2019-2021北京初三(上)期中數(shù)學(xué)匯編：點(diǎn)和圓、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系

1/12019-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編點(diǎn)和圓、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2021·北京四中九年級(jí)期中）⊙O的半徑為5，圓心O到直線(xiàn)l的距離為6，則直線(xiàn)l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定2．（2021·北京市第五中學(xué)分校九年級(jí)期中）如圖，直線(xiàn)AB與半徑為2的⊙O相切于點(diǎn)C，D是⊙O上一點(diǎn)，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，則EF的長(zhǎng)度為（）A．2 B．2 C． D．23．（2021·北京·東直門(mén)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=70°，則∠D的度數(shù)是（）A．110° B．90° C．70° D．50°4．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（

）A．130° B．120° C．80° D．60°二、解答題5．（2019·北京師大附中九年級(jí)期中）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作半⊙O的切線(xiàn)AP，AP與OD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P．連接PC并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．（1）求證：PC是半⊙O的切線(xiàn)；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求線(xiàn)段BF的長(zhǎng)．6．（2019·北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，直線(xiàn)AC是⊙O的切線(xiàn)，OD⊥OB，連接AB交OC于點(diǎn)D．⑴求證：AC=CD⑵若AC=2，AO=，求OD的長(zhǎng)度．7．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，射線(xiàn)AP交⊙O于C點(diǎn)，∠PCO的平分線(xiàn)交⊙O于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作交AP于E點(diǎn)．（1）求證：DE為⊙O的切線(xiàn)；（2）若DE=3，AC=8，求直徑AB的長(zhǎng)．8．（2019·北京教育學(xué)院附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，A、B為切點(diǎn)，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）當(dāng)OA＝3時(shí)，求AP的長(zhǎng)．9．（2019·北京教育學(xué)院附屬中學(xué)九年級(jí)期中）以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點(diǎn)A，B．（1）如圖一，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，沿x軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度比點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度慢，經(jīng)過(guò)1秒后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，0），此時(shí)PQ恰好是⊙O的切線(xiàn)，連接OQ．求∠QOP的大小；（2）若點(diǎn)Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停留在點(diǎn)（2，0）處不動(dòng)，求點(diǎn)Q再經(jīng)過(guò)5秒后直線(xiàn)PQ被⊙O截得的弦長(zhǎng)．10．（2019·北京育才學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)，∠BAC=30°，M是OA上一點(diǎn)，過(guò)M作AB的垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，直線(xiàn)CF交EN于點(diǎn)F，且∠ECF=∠E．（1）證明：CF是⊙O的切線(xiàn)；（2）設(shè)⊙O的半徑為1，且AC=CE，求MO的長(zhǎng)．11．（2019·北京市第一五六中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠B＝30°，延長(zhǎng)BA到D，使∠BDC＝30°．(1)求證：DC是⊙O的切線(xiàn)；(2)若AB＝2，求DC的長(zhǎng)．

參考答案1．C【詳解】已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線(xiàn)L的距離為3，因5＞3，即d＜r，所以直線(xiàn)L與⊙O的位置關(guān)系是相交.故選C2．B【詳解】本題考查的圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系中的相切．連接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO為等邊三角形．又因?yàn)橄褽F∥AB所以O(shè)C垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2．3．A【詳解】試題分析：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=180°﹣70°=110°，故選A．考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．4．B【詳解】試題分析：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故選B．考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．5．（1）見(jiàn)解析；（2）5.【分析】（1）、連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及切線(xiàn)的性質(zhì)定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可證得；（2）、依據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)定理可知OC⊥PE，然后通過(guò)解直角三角函數(shù)，求得OF的值，再減去圓的半徑即可．【詳解】解：（1）、連接OC，∵OD⊥AC，OD經(jīng)過(guò)圓心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切線(xiàn)．（2）、∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切線(xiàn)，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF==10，∴BF=OF﹣OB=5．6．⑴證明見(jiàn)解析⑵1【分析】（1）由AC為圓的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OAC為直角，再由OC與OB垂直，得到∠BOC為直角，由OA=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再利用對(duì)頂角相等及等角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊即可得證.（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的長(zhǎng).【詳解】證明：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.∵直線(xiàn)AC為圓O的切線(xiàn)，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.∵OB⊥OC，∴∠BOC="90°."∴∠ODB+∠B=90°.∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°.∴∠DAC=∠CDA.∴AC=CD.解：（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，根據(jù)勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，解得：OD=1（負(fù)值已舍去）.考點(diǎn)：1.等腰三角形的判定和性質(zhì)；2.切線(xiàn)的性質(zhì)；3.勾股定理.7．（1）證明見(jiàn)解析；（2）10．【分析】（1）連接OD若要證明DE為⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠DOE=90°即可；（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AP于F，利用垂徑定理以及勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接OD．∵OC=OD，∴∠1=∠3．∵CD平分∠PCO，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∵DE⊥AP，∴∠2+∠EDC=90°．∴∠3+∠EDC=90°．即∠ODE=90°．∴OD⊥DE．∴DE為⊙O的切線(xiàn)．（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AP于F．由垂徑定理得，AF=CF．∵AC=8，∴AF=4．∵OD⊥DE，DE⊥AP，∴四邊形ODEF為矩形．∴OF=DE．∵DE=3，∴OF=3．在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25．∴OA=5．∴AB=2OA=10．【點(diǎn)睛】本題考查1.切線(xiàn)的判定；2.勾股定理；3.垂徑定理，屬于綜合性題目，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵．8．（1）60°；（2）.【詳解】試題分析：(1)、方法1，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度數(shù)，可將∠APB的度數(shù)求出；方法2，證明△ABP為等邊三角形，從而可將∠APB的度數(shù)求出；(2)、方法1，作輔助線(xiàn)，連接OP，在Rt△OAP中，利用三角函數(shù)，可將AP的長(zhǎng)求出；方法2，作輔助線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△OAD中，將AD的長(zhǎng)求出，從而將AB的長(zhǎng)求出，也即AP的長(zhǎng)．試題解析：(1)、方法一：∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四邊形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．方法二：

∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn)∴PA=PB，OA⊥PA；∵∠OAB=30°，OA⊥PA，∴∠BAP=90°﹣30°=60°，∴△ABP是等邊三角形，

∴∠APB=60°．(2)、方法一：如圖①，連接OP；∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP==3．方法二：如圖②，作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D；∵在△OAB中，OA=OB，∴AD=AB；∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°∴AD=OA?cos30°=，∴AP=AB=3．考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)．9．（1）∠QOP=60°；（2）QD=.【詳解】（1）解：如圖一，連結(jié)AQ．由題意可知：OQ=OA=1.∵OP=2,∴A為OP的中點(diǎn).∵PQ與相切于點(diǎn)Q,∴為直角三角形∴即ΔOAQ為等邊三角形.∴∠QOP=60°．（2）解：由（1）可知點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，那么再過(guò)5秒，則Q點(diǎn)落在與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)的位置（如圖二）.設(shè)直線(xiàn)PQ與的交點(diǎn)為D，過(guò)O作OC⊥QD于點(diǎn)C，則C為QD的中點(diǎn).∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,∴QP=∵,∴OC=∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,∴QC=.∴QD=10．（1）答案見(jiàn)解析；（2）．【詳解】分析：（1）要證CF為⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠OCF=90°即可；

（2）根據(jù)三角函數(shù)求得AC的長(zhǎng)，從而可求得BE的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)可求出MB的值，從而可得到MO的長(zhǎng)．詳解：（1）如圖，連接OC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°；在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF為⊙O的切線(xiàn)；（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，∴AC=ABcos30°=，BC=ABsin30°=1；∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+．在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，∴MB=BEsin30°=，∴MO=MB﹣OB=．點(diǎn)睛：本題考查的是切線(xiàn)的判定，要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．11．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)切線(xiàn)的判定方法，只需證CD⊥OC．所以連接OC，證∠OCD