2025屆浙江省杭州市部分學校高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市部分學校2025屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（共40分）1.已知集合，且，則等于（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】當時，得.此時.此時集合.因為不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.當時，解方程，即，可得或.若，則，此時集合.不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.若，則，此時集合.符合集合元素的互異性.故選：C.2.已知復數(shù)z與復平面內(nèi)的點對應(yīng)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由復數(shù)的幾何意義可知，則．故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得.故選：D4.若，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由條件可知，兩邊平方后得，并且，.因為向量夾角的范圍是，所以向量與的夾角為.故選：A.5.已知，則的最小值為（）A. B.9 C. D.10【答案】B【解析】由，得，則，當且僅當，即時等號成立，令，則，解得（舍去）或，則，當且僅當，時等號成立，即的最小值為9.故選：B.6.某個班級有55名學生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團員，女生中有12名團員．在該班中隨機選取一名學生，A表示“選到的是團員”，B表示“選到的是男生”，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件為選到的是團員，事件為選到的是男生，根據(jù)題意可得，，，故．故選：B．7.已知是等差數(shù)列的前項和，且，，則（）A.數(shù)列為遞增數(shù)列 B.C.的最大值為 D.【答案】C【解析】由題意，，，則，故B錯誤；數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯誤；由于時，，時，，所以的最大值為，故C正確；，故D錯誤.故選：C.8.已知當時，函數(shù)取得最大值2，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因為當時，函數(shù)取得最大值2，所以，即，解得，所以，，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，符合題意，所以.故選：C.二、多選題（共18分）9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【解析】由圖象得，，解得，所以的最小正周期為，故A錯；，則，將代入中得，則，，解得，，因為，所以，，，所以是的對稱軸，故B正確；當時，，因為在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯；該圖象向右平移個單位可得，故D正確.故選：BD10.已知拋物線的焦點為，準線交軸于點，直線過且交于不同的兩點，在線段上，點為在上的射影．線段交軸于點，下列命題正確的是（）A.對于任意直線，均有B.不存在直線，滿足C.對于任意直線，直線與拋物線相切D.存在直線，使【答案】AC【解析】對于選項A，如圖，由拋物線知為的中點，軸，所以為線段的中點，由拋物線的定義知，所以，所以選項A正確；對于選項B，設(shè)，，，，，為線段的中點，則，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直線，滿足，所以選項B不正確；對于選項C，由題意知，為線段的中點，從而設(shè)，則，直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，又，代入整理得，則，所以直線與拋物線相切，所以選項C正確；對于選項D，設(shè)的方程，聯(lián)立，則，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以選項D錯誤，故選：AC．11.已知四面體ABCD的每個頂點都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，M為AC的中點，，，且，則（）A.平面ACD B.平面ABCC.O到AC的距離為 D.二面角的正切值為【答案】AD【解析】設(shè)的中心為G，過點G作直線平面ABC，則球心O在上.由M為AC的中點，得.因為.所以平面BDM，則，所以，所以，所以，，所以，所以，可得平面ACD，所以球心O在直線MB上，因此O與G重合.過M作于H，連接OH，則，從而為二面角的平面角.因為，，所以O(shè)到AC的距離為，且.故選：AD三、填空題（共15分）12.設(shè)函數(shù)，若方程有且僅有1個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】方程有且僅有1個實數(shù)根，即函數(shù)與直線的圖象有且只有一個交點，作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象可得.故答案為：.13.已知是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的一點，且，若的面積為9，則的值為______．【答案】3【解析】，，①又②①-②得：，的面積為9，，故答案為：3.14.甲、乙兩人參加玩游戲活動，每輪游戲活動由甲、乙各玩一盤，已知甲每盤獲勝的概率為，乙每盤獲勝的概率為.在每輪游戲活動中，甲和乙獲勝與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝3盤的概率為______.【答案】【解析】設(shè)分別表示甲在兩輪玩游戲活動中共獲勝1盤、2盤的事件，設(shè)分別表示乙在兩輪玩游戲活動中共獲勝1盤、2盤的事件，根據(jù)相互獨立事件的概率公式可得，，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝3盤事件為，且互斥，故，故答案為：四、解答題（共77分）15.在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答.問題：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，，，且_____________，求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解：因為，可知角A是鈍角，又因為，則，可得.選擇條件①：因為，即，化簡得，即，由正弦定理得.由，解得，由余弦定理可得，所以.選擇條件②：因為，由正弦定理可得，整理可得，即.由正弦定理得，由，解得，由余弦定理可得，所以.16.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.證明：（1）因為，，則，，…以此類推可知，對任意的，，由已知得，即，所以，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，.17.如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱上一點．（1）若是的中點，求證：直線平面；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求三棱錐的體積（1）證明：取的中點，連，，為的中點，且，又，且，，，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，故直線平面．（2）解：以為坐標原點，以，，所在射線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，設(shè)，則，，在棱上，可設(shè)，故，解得，即，易知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，，，，即，即，取，則，，故，因為二面角的平面角的余弦值為，所以，即，即，，解得，故是的中點，因此18.已知點，，曲線上的點與兩點的連線的斜率分別為和，且，在下列條件中選擇一個，并回答問題（1）和（2）．條件①：；條件②：．問題：（1）求曲線的方程；（2）是否存在一條直線與曲線交于，兩點，以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）若選條件①：點的坐標為，則，，由題意可得，，化簡得，進而曲線的方程為．若選條件②：設(shè)點的坐標為，則，，由題意可得，，化簡得，進而曲線的方程為．（2）若選條件①：（?。┤糁本€的斜率存在，設(shè)，由，得，則，即，設(shè)Px1,y1，Q因為以為直徑的圓經(jīng)過原點，所以，則，即，整理得．，設(shè)為點到直線的距離，則，所以，又，所以．（ⅱ）若直線的斜率不存在，則，不妨設(shè)，則，代入方程，得，所以，則．綜上，存在這樣的直線與曲線交于，兩點，以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．且．若選條件②：（?。┤糁本€的斜率存在，設(shè)，由得，則，即，設(shè)Px1,y1，Q因為以為直徑的圓經(jīng)過原點，所以，則，即，整理得．，設(shè)為點到直線的距離，則，所以，又，所以．（ⅱ）若直線的斜率不存在，則，不妨設(shè)，則，代入方程，得，所以，則．綜上，存在這樣的直線與曲線交于，兩點，以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．且．19.對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的不動點；（2）若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若的兩個不動點為，且，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，，所以，解得或，所以函數(shù)的不動點為和.（2）函數(shù)恒有兩個相異的不動點，即方程有兩個不等的實根，即方程有兩個不等的實根，恒成立，即恒成立，所以，解得，故當時，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，則的取值范圍為.（3）∵，所以，因為，所以，由于對勾函數(shù)在1,2單調(diào)遞增，所以，所以.故的取值范圍為.浙江省杭州市部分學校2025屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（共40分）1.已知集合，且，則等于（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】當時，得.此時.此時集合.因為不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.當時，解方程，即，可得或.若，則，此時集合.不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.若，則，此時集合.符合集合元素的互異性.故選：C.2.已知復數(shù)z與復平面內(nèi)的點對應(yīng)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由復數(shù)的幾何意義可知，則．故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得.故選：D4.若，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由條件可知，兩邊平方后得，并且，.因為向量夾角的范圍是，所以向量與的夾角為.故選：A.5.已知，則的最小值為（）A. B.9 C. D.10【答案】B【解析】由，得，則，當且僅當，即時等號成立，令，則，解得（舍去）或，則，當且僅當，時等號成立，即的最小值為9.故選：B.6.某個班級有55名學生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團員，女生中有12名團員．在該班中隨機選取一名學生，A表示“選到的是團員”，B表示“選到的是男生”，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件為選到的是團員，事件為選到的是男生，根據(jù)題意可得，，，故．故選：B．7.已知是等差數(shù)列的前項和，且，，則（）A.數(shù)列為遞增數(shù)列 B.C.的最大值為 D.【答案】C【解析】由題意，，，則，故B錯誤；數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯誤；由于時，，時，，所以的最大值為，故C正確；，故D錯誤.故選：C.8.已知當時，函數(shù)取得最大值2，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因為當時，函數(shù)取得最大值2，所以，即，解得，所以，，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，符合題意，所以.故選：C.二、多選題（共18分）9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【解析】由圖象得，，解得，所以的最小正周期為，故A錯；，則，將代入中得，則，，解得，，因為，所以，，，所以是的對稱軸，故B正確；當時，，因為在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯；該圖象向右平移個單位可得，故D正確.故選：BD10.已知拋物線的焦點為，準線交軸于點，直線過且交于不同的兩點，在線段上，點為在上的射影．線段交軸于點，下列命題正確的是（）A.對于任意直線，均有B.不存在直線，滿足C.對于任意直線，直線與拋物線相切D.存在直線，使【答案】AC【解析】對于選項A，如圖，由拋物線知為的中點，軸，所以為線段的中點，由拋物線的定義知，所以，所以選項A正確；對于選項B，設(shè)，，，，，為線段的中點，則，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直線，滿足，所以選項B不正確；對于選項C，由題意知，為線段的中點，從而設(shè)，則，直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，又，代入整理得，則，所以直線與拋物線相切，所以選項C正確；對于選項D，設(shè)的方程，聯(lián)立，則，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以選項D錯誤，故選：AC．11.已知四面體ABCD的每個頂點都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，M為AC的中點，，，且，則（）A.平面ACD B.平面ABCC.O到AC的距離為 D.二面角的正切值為【答案】AD【解析】設(shè)的中心為G，過點G作直線平面ABC，則球心O在上.由M為AC的中點，得.因為.所以平面BDM，則，所以，所以，所以，，所以，所以，可得平面ACD，所以球心O在直線MB上，因此O與G重合.過M作于H，連接OH，則，從而為二面角的平面角.因為，，所以O(shè)到AC的距離為，且.故選：AD三、填空題（共15分）12.設(shè)函數(shù)，若方程有且僅有1個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】方程有且僅有1個實數(shù)根，即函數(shù)與直線的圖象有且只有一個交點，作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象可得.故答案為：.13.已知是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的一點，且，若的面積為9，則的值為______．【答案】3【解析】，，①又②①-②得：，的面積為9，，故答案為：3.14.甲、乙兩人參加玩游戲活動，每輪游戲活動由甲、乙各玩一盤，已知甲每盤獲勝的概率為，乙每盤獲勝的概率為.在每輪游戲活動中，甲和乙獲勝與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝3盤的概率為______.【答案】【解析】設(shè)分別表示甲在兩輪玩游戲活動中共獲勝1盤、2盤的事件，設(shè)分別表示乙在兩輪玩游戲活動中共獲勝1盤、2盤的事件，根據(jù)相互獨立事件的概率公式可得，，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝3盤事件為，且互斥，故，故答案為：四、解答題（共77分）15.在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答.問題：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，，，且_____________，求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解：因為，可知角A是鈍角，又因為，則，可得.選擇條件①：因為，即，化簡得，即，由正弦定理得.由，解得，由余弦定理可得，所以.選擇條件②：因為，由正弦定理可得，整理可得，即.由正弦定理得，由，解得，由余弦定理可得，所以.16.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.證明：（1）因為，，則，，…以此類推可知，對任意的，，由已知得，即，所以，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，.17.如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱上一點．（1）若是的中點，求證：直線平面；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求三棱錐的體積（1）證明：取的中點，連，，為的中點，且，又，且，，，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，故直線平面．（2）解：以為坐標原點，以，，所在射線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，設(shè)，則，，在棱上，可設(shè)，故，解得，即，易知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，，，，即，即，取，則，，故，因為二面角的平面角的余弦值為，所以，即，即，，解得，故是的中點，因此18.已知點，，曲線上的點與兩點的連線的斜率分別為和，且，在下列條件中選擇一個，并回答問題（1）和（2）．條件①：；條件②：．問題：（1）