2025屆上海市靜安區(qū)高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市靜安區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2024.12一?填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7小題至第12小題每個(gè)空格填對(duì)得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)后填寫答案，否則一律得零分.1.設(shè)集合，則__________.【答案】【解析】集合，所以.故答案為：2.不等式的解集為__________.【答案】【解析】由不等式，得，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：3.已知是虛數(shù)單位，是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】，因?yàn)槠錇榧兲摂?shù)，則且，解得.故答案為：.4.設(shè)是等差數(shù)列，，則該數(shù)列的前8項(xiàng)的和的值為__________.【答案】36【解析】在等差數(shù)列中，，則公差，所以.故答案為：365.到點(diǎn)距離之和為10的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為__________.【答案】【解析】依題意，，則點(diǎn)的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，由，得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：6.在中，已知，則的值為__________.【答案】【解析】在中，由正弦定理得，而，因此，即，所以.故答案為：7.已知物體的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，則該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為__________.【答案】2【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，所以所求瞬時(shí)速度為2.故答案為：28.若用替換命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立”中的，即可推出平均值不等式“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.則__________.【答案】（答案不唯一，可以為或其它字母表示的表達(dá)式）【解析】取正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，即，于是“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.顯然，取.故答案為：9.以雙曲線的離心率為半徑，以右焦點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，則的值為__________.【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，離心率，右焦點(diǎn)，依題意，，所以.故答案為：10.如圖所示，小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同一幢樓上，小明家在層，小寧家位于小明家正上方的層，已知.小明在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為，小寧在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為，則他倆所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離__________.【答案】【解析】分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，則根據(jù)正切函數(shù)的定義得，，則，解得.故答案為：.11.記.若函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，則該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為__________.【答案】【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)為偶函數(shù)，則該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，可得，令，，則因此，該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為.故答案為：.12.已知是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且，則的最小值為__________.【答案】100000【解析】設(shè)，依題意，，，由，得，解得，因此，則，，所以的最小值為100000.故答案為：100000二?選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題?14題各4分，第15題?16題各5分.每題有且僅有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑.13.設(shè)，則“”是“且”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】正向來看，取，則，滿足，但不滿足a>0且，故充分性不成立，反向來看，，則，故必要性成立，所以前者是后者的必要不充分條件.故選：B.14.污水處理廠通過清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產(chǎn)肥料.該廠的污水處理裝置每小時(shí)從處理池清除掉的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的，大約需要的時(shí)間為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.小時(shí) B.小時(shí) C.小時(shí) D.小時(shí)【答案】B【解析】設(shè)處理池中的殘留物初始時(shí)為，則小時(shí)后，處理池中的殘留物為，根據(jù)題意可得，即，解得.因此，要使處理池中的污染物水平降到最初的，大約需要的時(shí)間為小時(shí).故選：B.15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的空間四面體叫做“鱉臑”.如圖是一個(gè)水平放置的.現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，使得空間四面體恰好是一個(gè)“鱉臑”，則二面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】中，.不妨設(shè)，則，空間四面體是一個(gè)“鱉臑”，則和都是直角三角形，若，則中，，由勾股定理得，此時(shí)不是直角三角形，不合題意；所以，在中，，由勾股定理得，此時(shí)滿足是直角三角形，，由，，二面角的平面角為，中，，，所以二面角的大小為.故選：D.16.在四棱錐中，，則該四棱錐的高為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，即，所以該四棱錐的高.故選：C.三?解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）求不等式的解集.解：（1），令，解得或者，令，解得或，所以，該函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增區(qū)間為和，嚴(yán)格單調(diào)減區(qū)間為和.（2），即，，即，利用穿根法解得.所以解集為.18.已知向量，且.（1）求及；（2）記，求函數(shù)的最小值.解：（1）由題意得，由于則，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，則，則當(dāng)，即時(shí)，該函數(shù)取得最小值.19.如圖所示，正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形.（1）求正三棱錐的體積；（2）設(shè)分別是線段的中點(diǎn).求證：①平面；②若平面交于點(diǎn)，則四邊形是正方形.（1）解：由正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，得正三棱錐為正四面體，取正的中心，連接，延長(zhǎng)交于，連接，則平面，是的中點(diǎn)，，，則，所以正三棱錐的體積.（2）證明：①由分別是線段的中點(diǎn)，得，而平面，平面，所以平面.②由平面交于點(diǎn)，得面平面，而平面，平面，則，而是中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，因此，而，則四邊形是平行四邊形，又，于是為菱形，而，平面，則平面，又平面，因此，于是，所以四邊形是正方形.20.如圖的封閉圖形的邊緣由拋物線和垂直于拋物線對(duì)稱軸的線段組成.已知，拋物線的頂點(diǎn)到線段所在直線的距離為.（1）請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)這個(gè)封閉圖形的邊緣；（2）在該封閉圖形上截取一個(gè)矩形，其中點(diǎn)在線段上，點(diǎn)拋物線上.求以矩形為側(cè)面，為母線圓柱的體積最大值；（3）求證：拋物線的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一條直線上.（1）解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，則曲線過點(diǎn)，所以，故，所以，曲線的方程為，線段AB的方程為，（2）解：設(shè)Ex,y，則.以CF為母線的圓柱的底面半徑滿足，所以，所以圓柱的體積.所以，所以，當(dāng)時(shí)，其體積取得最大值；（3）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以，拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率為，設(shè)是拋物線上兩條相互垂直的切線，切點(diǎn)分別為，則其方程分別為，且，消去，解得，因?yàn)?，?故拋物線的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在直線上.21.如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).①對(duì)任意的，有；②對(duì)于任意的，若，則.求證：（1）是型函數(shù)；（2）型函數(shù)在上為增函數(shù)；（3）對(duì)于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.證明：（1）記；對(duì)任意的，有；對(duì)于任意的，若，則，即故函數(shù)是型函數(shù).（2）設(shè)，且，則.因此，可知在上為增函數(shù).（3）因?yàn)?，所以上海市靜安區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2024.12一?填空題（本大題共12小題，滿分54分）第1小題至第6小題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7小題至第12小題每個(gè)空格填對(duì)得5分，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)后填寫答案，否則一律得零分.1.設(shè)集合，則__________.【答案】【解析】集合，所以.故答案為：2.不等式的解集為__________.【答案】【解析】由不等式，得，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：3.已知是虛數(shù)單位，是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】，因?yàn)槠錇榧兲摂?shù)，則且，解得.故答案為：.4.設(shè)是等差數(shù)列，，則該數(shù)列的前8項(xiàng)的和的值為__________.【答案】36【解析】在等差數(shù)列中，，則公差，所以.故答案為：365.到點(diǎn)距離之和為10的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為__________.【答案】【解析】依題意，，則點(diǎn)的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，由，得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：6.在中，已知，則的值為__________.【答案】【解析】在中，由正弦定理得，而，因此，即，所以.故答案為：7.已知物體的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，則該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為__________.【答案】2【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，所以所求瞬時(shí)速度為2.故答案為：28.若用替換命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立”中的，即可推出平均值不等式“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.則__________.【答案】（答案不唯一，可以為或其它字母表示的表達(dá)式）【解析】取正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，即，于是“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.顯然，取.故答案為：9.以雙曲線的離心率為半徑，以右焦點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，則的值為__________.【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，離心率，右焦點(diǎn)，依題意，，所以.故答案為：10.如圖所示，小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同一幢樓上，小明家在層，小寧家位于小明家正上方的層，已知.小明在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為，小寧在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為，則他倆所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離__________.【答案】【解析】分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，則根據(jù)正切函數(shù)的定義得，，則，解得.故答案為：.11.記.若函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，則該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為__________.【答案】【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)為偶函數(shù)，則該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，可得，令，，則因此，該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為.故答案為：.12.已知是從大到小連續(xù)的正整數(shù)，且，則的最小值為__________.【答案】100000【解析】設(shè)，依題意，，，由，得，解得，因此，則，，所以的最小值為100000.故答案為：100000二?選擇題（本大題共4小題，滿分18分）第13題?14題各4分，第15題?16題各5分.每題有且僅有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑.13.設(shè)，則“”是“且”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】正向來看，取，則，滿足，但不滿足a>0且，故充分性不成立，反向來看，，則，故必要性成立，所以前者是后者的必要不充分條件.故選：B.14.污水處理廠通過清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產(chǎn)肥料.該廠的污水處理裝置每小時(shí)從處理池清除掉的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的，大約需要的時(shí)間為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.小時(shí) B.小時(shí) C.小時(shí) D.小時(shí)【答案】B【解析】設(shè)處理池中的殘留物初始時(shí)為，則小時(shí)后，處理池中的殘留物為，根據(jù)題意可得，即，解得.因此，要使處理池中的污染物水平降到最初的，大約需要的時(shí)間為小時(shí).故選：B.15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的空間四面體叫做“鱉臑”.如圖是一個(gè)水平放置的.現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，使得空間四面體恰好是一個(gè)“鱉臑”，則二面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】中，.不妨設(shè)，則，空間四面體是一個(gè)“鱉臑”，則和都是直角三角形，若，則中，，由勾股定理得，此時(shí)不是直角三角形，不合題意；所以，在中，，由勾股定理得，此時(shí)滿足是直角三角形，，由，，二面角的平面角為，中，，，所以二面角的大小為.故選：D.16.在四棱錐中，，則該四棱錐的高為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，即，所以該四棱錐的高.故選：C.三?解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）求不等式的解集.解：（1），令，解得或者，令，解得或，所以，該函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增區(qū)間為和，嚴(yán)格單調(diào)減區(qū)間為和.（2），即，，即，利用穿根法解得.所以解集為.18.已知向量，且.（1）求及；（2）記，求函數(shù)的最小值.解：（1）由題意得，由于則，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，則，則當(dāng)，即時(shí)，該函數(shù)取得最小值.19.如圖所示，正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形.（1）求正三棱錐的體積；（2）設(shè)分別是線段的中點(diǎn).求證：①平面；②若平面交于點(diǎn)，則四邊形是正方形.（1）解：由正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，得正三棱錐為正四面體，取正的中心，連接，延長(zhǎng)交于，連接，則平面，是的中點(diǎn)，，，則，所以正三棱錐的體積.（2）證明：①由分別是線段的中點(diǎn)，得，而平面，平面，所以平面.②由平面交于點(diǎn)