有極大值，又，因此的最大值為，因?yàn)?，所以直線不是圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；，所以點(diǎn)是圖象的對(duì)稱點(diǎn)，故D正確.故選：AD11.已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.存在點(diǎn)，使得C.若，則外接圓的面積為D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因?yàn)榉匠探M無(wú)解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，若，即，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)為_(kāi)_______.【答案】【解析】令，解得，且，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故答案為：13.定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，則的對(duì)稱中心為_(kāi)_______；若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.【答案】①.②.【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，整理得，所以的對(duì)稱中心為；由，則，因，所以，所以，即，故答案為：；14.已知四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，則球的表面積為_(kāi)______．【答案】【解析】根據(jù)題意可知四邊形的頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，連接，如下圖所示：易知，又，在中，由余弦定理可得；在中，由余弦定理可得;又易知，所以可得，解得，又，所以，可得，即，設(shè)四邊形的外接圓半徑為，由正弦定理可得，解得，又平面，且，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，可得，即；因此外接球的表面積為.故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.15.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，為邊邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積．解：（1）由，即，因?yàn)?，所以，所以，得．?）由為的平分線，得，因?yàn)?，所以，即，①由余弦定理得，即，②由①②，得，所以?6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若直線的斜率為，求線段的長(zhǎng).解：（1）設(shè)，得（2）設(shè)Ax1,y所以有得由題可知兩式求差化簡(jiǎn)得即因?yàn)樗运灾本€的方程為聯(lián)立解得或所以17.如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則，因?yàn)?，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因?yàn)椋?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以?/p>