高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義2.7拋物線及其方程(2知識點(diǎn)+8題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.7拋物線及其方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解拋物線的定義及其圖形特征，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)2.能夠運(yùn)用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單問題3.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和解決問題的能力。重點(diǎn)：1.拋物線的定義及其圖形特征;2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì);難點(diǎn)：1.拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn);2.拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。知識點(diǎn)01拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：1.定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．2.拋物線的定義用集合語言表示為：P{M||MF|d}(d為M到直線l的距離)．3.定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M點(diǎn)；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì)．【即學(xué)即練1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線x2=4y，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，若以y軸正方向的射線Fy繞焦點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與拋物線交于點(diǎn)N，則【即學(xué)即練2】（23-24高二下·河北邢臺·階段練習(xí)）已知拋物線y2=3x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在該拋物線上，且MF=114知識點(diǎn)02拋物線的幾何性質(zhì)類型y22px(p>0)y2－2px(p>0)x22py(p>0)x2－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x－eq\f(p,2)xeq\f(p,2)y－eq\f(p,2)yeq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下【即學(xué)即練3】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知拋物線y2=2px(p>0)，直線x=m【即學(xué)即練4】（23-24高二上·遼寧·期末）已知點(diǎn)A0,1和拋物線C:y2難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合求最值問題示例1：（23-24高二下·山西長治·期末）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P,Q,R為C上可相互重合的點(diǎn)，且PF【題型1：拋物線的定義與應(yīng)用】例1．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足方程5A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線變式1．（23-24高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且點(diǎn)A．3p B．2p C．72變式2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知F為拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)P作圓xA．12 B．23 C．1 變式3.（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知拋物線y=14x2A．1716 B．5 C．6 D．變式4．（23-24高二上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Px0,12x0>0變式5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知點(diǎn)Px0,y0關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在曲線C：y=2x上，且點(diǎn)P到點(diǎn)F1,0的距離為點(diǎn)P到直線x變式6．（23-24高二下·海南·期末）已知直線y=6x與拋物線C:y2=2px(p>0)在第一象限交于點(diǎn)變式7．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）拋物線C:y2變式8．（多選）（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）點(diǎn)P到點(diǎn)A12,0，Ba,2及到直線xA．1 B．?2 C．12 D．【題型2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)】例2．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為6,0，則C的方程為（

）A．y2=?8x B．y2=?4x變式1．（20-21高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）以x軸為對稱軸，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上的一點(diǎn)P1,A．y=8x2 B．y=12x2變式2．（22-23高二上·湖北·期末）設(shè)點(diǎn)F是拋物線y2=2pxp>0A．y2=xC．y2=4x變式3．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=?2，則拋物線的方程是變式4．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知拋物線C：y2=2pxp>0變式5．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知拋物線C：y2=2pxp>0變式6．（15-16高二上·甘肅白銀·期末）焦點(diǎn)在直線x+3變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,N變式8．（20-21高二下·陜西漢中·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)Px0,2【方法技巧與總結(jié)】求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法①先定位：根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的位置；②再定形：即根據(jù)條件求p.2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧①利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；②要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算．【題型3：弦長問題】例3．（24-25高二上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）設(shè)斜率為k的直線l與拋物線相交于Ax1,y1，Bx2,y2變式1.（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線l交C于AA．33 B．3 C．22 變式2．（23-24高三上·廣東廣州·期中）直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn).若AFA．83 B．3 C．163 變式3．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知直線y=2x+2與拋物線x2=2py變式4.（23-24高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A(1)若直線l的斜率為3，求AFFB(2)求線段AB的長度的最小值．(3)若拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在拋物線C上，求當(dāng)|NM||變式5．（2024·廣東江門·二模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)B作x軸的平行線BP(P是動(dòng)點(diǎn)，且異于點(diǎn)B)，過點(diǎn)F作AP的平行線交C于M，N變式6．（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）已知直線AB過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1)若AB=5，求直線AB(2)若過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，直線BD的斜率是否為定值?若是，請求出定值，若不是，說明理由．變式7．（23-24高二下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知拋物線y2=?4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線l(1)求AB的值；(2)求1AF8．（23-24高二下·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于(1)求C的方程；(2)若l的斜率大于0，A在第一象限，過F與l垂直的直線和過A與x軸垂直的直線交于點(diǎn)D，且AB=AD，求【方法技巧與總結(jié)】活用拋物線焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論拋物線的焦點(diǎn)弦問題一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，該問題常與弦長、三角形面積、向量、不等式等知識相融合，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸意識和靈活解題能力．命題點(diǎn)主要體現(xiàn)在焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論上：設(shè)AB是過拋物線y22px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2eq\f(p2,4).(2)y1·y2－p2.(3)|AB|x1＋x2＋peq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))【題型4：周長問題】例4．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C:y2=8x，P為x軸正半軸上一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線l交C于AA．64 B．643 C．6433變式1．（23-24高二上·山東青島·期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M2,1射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)A．254+13 B．72+29變式2．（19-20高二上·重慶沙坪壩·期末）已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l過橢圓xA．16 B．8 C．4 D．2變式3．（22-23高二上·浙江寧波·期末）已知圓M:x2+(A．4+4153 B．4+215 C．變式4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）M是拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，MM1A．8+3 B．8+23 C．10變式5．（23-24高二上·甘肅·期末）已知F為拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，且MFA．6+42 B．7+42 C．10變式6．（22-23高三下·河南開封·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C:y2=8x,P為x軸正半軸上一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線l交CA．643 B．64 C．803變式7．（20-21高二上·上海金山·期末）設(shè)焦點(diǎn)為F1?F2的橢圓x2a2+y23=1a>0上的一點(diǎn)變式8．（20-21高二上·陜西西安·期中）已知拋物線y2=2pxp>0在第一象限內(nèi)的部分上一點(diǎn)A3,b到拋物線焦點(diǎn)F【題型5：面積問題】例5．（遼寧省部分重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高三8月階段性測試數(shù)學(xué)試題）過拋物線x2=4y焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(xA．4 B．8 C．16 D．32變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，若以x軸正方向的射線Fx繞焦點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，與拋物線交于點(diǎn)N，過N作NP⊥y軸，交準(zhǔn)線于點(diǎn)變式2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為F和定點(diǎn)Q6,3,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)直線FQ交拋物線于變式3.（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A是拋物線C：x2(1)若點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4，求拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程；(2)過點(diǎn)A作圓O：x2+y2=1①若MN=211，求點(diǎn)②求△AMN變式4．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，已知直線與拋物線C：y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(1)求p的值．(2)若線段AB的垂直平分線于拋物線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△OEF變式5．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F(0，1)，P為動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓與x軸相切，記Р的軌跡為Γ.(1)求Р的方程；(2)設(shè)M為直線y=?1上的動(dòng)點(diǎn)，過M的直線與Р相切于點(diǎn)A，過A作直線MA的垂線交Γ于點(diǎn)B，求△變式6．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，M是拋物線C的準(zhǔn)線與(1)求拋物線C的方程．(2)設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，直線MA,MB與直線（?。┳C明：直線MA與MB的斜率之和為0．（ⅱ）求△MPQ變式7．（23-24高二下·廣東廣州·期末）設(shè)拋物線C1：y2=2px，C2：x2=2pyp>0，C1，C2的焦點(diǎn)分別為(1)求C1，C(2)過C1上第一象限內(nèi)一點(diǎn)M作C1的切線l，交①x軸正半軸上的點(diǎn)P滿足tan∠AMP②過點(diǎn)A，B分別作C2的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)三角形ABD的面積最小時(shí)，求AM變式8．（23-24高二下·廣東·期末）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F到點(diǎn)N0,2的距離為5，A，B為拋物線(1)求拋物線C的方程；(2)求△NAB【題型6：最值問題】例6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C:y2=24x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)QA．12 B．14 C．16 D．18變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A3,21，拋物線C:y2A．10 B．8 C．5 D．4變式2．（23-24高二上·山東青島·期末）設(shè)拋物線y2=?4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線3xA．3 B．2 C．163 變式3．（23-24高三上·河南南陽·期末）已知A(m,2),B(n,3)A．10 B．6+25 C．11 D．變式4．（11-12高二上·江蘇常州·期中）已知點(diǎn)A(2,0),B(1,4)，M、N是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足MN=4，△AMN的外心P在y變式5．（23-24高二下·上海閔行·期末）設(shè)P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓x?4變式6．（23-24高二下·上海松江·階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，若P是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q變式7．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A2,2，記拋物線C：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，則變式8．（23-24高二上·黑龍江·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A?2,1，B?2,4，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB=12，點(diǎn)M為拋物線E：y2=8x上的任意一點(diǎn)，M【方法技巧與總結(jié)】與拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離有關(guān)的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，然后通過數(shù)形結(jié)合直接判斷出取得最值時(shí)所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數(shù)運(yùn)算．【題型7：直線與拋物線的位置關(guān)系】例7．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l與拋物線x2=2pyA．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切變式1．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l:y=k(A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條變式2．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C的方程為x2=12yA．?∞,?2∪2C．?∞,?22 D．變式3．（17-18高二上·四川廣安·期末）已知直線l與拋物線C，則“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式4．（多選）（23-24高二下·河北唐山·期末）已知拋物線C過點(diǎn)A1,?4A．拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為yB．撻物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為xC．過點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條D．過點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條變式5．(多選）（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）若直線l被圓M:x2A．x?12+C．x23+變式6．(多選)（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為lA．若y1+B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)M0,3，則PM的最小值為D．過點(diǎn)N3,3與拋物線C變式7．（多選）（22-23高二上·山東煙臺·期末）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為FA．過點(diǎn)A0,2B．設(shè)點(diǎn)B3,2，則PB?C．點(diǎn)P到直線x?yD．點(diǎn)P到直線4x?3y+6=0與點(diǎn)P變式8．（23-24高二上·江蘇南通·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Px,yx≥0到點(diǎn)F1,0的距離與到(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)Ax0,y0y0【方法技巧與總結(jié)】解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB||x1|＋|x2|＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．(3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．[注意]涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解．一、單選題1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線y2=2px(pA．y2=12xC．y2=12x或y2=242．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）拋物線y=A．0,?14a B．0,14a3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，若PFA．3,26 B．3,?26C．?3,26 D．?3,?264．（23-24高二下·陜西咸陽·期末）已知拋物線y2=16xA．y=±33x B．y=±35．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知M為拋物線y2=2px上一點(diǎn)，且M到拋物線焦點(diǎn)F的距離為4，它到y(tǒng)A．4 B．3 C．2 D．16．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）設(shè)拋物線y2=32x的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)M14,a，NA．M B．N C．P D．Q7．（23-24高二上·河南鄭州·期末）已知A為拋物線C：y2=2pxp>0上一點(diǎn)，點(diǎn)A到CA．1 B．2 C．3 D．68．（23-24高二下·湖南·期末）設(shè)F為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)Px0,y0為C上一點(diǎn)，過A．223 B．?223 二、多選題9．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C1:y2=mx(A．雙曲線C2的離心率為2 B．雙曲線C2C．m=8 D．點(diǎn)P到拋物線C10．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知圓O:x2A．x2+yC．拋物線E:y2=411．（23-24高二上·浙江溫州·期末）以下選項(xiàng)中的兩個(gè)圓錐曲線的離心率相等的是（

）A．x24?y22=1C．x24+y22=1三、填空題12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C:y2=12x的焦點(diǎn)為F,P是C上一點(diǎn)，若PF13．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）過點(diǎn)1,0作傾斜角為120°的直線與y2=4x交于A,14．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）過拋物線C：y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)O，且傾斜角為80°的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為A四、解答題15．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知頂點(diǎn)為O的拋物線y2=2px(p>0)過點(diǎn)(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)以及拋物線方程；(2)若點(diǎn)N與M關(guān)于點(diǎn)F對稱，求S△16．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AB與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M(?2,1)是線段AB的中點(diǎn)，求直線AB17．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(1)求C的方程，若經(jīng)點(diǎn)?1,0的直線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程.(2)若過點(diǎn)M0,2的直線l1與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn).求證：18．（22-23高二下·四川成都·期末）已知拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為(1)當(dāng)直線AB的傾斜角為π4時(shí)，直線AB被圓x2+y2(2)若點(diǎn)C在x軸上，且△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線AB19．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）拋物線E的準(zhǔn)線方程為y=?14，拋物線E上的三個(gè)點(diǎn)A(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)B坐標(biāo)為1,1，證明：直線AC過定點(diǎn)；(3)若BA=BC，求2.7拋物線及其方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解拋物線的定義及其圖形特征，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)2.能夠運(yùn)用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單問題3.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和解決問題的能力。重點(diǎn)：1.拋物線的定義及其圖形特征;2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì);難點(diǎn)：1.拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn);2.拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。知識點(diǎn)01拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：1.定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．2.拋物線的定義用集合語言表示為：P{M||MF|d}(d為M到直線l的距離)．3.定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M點(diǎn)；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì)．【即學(xué)即練1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線x2=4y，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，若以y軸正方向的射線Fy繞焦點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與拋物線交于點(diǎn)N，則【答案】4【分析】根據(jù)拋物線的定義及直角三角形的性質(zhì)可得解.【詳解】

易知焦點(diǎn)F0,1，準(zhǔn)線l:y=?1，過點(diǎn)N作過點(diǎn)F作EF⊥NP，垂足為設(shè)FN=m，則由拋物線定義可知又因∠NFy=60°，所以在直角△EFN中，EN解得m=4故答案為：4【即學(xué)即練2】（23-24高二下·河北邢臺·階段練習(xí)）已知拋物線y2=3x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在該拋物線上，且MF=114【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線定義直接求出結(jié)果.【詳解】依題意，拋物線上點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線x=?34所以M到y(tǒng)軸的距離為114故答案為：2知識點(diǎn)02拋物線的幾何性質(zhì)類型y22px(p>0)y2－2px(p>0)x22py(p>0)x2－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x－eq\f(p,2)xeq\f(p,2)y－eq\f(p,2)yeq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下【即學(xué)即練3】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知拋物線y2=2px(p>0)，直線x=m【答案】0【分析】利用拋物線的對稱性得到y(tǒng)1【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)關(guān)于故y1=?y故答案為：0.【即學(xué)即練4】（23-24高二上·遼寧·期末）已知點(diǎn)A0,1和拋物線C:y2【答案】x=0或【分析】分直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，結(jié)合根的判別式得到方程，求出答案.【詳解】當(dāng)過A0,1的直線斜率不存在時(shí)，方程為x=0，與當(dāng)過A0,1的直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y?1=kxk2令Δ=2k?4故y?1=x，即故答案為：x=0或難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合求最值問題示例1：（23-24高二下·山西長治·期末）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P,Q,R為C上可相互重合的點(diǎn)，且PF【答案】1,513【分析】利用焦半徑公式表示PF，進(jìn)而利用拋物線上點(diǎn)的范圍求解第一空，利用焦半徑公式結(jié)合基本不等式求解第二空即可.【詳解】第一空，如圖，設(shè)P(x1,y1)

故PF=(1?x1,?y而PF+2QF+2可得2x3+2x2由0≤(y3所以0≤y12第二空，QF=x2而2y2+y1又2y故20=2y即y12+3y22≥10故答案為：[1,5]；132【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求解析幾何，解題關(guān)鍵是合理運(yùn)用焦半徑公式結(jié)合基本不等式，然后找到取等條件，得到所要求的最值即可．【題型1：拋物線的定義與應(yīng)用】例1．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足方程5A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】根據(jù)軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由5(x?1)等式左邊表示點(diǎn)x,y和點(diǎn)等式的右邊表示點(diǎn)x,y到直線整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)x,y到點(diǎn)1,2的距離和到直線且點(diǎn)1,2不在直線3x.變式1．（23-24高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且點(diǎn)A．3p B．2p C．72【答案】A【分析】利用拋物線的定義即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M到直線x=?p的距離為所以點(diǎn)M到拋物線C準(zhǔn)線x=?p2由拋物線的定義得，MF=.變式2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知F為拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)P作圓xA．12 B．23 C．1 【答案】A【分析】利用拋物線的知識可以知道點(diǎn)F，然后再利用切線和垂直即可求解.【詳解】由題意易得F(∵過C上一點(diǎn)P作圓x?22+y2∴P(p將點(diǎn)P(p2,r∴3p2.變式3.（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知拋物線y=14x2A．1716 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】利用拋物線的定義，將點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離即得.【詳解】依題意，由拋物線的定義知，點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離即點(diǎn)A到準(zhǔn)線y=?1即4?(?1)=5..變式4．（23-24高二上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Px0,12x0>0【答案】2【分析】根據(jù)拋物線的定義可知：PQ=PF，則PQ=PO，可知點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，則【詳解】因?yàn)镻O=PQ=PF，所以則OF=1，p=2，即x2又x0>0，故答案為：2.變式5．（23-24高二下·海南?？凇て谀┮阎c(diǎn)Px0,y0關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在曲線C：y=2x上，且點(diǎn)P到點(diǎn)F1,0的距離為點(diǎn)P到直線x【答案】?1【分析】根據(jù)拋物線定義及距離關(guān)系式可得x0=1【詳解】因?yàn)榍€C的方程為y=2x，即所以由題意及拋物線的對稱性知，點(diǎn)P在拋物線y2=4x點(diǎn)F1,0由拋物線的定義可知PF=x0解得x0=1所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14，代入拋物線得?y故答案為：?1變式6．（23-24高二下·海南·期末）已知直線y=6x與拋物線C:y2=2px(p>0)在第一象限交于點(diǎn)【答案】3【分析】先由直線方程與拋物線方程聯(lián)方程組表示出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義結(jié)合題意列方程可求出p.【詳解】拋物線C:y2由y=6xy2解得x=0或x所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p3因?yàn)辄c(diǎn)P到C的準(zhǔn)線的距離為52所以p3+p故答案為：3變式7．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）拋物線C:y2【答案】3【分析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為xP,y【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得：拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離.由拋物線C:y2設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為xP因?yàn)閽佄锞€C:y2所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)1,0的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(3,0)的距離，則xP?12所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離為xP故答案為：3變式8．（多選）（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）點(diǎn)P到點(diǎn)A12,0，Ba,2及到直線xA．1 B．?2 C．12 D．【答案】DD【分析】根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)Px,y【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)A12,0則P所在曲線是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線x=?12為準(zhǔn)線的拋物線y所以y22+可知方程只有一解，當(dāng)a=12時(shí)，方程為?16當(dāng)a≠12時(shí)，Δ=綜上所述a=±D.【題型2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)】例2．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為6,0，則C的方程為（

）A．y2=?8x B．y2=?4x【答案】A【分析】設(shè)拋物線的方程為y2=?2px(p>0)，設(shè)焦點(diǎn)F關(guān)于準(zhǔn)線l的對稱點(diǎn)為【詳解】由題意，設(shè)拋物線的方程為y2可得焦點(diǎn)坐標(biāo)F(?p2設(shè)焦點(diǎn)F關(guān)于準(zhǔn)線l的對稱點(diǎn)為P(x0,0)，可得因?yàn)辄c(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為6,0，可得3p2=6所以拋物線的方程為y2.變式1．（20-21高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）以x軸為對稱軸，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上的一點(diǎn)P1,A．y=8x2 B．y=12x2【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解．【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的方程為y2由拋物線的定義知1+p2=3所以拋物線方程為y2．變式2．（22-23高二上·湖北·期末）設(shè)點(diǎn)F是拋物線y2=2pxp>0A．y2=xC．y2=4x【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義及性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：由題意得：AB=2，BC=23，可得∠CAB=60°所以△ABF是等邊三角形，所以p=1變式3．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=?2，則拋物線的方程是【答案】y【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)和準(zhǔn)線位置可知其開口方向，并求得其焦準(zhǔn)距，即得拋物線方程.【詳解】由準(zhǔn)線方程x=?2得?p2且拋物線的開口向右（或焦點(diǎn)在x軸的正半軸上），故可設(shè)y2=2px故答案為：y2變式4．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知拋物線C：y2=2pxp>0【答案】y【分析】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓x22+y2所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故答案為：y2變式5．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知拋物線C：y2=2pxp>0【答案】y2=4【分析】分∠AFB=π2或【詳解】由題意得，當(dāng)∠AFB=π2時(shí)，當(dāng)∠FAB=π2或∠FBA所以拋物線的方程是y2=42故答案為：y2=42變式6．（15-16高二上·甘肅白銀·期末）焦點(diǎn)在直線x+3【答案】y2=?60【分析】先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線x+3y+15=0交x軸于點(diǎn)(?15,0)，交y以點(diǎn)(?15,0)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2以點(diǎn)(0,?5)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=?60x故答案為：y2=?60變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,N【答案】x【分析】求得拋物線的準(zhǔn)線方程為y=?p2，根據(jù)題意，利用拋物線的定義，得到p【詳解】由拋物線x2=2py因?yàn)镹F=6，根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)N到準(zhǔn)線的距離為6又因?yàn)镹到x軸的距離為5，可得p2=6?5，解得所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故答案為：x2變式8．（20-21高二下·陜西漢中·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)Px0,2【答案】x【分析】利用待定系數(shù)法直接求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)Px所以可設(shè)拋物線：x2由拋物線的定義可得：2+p2=4所以拋物線的方程為：x2故答案為：x2【方法技巧與總結(jié)】求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法①先定位：根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的位置；②再定形：即根據(jù)條件求p.2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧①利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；②要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算．【題型3：弦長問題】例3．（24-25高二上·上海·課前預(yù)習(xí)）設(shè)斜率為k的直線l與拋物線相交于Ax1,y1，Bx2,y2【答案】1+k2【分析】利用兩根和，積表示弦長公式.【詳解】AB=AB=故答案為：1+k2變式1.（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線l交C于AA．33 B．3 C．22 【答案】C【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線后借助焦點(diǎn)弦公式計(jì)算即可得.【詳解】依題意F1,0，設(shè)直線AB的方程為x由y2=4xx=所以AB=解得m=33，所以直線l.變式2．（23-24高三上·廣東廣州·期中）直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn).若AFA．83 B．3 C．163 【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線焦半徑公式求出點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出弦長【詳解】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

設(shè)A(x1由AF=3BF，得y1由AF=3BF，得x1聯(lián)立解得x1=3，x2變式3．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知直線y=2x+2與拋物線x2=2py【答案】13【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得到x1x2,y【詳解】設(shè)Ax1,y1則Δ=16p2+16因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A→·OB所以y1所以|AF故答案為：13.變式4.（23-24高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A(1)若直線l的斜率為3，求AFFB(2)求線段AB的長度的最小值．(3)若拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在拋物線C上，求當(dāng)|NM||【答案】(1)3(2)4(3)x【分析】（1）聯(lián)立方程組，解方程組求A,（2）設(shè)直線AB的方程為x=（3）設(shè)N的坐標(biāo)為N(a,b)，結(jié)合基本不等式求|【詳解】（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F所以直線AB的方程為y=聯(lián)立方程組可得y2得3(x?1)由點(diǎn)A在第一象限，則yA所以xA=3，xB=1所以|AF（2）由已知，直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線AB的方程為x=聯(lián)立y2=4xx=ty+1所以yA+y故|當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)等號不成立，故線段AB的長度的最小值為4（3）設(shè)N的坐標(biāo)為N(a,則|NM|=因?yàn)辄c(diǎn)N在拋物線C：y2=4x所以|當(dāng)且僅當(dāng)a=1a即a=1時(shí)等號不成立，此時(shí)所以直線MN的方程為：x±【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用焦點(diǎn)弦公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．變式5．（2024·廣東江門·二模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)B作x軸的平行線BP(P是動(dòng)點(diǎn)，且異于點(diǎn)B)，過點(diǎn)F作AP的平行線交C于M，N【答案】(1)y(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，得到直線方程為y=2x?p，設(shè)（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+2，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)拋物線的弦長求得|MN|，由AP//【詳解】（1）設(shè)Ax因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為p2,0，所以由y2=2px則x1從而|得p=4，所以C的方程為y（2）證明：因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，直線MN的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為x=my設(shè)Mx3,y3則y所以|MN|=1+由（1）可知，y因?yàn)辄c(diǎn)A，P的縱坐標(biāo)分別為y1,y2可得|PA|2變式6．（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）已知直線AB過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1)若AB=5，求直線AB(2)若過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，直線BD的斜率是否為定值?若是，請求出定值，若不是，說明理由．【答案】(1)2x?(2)直線BD的斜率為定值0，理由見解析【分析】（1）分AB斜率是否存在進(jìn)行討論，斜率存在時(shí)設(shè)AB:y=kx（2）首先得D?1,?4y1，又【詳解】（1）由題意知，拋物線焦點(diǎn)F1,0當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，聯(lián)立AB:x=1與拋物線y2=4當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB:由y=kx?1y由韋達(dá)定理知，x1+x2=經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)滿足Δ>0，所以，直線AB的方程為2x?y（2）設(shè)Ay124,y1由（1）知x1x2=1，則所以，直線BD的斜率為定值0．變式7．（23-24高二下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知拋物線y2=?4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線l(1)求AB的值；(2)求1AF【答案】(1)8；(2)1AF【分析】（1）借助韋達(dá)定理與焦點(diǎn)弦公式計(jì)算即可得；（2）借助韋達(dá)定理計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F?1,0所以直線l的方程為y=x+1將y=x+1代入y2=?4所以x1由拋物線的定義知AF=?故AB=（2）1AF故1AF8．（23-24高二下·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于(1)求C的方程；(2)若l的斜率大于0，A在第一象限，過F與l垂直的直線和過A與x軸垂直的直線交于點(diǎn)D，且AB=AD，求【答案】(1)y(2)4【分析】（1）由因?yàn)锳,B到直線x=?3的距離之和等于AB+4，根據(jù)拋物的定義和焦點(diǎn)弦長，列出方程（2）設(shè)l:x=my+1(m>0)，聯(lián)立方程組，得到y(tǒng)1+y2【詳解】（1）解：由題意，拋物線C:y2=2px則A,B到準(zhǔn)線x=?因?yàn)锳,B到直線x=?3的距離之和等于AB解得p=2，所以拋物線C的方程為y（2）解：由焦點(diǎn)F(1,0)，可得設(shè)l:x聯(lián)立方程組x=my+1則Δ=(?4m)所以AB=設(shè)D(x1,t即t=?所以AD=由AB=4(m2代入y2?4my?4=0，可得所以直線l的方程為4x【方法技巧與總結(jié)】活用拋物線焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論拋物線的焦點(diǎn)弦問題一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，該問題常與弦長、三角形面積、向量、不等式等知識相融合，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸意識和靈活解題能力．命題點(diǎn)主要體現(xiàn)在焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論上：設(shè)AB是過拋物線y22px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2eq\f(p2,4).(2)y1·y2－p2.(3)|AB|x1＋x2＋peq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))【題型4：周長問題】例4．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C:y2=8x，P為x軸正半軸上一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線l交C于AA．64 B．643 C．6433【答案】A【分析】根據(jù)題意得到四邊形OAPB為菱形，再結(jié)合∠OAP【詳解】根據(jù)拋物線的對稱性以及AB為線段OP的垂直平分線，可得四邊形OAPB為菱形，又∠OAP=60°，可得故可設(shè)Aa,3a，代入拋物線方程可得故OA=2故四邊形OAPB的周長為：4×16.變式1．（23-24高二上·山東青島·期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M2,1射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)A．254+13 B．72+29【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即得.【詳解】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x=?1直線AF方程為：y=1?01由x=1?34yy2=4x，消去x得y2于是A(14而|AM所以△ABM的周長為8+

變式2．（19-20高二上·重慶沙坪壩·期末）已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l過橢圓xA．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】由拋物線準(zhǔn)線過橢圓左焦點(diǎn)可得?p2=?p2?3,求解【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=?p2,橢圓的左焦點(diǎn)為(?p2?3,0),所以?所以△PQF2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查橢圓定義的應(yīng)用變式3．（22-23高二上·浙江寧波·期末）已知圓M:x2+(A．4+4153 B．4+215 C．【答案】D【分析】設(shè)過A(2,2)的直線為y=k【詳解】設(shè)過A(2,2)的直線為：y由直線與圓相切，則d=點(diǎn)A(2,2)在拋物線P聯(lián)立y=由題意，點(diǎn)A(2,2)的橫坐標(biāo)xA=2由韋達(dá)定理得xA?又k=±33則BC=故四邊形BCEF的周長為：2BC.變式4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）M是拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，MM1A．8+3 B．8+23 C．10【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義，求出M點(diǎn)縱坐標(biāo)，利用勾股定理求出M1【詳解】如圖，

由拋物線C:y2=4x因?yàn)镸F=MM代入拋物線方程可得yM=±23則yM=23又NF=2p=2所以△MM1變式5．（23-24高二上·甘肅·期末）已知F為拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，且MFA．6+42 B．7+42 C．10【答案】A【分析】由MF的長度的M點(diǎn)坐標(biāo)，求得△OMF【詳解】設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0代入拋物線方程得x02=16△OMF的周長為OM.變式6．（22-23高三下·河南開封·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C:y2=8x,P為x軸正半軸上一點(diǎn)，線段OP的垂直平分線l交CA．643 B．64 C．803【答案】A【分析】線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點(diǎn),結(jié)合拋物線的對稱性可得AB與OP互相平分,則四邊形OAPB為菱形,可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo),通過幾何關(guān)系求出【詳解】因?yàn)榫€段OP的垂直平分線l交C于A,所以結(jié)合拋物線的對稱性可得AB與OP互相平分,則四邊形OAPB為菱形.設(shè)點(diǎn)P2t,0且t>0則線段OP的垂直平分線令l與x軸交于點(diǎn)H,又∠OAP

則在直角三角形OAH中∠繼而可得AH=所以A點(diǎn)坐標(biāo)為t,代入拋物線C:y2=8x直角三角形OAH中OA=2所以四邊形OAPB的周長為4OA.變式7．（20-21高二上·上海金山·期末）設(shè)焦點(diǎn)為F1?F2的橢圓x2a2+y23=1a>0上的一點(diǎn)【答案】6【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線方程求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程求a的值，從而求△P【詳解】設(shè)Px0,y0代入拋物線方程，得y0=±32，不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為所以△PF1故答案為：6.變式8．（20-21高二上·陜西西安·期中）已知拋物線y2=2pxp>0在第一象限內(nèi)的部分上一點(diǎn)A3,b到拋物線焦點(diǎn)F【答案】4【解析】利用拋物線的定義由3+p2=4求得拋物線方程y2=4x，進(jìn)而得到準(zhǔn)線方程x=?1【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2=2pxp>0由拋物線的定義得；3+p2=4所以拋物線方程為y2=4x，準(zhǔn)線方程為x=?1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為如圖所示：點(diǎn)A關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)A'?5,23所以△PAF的周長最小值為故答案為：4【題型5：面積問題】例5．（遼寧省部分重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高三8月階段性測試數(shù)學(xué)試題）過拋物線x2=4y焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(xA．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【分析】表示出點(diǎn)A處的切線方程代入x2=4y后，結(jié)合韋達(dá)定理可得x2+x3=2x1，設(shè)E0,【詳解】點(diǎn)A處的切線方程為x1x=2所以直線l的方程為y=代入x2=4y該方程的解為x2，x3，由韋達(dá)定理可知設(shè)E0,y0，代入y因?yàn)閗AB=y2?化簡得4y?(x1+x直線l的方程可化為y=即x1∴△ABDS=≥2(2y1).變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，若以x軸正方向的射線Fx繞焦點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，與拋物線交于點(diǎn)N，過N作NP⊥y軸，交準(zhǔn)線于點(diǎn)【答案】8+6【分析】聯(lián)立直線FN的方程和拋物線方程得到N的坐標(biāo)，從而利用三角形面積公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由題知焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線為x=?1，直線FN的方程為：聯(lián)立y2=4x所以xN=3+22或3?2NP=1+3+2所以S△故答案為：8+62變式2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為F和定點(diǎn)Q6,3,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)直線FQ交拋物線于【答案】答案見解析【分析】由拋物線y2=12x可知焦點(diǎn)F3,0，又Q6,3，因此可知直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立，可求出弦長|AB|；因?yàn)镻F【詳解】

因?yàn)镕3,0,Q6,3，所以kFQ設(shè)Ax聯(lián)立y2=12x,y所以y1則AB=因?yàn)镻F=9，所以xP=6當(dāng)P6,62時(shí)，P到FQ的距離當(dāng)P6,?62時(shí)，P到FQ的距離變式3.（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A是拋物線C：x2(1)若點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4，求拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程；(2)過點(diǎn)A作圓O：x2+y2=1①若MN=211，求點(diǎn)②求△AMN【答案】(1)y(2)①2；②4【分析】（1）將拋物線轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的意義求切線斜率，從而得到切線方程；（2）①利用切線長定理表示△AMN的周長，結(jié)合內(nèi)切圓半徑公式和三角形面積公式均可得到△AMN的面積，從而得到點(diǎn)②利用三角形面積公式可將△AMN的面積表示為y【詳解】（1）∵A的橫坐標(biāo)為4，∴又∵y=x∴拋物線在A處的切線斜率為12∴切線方程為y?4=2即y=2（2）設(shè)AM與圓O相切于點(diǎn)B，AN與圓O相切于點(diǎn)C，MN與圓O相切于點(diǎn)D，由切線長相等可得：MB=MD，AB=∴△AMN周長為2∴S設(shè)Ax0,y0，由題意設(shè)y∵S∴MN∴MN①由MN=211，則解得y0=2，所以點(diǎn)②S△令t=y0∵t+4當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即y0=3時(shí)，△【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用切線長定理表示△AMN的周長，進(jìn)而利用三角形內(nèi)切圓半徑公式表示△變式4．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，已知直線與拋物線C：y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(1)求p的值．(2)若線段AB的垂直平分線于拋物線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△OEF【答案】(1)p(2)12【分析】（1）由兩直線垂直得到直線AB，再聯(lián)立曲線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合向量的數(shù)量積為零求出即可；（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Mx0,【詳解】（1）設(shè)Ax因?yàn)镺D⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為所以直線AB的方程為y?1=?聯(lián)立y2=2px(p>0)y則y1因?yàn)镺A⊥OB，所以即4?2y1+y2（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Mx由（1）知y0=y所以lEF:y聯(lián)立y2=2xx=y+4設(shè)Ex3,所以EF=又點(diǎn)O到直線EF的距離為?42所以△OEF的面積為1變式5．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F(0，1)，P為動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓與x軸相切，記Р的軌跡為Γ.(1)求Р的方程；(2)設(shè)M為直線y=?1上的動(dòng)點(diǎn)，過M的直線與Р相切于點(diǎn)A，過A作直線MA的垂線交Γ于點(diǎn)B，求△【答案】(1)x(2)16【分析】（1）設(shè)P(（2）設(shè)設(shè)Ax0,x024，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的切線方程進(jìn)而求得M的坐標(biāo)，根據(jù)垂直易得直線AB的方程，與x2【詳解】（1）設(shè)P(x，∴y+12=12FP=（2）設(shè)Ax0,x024，由所以直線MA方程為y?x0令y=?1，則x=x02所以直線AB：y?x0與x2=4y有?2x0即B的橫坐標(biāo)為?8所以BA=AM=所以△MAB面積為1=14x0+所以△MAB的面積最小值為

變式6．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，M是拋物線C的準(zhǔn)線與(1)求拋物線C的方程．(2)設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，直線MA,MB與直線（?。┳C明：直線MA與MB的斜率之和為0．（ⅱ）求△MPQ【答案】(1)y(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）12【分析】（1）利用點(diǎn)N坐標(biāo)代入拋物線方程、NF=2（2）（?。┰O(shè)直線AB、MA、MB的方程分別為x=m1y+1、x=m2y?1、x=m3【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)Nt,2在拋物線上，所以因?yàn)镹F=2，所以t聯(lián)立4=2ptt+所以拋物線C的方程為y2（2）（?。┰O(shè)直線AB的方程為x=m1y+1直線MB的方程為x=不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，y1由x=m1所以y1所以m2m2故直線MA與MB的斜率之和為1m（ⅱ）由x=m2同理可得yQ直線y=2x?4與x則△MPQ的面積=36因?yàn)閥1>0，所以m2則S∈0,12，即當(dāng)且僅當(dāng)y1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的解題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出△MPQ變式7．（23-24高二下·廣東廣州·期末）設(shè)拋物線C1：y2=2px，C2：x2=2pyp>0，C1，C2的焦點(diǎn)分別為(1)求C1，C(2)過C1上第一象限內(nèi)一點(diǎn)M作C1的切線l，交①x軸正半軸上的點(diǎn)P滿足tan∠AMP②過點(diǎn)A，B分別作C2的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)三角形ABD的面積最小時(shí)，求AM【答案】(1)C1：y2=4x，(2)①P為定點(diǎn)，P1,0.證明見解析；②AM【分析】（1）聯(lián)立y2=2pxx2=2py解得N2p(2)①設(shè)點(diǎn)Mt24,t，找出直線l的方程，記直線l與x軸的交點(diǎn)為Q，關(guān)鍵是由tan∠AMP=k，l的斜率為k，則②由①知，聯(lián)立y=2tx+t2【詳解】（1）如圖所示：由題，F(xiàn)1(p2,0)聯(lián)立y2=2pxx2由拋物線的性質(zhì)：|N三角形F1NF解得p=2，故拋物線C1：y2=4x（2）①P為定點(diǎn)，P1,0如圖所示：由（1）知，拋物線C1：y2=4x，設(shè)點(diǎn)Mt24,t，且t則l的斜率k=2t，則直線l的方程：y記直線l與x軸的交點(diǎn)為Q，令y=0,則x=?由tan∠AMP=k所以三角形QMP為等腰三角形，點(diǎn)P為線段QM的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，記QM的中點(diǎn)為R，則R0,線段QM的垂直平分線y?令y=0,則x=1，故②如圖所示：由①知，直線l的方程：y=聯(lián)立y=2t設(shè)Ax則x1+x由x2=4y，y所以過點(diǎn)A作C2的切線為：y?x同理可得過點(diǎn)B作C2的切線為：y聯(lián)立y=x12x記點(diǎn)D到直線AB的距離為d,則d=|AB三角形ABD的面積為：1令y=8t則y=8t2+所以t=24x1+x【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求拋物線的切線與圓錐曲線定值、面積綜合問題，解題關(guān)鍵是找到導(dǎo)數(shù)與拋物線的切線的關(guān)系，求出切線，聯(lián)立切線與曲線，整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出x1+x2=變式8．（23-24高二下·廣東·期末）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F到點(diǎn)N0,2的距離為5，A，B為拋物線(1)求拋物線C的方程；(2)求△NAB【答案】(1)y(2)0,4【分析】（1）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程可求出p，從而可求出拋物線C的方程；（2）設(shè)直線AB的方程為：x=my+t，Ax1,y1，Bx2,y2，將直線方程代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將A,【詳解】（1）焦點(diǎn)Fp2,0，p>0，由焦點(diǎn)F到點(diǎn)得p22+所以拋物線方程為y2（2）如圖所示，顯然，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為：x=my+t，聯(lián)立方程組y2=4xx=所以y1+y2=4所以線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y1因?yàn)辄c(diǎn)M在直線l:y=x上，所以因?yàn)閥12=4x1即y1將y1+y2=4代入（*）得4m2+162m點(diǎn)N0,2到AB:xAB=所以S△將t=2m?2因?yàn)?所以S△【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中的三角形面積問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入拋物線方程化簡結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.【題型6：最值問題】例6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C:y2=24x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)QA．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【分析】根據(jù)題意可得準(zhǔn)線方程為x=?6，過P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，從而可得PF【詳解】易知拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=?6，過P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為K由拋物線的定義可知PK=PF，所以當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,K三點(diǎn)共線且.變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A3,21，拋物線C:y2A．10 B．8 C．5 D．4【答案】C【分析】結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算和焦半徑公式，轉(zhuǎn)化y0【詳解】已知拋物線C:y2=4x上有一點(diǎn)P又(21)2>4×3，故則y0因?yàn)閽佄锞€C:y2=4x的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為

由于PF+PA≥AF，當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線（則y022變式2．（23-24高二上·山東青島·期末）設(shè)拋物線y2=?4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線3xA．3 B．2 C．163 【答案】C【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義及點(diǎn)到直線的距離公式求解即得.【詳解】拋物線y2=?4x的焦點(diǎn)F過點(diǎn)P作PB⊥l于B，PA垂直于直線3x+4y點(diǎn)F到直線3x+4y則d1當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是點(diǎn)F到直線3x所以d1

變式3．（23-24高三上·河南南陽·期末）已知A(m,2),B(n,3)A．10 B．6+25 C．11 D．【答案】C【分析】由焦半徑公式得到AF=2+1=3,BF=3+1=4,【詳解】因?yàn)镸的準(zhǔn)線方程為y=?1所以由拋物線焦半徑公式得AF=2+1=3,故d=所以AF=6+(4?0)當(dāng)且僅當(dāng)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線且C在線段DF上時(shí)，等號不成立，所以AF+BF+變式4．（11-12高二上·江蘇常州·期中）已知點(diǎn)A(2,0),B(1,4)，M、N是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足MN=4，△AMN的外心P在y【答案】3【分析】先確定點(diǎn)P的軌跡為拋物線，再結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)M0,t，則N0,t?4）根據(jù)點(diǎn)P而PM2=所以x從而得到點(diǎn)P的軌跡為y2=4由拋物線的定義可知PF=因?yàn)镻F+PB≥即PQ+所以PQ+故答案為：3變式5．（23-24高二下·上海閔行·期末）設(shè)P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓x?4【答案】4【分析】根據(jù)拋物線的定義和圓的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)一線即可求出最值.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為x=?1，設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，圓心D4,0，圓心到準(zhǔn)線的距離為m，則則|PF則|PF故答案為：4.變式6．（23-24高二下·上海松江·階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，若P是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q【答案】5【分析】利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離問題求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1則PF+PQ的最小值為Q4,3故答案為：5.

變式7．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A2,2，記拋物線C：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，則【答案】5【分析】將P到拋物線的準(zhǔn)線的距離d轉(zhuǎn)化為P到拋物線焦點(diǎn)F的距離PF，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系將PF?PA【詳解】由拋物線的定義知，d=PF所以，當(dāng)點(diǎn)P位于射線FA與拋物線交點(diǎn)時(shí)，取最大值5.故答案為：5變式8．（23-24高二上·黑龍江·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A?2,1，B?2,4，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB=12，點(diǎn)M為拋物線E：y2=8x上的任意一點(diǎn)，M【答案】17【分析】由動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件得點(diǎn)P的軌跡為圓，根據(jù)拋物線的定義，將MN轉(zhuǎn)化為MF?2，觀察圖形得PA【詳解】設(shè)Px,y，已知A則PAPB化簡整理得(x+2)2+y拋物線E：y2=8x的焦點(diǎn)FPA+當(dāng)且僅當(dāng)A，P，M，F(xiàn)（P，M兩點(diǎn)在A，F(xiàn)兩點(diǎn)之間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以PA+PM+故答案為：17?2【點(diǎn)睛】動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB=1【方法技巧與總結(jié)】與拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離有關(guān)的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，然后通過數(shù)形結(jié)合直接判斷出取得最值時(shí)所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數(shù)運(yùn)算．【題型7：直線與拋物線的位置關(guān)系】例7．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l與拋物線x2=2pyA．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切【答案】A【分析】根據(jù)直線和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)確定正確答案.【詳解】直線l與拋物線的對稱軸平行或l與拋物線相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確.變式1．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l:y=k(A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條【答案】D【分析】將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，使得方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求出對應(yīng)的k的取值個(gè)數(shù)即可.【詳解】聯(lián)立直線l:y=k(整理可得k2直線l與C有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)k=0時(shí)，方程為?4當(dāng)k≠0時(shí)，一元二次方程k即Δ=2k2所以滿足題意得直線有三條，即y=0，y=x變式2．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C的方程為x2=12yA．?∞,?2∪2C．?∞,?22 D．【答案】A【分析】首先求直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用Δ<0，即可求解t的取值范圍.【詳解】當(dāng)t=0時(shí)，直線l:x=0，與拋物線設(shè)直線AB的方程為y=聯(lián)立直線與拋物線方程，得y=4t由于直線與拋物線無公共點(diǎn)，即方程2x2?4tx+1=0變式3．（17-18高二上·四川廣安·期末）已知直線l與拋物線C，則“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分條件的定義先判斷充分性，再利用必要性的定義判斷必要性.【詳解】當(dāng)“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”時(shí)，如圖，直線與拋物線的對稱軸平行，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是此時(shí)l與C不相切.所以“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的不充分條件；當(dāng)“l(fā)與C相切”時(shí)，l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的必要條件.綜上，“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的必要不充分條件.變式4．（多選）（23-24高二下·河北唐山·期末）已知拋物線C過點(diǎn)A1,?4A．拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為yB．撻物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為xC．過點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條D．過點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條【答案】ABD【分析】根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點(diǎn)在拋物線上及直線與拋物線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y2=2px，將A1,?4代入拋物線C中得p=8對于選項(xiàng)B，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，設(shè)拋物線的方程為x2=?2py，將A1,?4代入拋物線C中得p=對于C、D選項(xiàng)，過點(diǎn)A與對稱軸平行的直線，以及拋物線在點(diǎn)A處的切線都與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.BD.變式5．(多選）（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）若直線l被圓M:x2A．x?12+C．x23+【答案】AB【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓的弦長公式求出原點(diǎn)到直線l的距離范圍，確定直線l必過的區(qū)域，再逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】圓M:x2+y2=3的圓心為原點(diǎn)(0,0)，半徑為3由2(3)平面內(nèi)到原點(diǎn)(0,0)距離不大于2的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓及內(nèi)部區(qū)域F，因此直線l必過區(qū)域F，以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓方程為x2對于A，圓x2+y2=2上的點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)

因此圓x2+y2=2內(nèi)含于圓x對于B，點(diǎn)(0,0)在拋物線y=x2?3內(nèi)，由x2顯然方程y2+y+1=0無解，即圓

因此圓x2+y2=2在拋物線y對于C，圓x2+y2=2

直線y=2與橢圓x23+對于D，圓x2+y2=2上只有兩點(diǎn)(±

直線y=x與雙曲線x2?yB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求出直線l必過區(qū)域F，再判斷區(qū)域F的邊界曲線與各選項(xiàng)中曲線的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.變式6．(多選)（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為lA．若y1+B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)M0,3，則PM的最小值為D．過點(diǎn)N3,3與拋物線C【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式求出PQ=9；B選項(xiàng)，當(dāng)過點(diǎn)F的直線斜率不存在時(shí)，不合要求，設(shè)過點(diǎn)F的直線方程為y?2=kx，聯(lián)立拋物線與直線，得到兩根之和，兩根之積，求出PQ的中點(diǎn)A，得到圓心和半徑，求出A到準(zhǔn)線l的距離等于半徑，得到B正確；C選項(xiàng)，設(shè)Px1,x【詳解】A選項(xiàng)，由題意得F0,2，準(zhǔn)線方程為y根據(jù)焦點(diǎn)弦公式得PQ=B選項(xiàng)，當(dāng)過點(diǎn)F的直線斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，設(shè)過點(diǎn)F的直線方程為y?2=聯(lián)立C:x2=8y則x1則x1+x故y1故PQ的中點(diǎn)A4PQ=故圓的半徑為12圓心A4k,4k2故以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，B正確；

C選項(xiàng)，設(shè)Px1,則PM2故當(dāng)x1=0時(shí)，故PM的最小值為3，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，如圖，因?yàn)?2<8×3，所以點(diǎn)N3,3故過點(diǎn)N3,3與拋物線C即與x軸垂直的直線，D錯(cuò)誤.

B變式7．（多選）（22-23高二上·山東煙臺·期末）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為FA．過點(diǎn)A0,2B．設(shè)點(diǎn)B3,2，則PB?C．點(diǎn)P到直線x?yD．點(diǎn)P到直線4x?3y+6=0與點(diǎn)P【答案】CCD【分析】根據(jù)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求出直線的方程，可判斷A選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合求出PB?PF的最大值，可判斷B選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)P4t2,4t，其中t∈R【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)過點(diǎn)A的直線為m，若直線m方程為x=0，此時(shí)直線m與拋物線y若直線m的方程為y=2，此時(shí)直線m與拋物線y若直線m的斜率存在且不為零，設(shè)直線m的方程為y=聯(lián)立y=kx+2若直線m與拋物線y2=4x相切，則k此時(shí)，直線m的方程為y=綜上所述，過點(diǎn)A0,2對于B選項(xiàng)，如下圖所示：易知點(diǎn)F1,0，PB當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為射線BF與拋物線y2故PB?PF的最大值為對于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P4t2則點(diǎn)P到直線x?y+3=0當(dāng)且僅當(dāng)t=12時(shí)，等號不成立，故點(diǎn)P到直線x對于D選項(xiàng)，如下圖所示：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為l:x=?1，過點(diǎn)P作PA⊥l，垂足為點(diǎn)過點(diǎn)P作直線4x?3y+6=0的垂線，垂足為點(diǎn)則PB+當(dāng)DF與直線4x?3y且最小值為點(diǎn)F到直線4x?3y因此，PB+故點(diǎn)P到直線4x?3y+6=0與點(diǎn)P到CD.變式8．（23-24高二上·江蘇南通·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Px,yx≥0到點(diǎn)F1,0的距離與到(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)Ax0,y0y0【答案】(1)y(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線x=?1（2）由點(diǎn)Ax0,y0在C【詳解】（1）解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)Px,y到點(diǎn)F因?yàn)閤≥0，可得點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線x所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F1,0為焦點(diǎn)，以直線x可得拋物線的方程為y2=4x(x≥0)，即動(dòng)點(diǎn)（2）證明：因?yàn)辄c(diǎn)Ax0,y0聯(lián)立方程組y0y=2則Δ=?2所以直線y0y=2【方法技巧與總結(jié)】解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB||x1|＋|x2|＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．(3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．[注意]涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解．一、單選題1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線y2=2px(pA．y2=12xC．y2=12x或y2=24【答案】D【分析】設(shè)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知列出方程求解即可.【詳解】設(shè)滿足條件的點(diǎn)為P，則P到y(tǒng)2=2px設(shè)P9?p2解得p=6或p=12，故所求方程為y22．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）拋物線y=A．0,?14a B．0,14a【答案】A【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即焦點(diǎn)的定義計(jì)算即可.【詳解】y=1a3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，若PFA．3,26 B．3,?26C．?3,26 D．?3,?26【答案】C【分析】由拋物線定義可列式求解點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，將所求橫坐標(biāo)代入拋物線方程可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,∵PF=5，∴x??2=5把x=3代入方程y2=8∴y=±26.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.4．（23-24高二下·陜西咸陽·期末）已知拋物線y2=16xA．y=±33x B．y=±3【答案】C【分析】根據(jù)已知先求得參數(shù)m=?12【詳解】已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)4,0所以4+?m=所以雙曲線x24?.5．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知M為拋物線y2=2px上一點(diǎn)，且M到拋物線焦點(diǎn)F的距離為4，它到y(tǒng)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義知，拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，即可求解.【詳解】由題意得，MF=p2+x故選：C.6．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）設(shè)拋物線y2=32x的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)M14,a，NA．M B．N C．P D．Q【答案】A【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的定義求出各點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，即可判斷.【詳解】拋物線y2=32x則點(diǎn)M14,a到焦點(diǎn)點(diǎn)N12,b到焦點(diǎn)點(diǎn)P1,c到焦點(diǎn)F點(diǎn)Q4,d到焦點(diǎn)F的距離為所以點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離最小.7．（23-24高二上·河南鄭州·期末）已知A為拋物線C：y2=2pxp>0上一點(diǎn)，點(diǎn)A到CA．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義得到方程，求出答案.【詳解】由拋物線定義得3+p2=48．（23-24高二下·湖南·期末）設(shè)F為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)Px0,y0為C上一點(diǎn)，過A．223 B．?223 【答案】A【分析】由題意可得x0+2=3x0，進(jìn)而可得【詳解】因?yàn)镕為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，所以p由拋物線定義可知PF=又PF=3PA，所以x0+2=3x所以y0從而cos∠.二、多選題9．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C1:y2=mx(A．雙曲線C2的離心率為2 B．雙曲線C2C．m=8 D．點(diǎn)P到拋物線C【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線C2的方程求出離心率可判斷A；求出雙曲線C2的漸近線方程可判斷B；由C1,C2有相同的焦點(diǎn)求出【詳解】雙曲線C2:x2?y