極點(diǎn)極線本質(zhì)論（夠?qū)拤蛏钌魅耄?一)

一、單比的概念及性質(zhì) 1 12.λ+μ為定值的參數(shù)同構(gòu)與點(diǎn)差法 1 2 22.交比的概念及性質(zhì) 33.交比的射影不變性 3三、調(diào)和點(diǎn)列與定比點(diǎn)差 61.調(diào)和點(diǎn)列的概念 62.調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì) 63.定比分點(diǎn)和調(diào)和分點(diǎn)支配下的圓錐曲線 7四、定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的定比點(diǎn)差 9類(lèi)型一定點(diǎn)在x軸 類(lèi)型二定點(diǎn)在y軸 五、定點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的定比點(diǎn)差 一、極點(diǎn)極線的定義 1.二次曲線的替換法則 2.極點(diǎn)極線的代數(shù)定義 3.極點(diǎn)極線的幾何意義 二、極點(diǎn)極線定理證明 補(bǔ)充定理 1.梅涅勞斯定理 2.梅涅勞斯定理的逆定理 3.塞瓦定理 4.塞瓦定理的逆定理 三、極點(diǎn)極線的配極性質(zhì) 1.極點(diǎn)極線的綜合模型——自極三角形 2.自極三角形在高考中的證明與一題多解 四、蝴蝶定理與坎迪定理 1.蝴蝶定理 2.坎迪定理 3.坎迪定理中點(diǎn)推論 254.坎迪定理在高考中的應(yīng)用 255.蝴蝶定理的應(yīng)用之拋物線 321.完全四邊形定義 2.完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列 3.調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束 二、調(diào)和平行弦中點(diǎn)定理 1.調(diào)和梯形角度解讀 2.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)調(diào)和點(diǎn)列解讀 3.調(diào)和平行中點(diǎn)定理推論 三、調(diào)和平行弦中點(diǎn)定理在高考中應(yīng)用 題型一中點(diǎn)截距定理 題型二共軛點(diǎn)面積等比中項(xiàng)模型 題型三角平分線定理 題型四調(diào)和點(diǎn)列+平行弦中點(diǎn) 47題型五中點(diǎn)平行弦模型： 四、調(diào)和點(diǎn)列與斜率等差 題型一調(diào)和平行弦中點(diǎn)與斜率等差 題型二調(diào)和共軛點(diǎn)與斜率等差 五、交比不變性與定點(diǎn)定值 62六、對(duì)合與定點(diǎn)定值 641.調(diào)和線束的斜率關(guān)系 2.對(duì)合與對(duì)合方程 3.對(duì)合與三角同構(gòu) 4.頂點(diǎn)角+同軸軸點(diǎn)弦的對(duì)合方程 一、帕斯卡(Pascal)定理及其逆定理 二、帕斯卡定理中點(diǎn)的名稱(chēng)的替換 三、通過(guò)五點(diǎn)的圓錐曲線 1.尋找帕斯卡第六點(diǎn) 2.圓錐線的切線 3.帕斯卡圓錐曲線的內(nèi)接四點(diǎn)形 定比分點(diǎn)單比與交比一、單比的概念及性質(zhì)如果共線三點(diǎn)P?,P?,P滿足P?P=λPP?,則λ稱(chēng)為共線三點(diǎn)P?,P?,P的單比，也可以表示為P分 (1)單比的定義是有順序的，共線三點(diǎn)P?,P?,P的順序不可隨意調(diào)整，起點(diǎn)→分點(diǎn)=λ(分點(diǎn)→終點(diǎn));(2)當(dāng)P位于線段P?,P?之間時(shí)，A>0,否則，當(dāng)P位于線段P?,P?之外時(shí)，A<0,P為線段P?P?中點(diǎn)時(shí)λ=1;最早出現(xiàn)定比分點(diǎn)高考題是在2006年山東高考卷，由于年代久遠(yuǎn)，所以我們就用同類(lèi)型題來(lái)解讀。當(dāng)圓錐曲線上兩點(diǎn)作為定比分點(diǎn)，線段兩個(gè)端點(diǎn)分別位于焦點(diǎn)和另一條坐標(biāo)軸上時(shí)，這里會(huì)涉及一個(gè)λ的直線L交橢圓于A.B兩點(diǎn)、交y軸于點(diǎn)M.且MA=λ?AF.MB=λ?BF.(2)設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),M(O,m),由題意，點(diǎn)F(2,0),因?yàn)镸A=λ?AF,MB=λ?BF,根據(jù)定比分點(diǎn)公式，,因?yàn)辄c(diǎn)A在橢1上，所以,整理得：λi+10λ?+5-5m2=0,同理可得：A+10λ2+5-5m2=0.即λ?,λ2為同構(gòu)方程2+10λ+5-5m2=0的1高中數(shù)學(xué)新思路圓錐專(zhuān)題注意：本題我們也可以按照點(diǎn)差法來(lái)解決，①-②得：),λ?+λ?=-10,為定值.所以我們可以再次確認(rèn)，同構(gòu)構(gòu)造二次方程和點(diǎn)差法都是表達(dá)同一聯(lián)立的思想.例2(2023·大慶模擬)已知橢圓C:的離心率短軸長(zhǎng)為2√3.(1)求橢圓C的方程；(2)已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(1.1的直線1與橢圓相交于A.B兩點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)Q,如果AQ=AAP.QB=PB,那么λ+μ是否為定值?若是，請(qǐng)求出具體數(shù)值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理山解析解析(1)由題意得,解得a2=4,b2=3,故橢圓C的方程根據(jù)定比分點(diǎn)公式作差解法一：由于A,B均在橢圓上，故作差,所以所以λ,μ為同構(gòu)方的兩根，所以二、單比與交比1.單比角元形式兩條直線的有向角滿足下面幾個(gè)性質(zhì)：(1)如果直線a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線b,則(a,b)為正角；如果直線a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線b,則(a,b)為(2)sin(a,b)=-sin(b,a).如下圖，分別連接共線三點(diǎn)A,C,B與其所在直線外一點(diǎn)S,記所形成的直線分別為a,c,b,若AC=2.交比的概念及性質(zhì)點(diǎn)列的交比：如果共線四點(diǎn)P?,P?,P?,PaP?,P?,P?,Pa的交比，記為(P?,P?;P?,Pa)。則稱(chēng)為共線四點(diǎn)其中P,P2稱(chēng)為基點(diǎn)偶(對(duì)),P3,Pa稱(chēng)為分點(diǎn)偶不妨共線四點(diǎn)P?,P?,Ps,Pa所在直線不與坐標(biāo)軸垂直，并設(shè)P?(xi,yi),P?(x?,y2),性質(zhì)1:基點(diǎn)偶與分點(diǎn)偶交換，交比的值不變，即(P?,P2;P?,P?)=(P?,Pa;P?,P?).性質(zhì)2:基點(diǎn)偶的兩個(gè)字母交換，或者分點(diǎn)偶的兩個(gè)字母交換，交比值變?yōu)樵瓉?lái)交比值的倒數(shù)，即性質(zhì)3:交換中間兩個(gè)字母，或交換兩端的兩個(gè)字母，交比的值變?yōu)?減去原來(lái)的交比值，即(P?,P?;P?,Pa)=(P?,P?;P?,P?)=1-(性質(zhì)4:如果四個(gè)不同的共線點(diǎn)中三點(diǎn)及其交比值已知，則第四點(diǎn)必唯一確定.點(diǎn)列交比的角元形式：如下圖，分別連接共線四點(diǎn)P?,P?,P?,Pa與其所在直線外一點(diǎn)S,記所形成從交比的角元形式可以看出，交比(P?,P2;P?,P?)的值只與直線的有向角有關(guān)系，與線段長(zhǎng)度沒(méi)有交比的射影不變性：如圖所示，過(guò)點(diǎn)S引四條相交直線，分別與另外兩條直線交于A,B,C,D和P?,3高中數(shù)學(xué)新思路圓錐專(zhuān)題交比的射影不變性，是交比的角元形式的直接推論，交比的射影不變性表明，交比經(jīng)中心射影后不變。關(guān)于交比射影不變性的斜率公式，我們會(huì)在后面章節(jié)進(jìn)行解讀，交比射影不變性的推論，結(jié)合調(diào)和點(diǎn)列，基本上可以打通高考.例3(2024·濟(jì)南期末)射影幾何學(xué)中，中心投影是指光從—點(diǎn)向四周散射而形成的投影.如圖.0為透視中心。平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)E,F.G.H經(jīng)過(guò)中心投影之后的投影點(diǎn)分別為A,B.C.D.對(duì)于四個(gè)有序點(diǎn)A,B.C.D.定義比值叫做這四個(gè)有序點(diǎn)的交比。記作(ABCD).解析(1)證明：在△AOC、△AOD、△BOC、△BOD中，4所以(EFGH)=(ABCD).(2)由題意可得(,所以(,即,所じ又點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，即,所又AC=3,則AB=2,BC=1,設(shè)OA=x,OC=y且OB=√3,由∠ABO=π-∠CBO,所以cos∠ABO+cos∠CBO=0,即解得x2+2y2=15,①例4(2024·江蘇省四校聯(lián)合)交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏兒何中亦有應(yīng)用.設(shè)A.(分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)度.例如AB=(2)若!·1.1.1.為平面上過(guò)定點(diǎn)戶且年際的四條直線.L·L為不過(guò)點(diǎn)P且互異的兩條直線，L與在，1.1,/的交點(diǎn)分別為5,B,D.與T,1.2.1.的交點(diǎn)分別為A·B.C.D..證(3已知第2阿的道命題成立，證明：若二EFG與EF;的對(duì)應(yīng)邊不平行。對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，則_EPG與點(diǎn)EFG對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上D?);5(3)設(shè)EF與E'F'交于X,FG與F'G'交于Y,EG與E'G'交于Z,連接X(jué)Y,FF'與XY交于L,EE′與XY交于M,GG與XY交于N,欲證X,Y,Z三點(diǎn)共線，只需證Z在直線XY上，考慮線束XP,XE,XM,XE',由第(2)問(wèn)知(P,F;L,F)=(P,E;M,E),再考慮線束YP,YF,YL,YF',由第(2)問(wèn)知(P,F;L,F)=(P,G;N,G),從而得到(P,E;M,E')=(P,G;N,G),從而MN過(guò)點(diǎn)Z,故Z在直線XY上，X,Y,Z三點(diǎn)共線三、調(diào)和點(diǎn)列與定比點(diǎn)差如下圖①,點(diǎn)P在線段AB上，則滿足的點(diǎn)P是唯一存在的.但是，如果將線段AB改為直線AB,此時(shí)，滿足-的點(diǎn)有兩個(gè)，如下圖②,不妨記另一個(gè)點(diǎn)為Q,則此種情況下，我們稱(chēng)點(diǎn)A、P、B、Q為調(diào)和點(diǎn)列，或者稱(chēng)點(diǎn)P、Q調(diào)和分割點(diǎn)A、B.按照交比的調(diào)和比解特別的，當(dāng)λ=1時(shí)，即點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則Q為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)2.調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)如下圖所示：對(duì)于線段AB的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D滿足C、D調(diào)和分割線段AB,即,設(shè)O為例5(2011·山東卷改編)設(shè)Ai、A、A、A?是平面直角坐標(biāo)系中相異的四點(diǎn)，若=xAi(a解析選項(xiàng)A:因?yàn)锳?A=AA?A?a∈R),選項(xiàng)C:若C,D同時(shí)在線段AB上，0<A<1且0<μ<1,與已知矛盾，故C錯(cuò)誤， 一定有ypyQ=p(xp+xQ).證明：若A(xi,y),B(?,2),AP=aPB,,有即(y?+λy?)(y?-λy2)=p(x?+ax?+x7例6過(guò)P(4,1)的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)A.B.在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足解析解法一(定比點(diǎn)差):由題設(shè)可得：,得：令PA=λ?AQ,PB=當(dāng)F在1上時(shí).直線Z的斜率為-2.(2)若A(x?,yi),B(x?,y2),AP=-aPB,則;AD=λDB,則,°○-得x一=4cn+-R-Nz)所以所以,則有yeyp=4(xp+xo),即4yo=48(2)已知點(diǎn)B(4√2,-3),D(2√2,0),E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G,H兩點(diǎn).證明：所(2)解法一(參數(shù)同構(gòu))DG=xGE,DH=μHE,所以λ+μ=0.命題得證. 解法二(定比點(diǎn)差):要證,只需證,不妨令GD=λDH,在直線GH上一 定存在點(diǎn)P,使得GP=-λPH,本題需證GE=-xEH,故只需證明E、P兩點(diǎn)重合即可，由定比點(diǎn)差(過(guò)程請(qǐng)補(bǔ)充),在直線GH上與xE=4√2重合，故命題得證.點(diǎn)，則E一定在某條定直線AB上，我們把這個(gè)定點(diǎn)叫做極點(diǎn)，而AB叫做其對(duì)應(yīng)的極線，我們下一章會(huì)重四、定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的定比點(diǎn)差若出現(xiàn)yp=0(或者y=0),則xpxQ=a2,此時(shí)xp=m,=b2,此時(shí)yp=n,例9(2022·山東模擬)已知橢圓C:的離心率,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F?,F?為橢圓C的左、右焦點(diǎn).(2)過(guò)點(diǎn)F?分別作兩條互相垂直的直線l?,L?,且1:與橢圓交于不同兩點(diǎn)A,B.L?與直線x=1交于點(diǎn)P.若AF=aF?B,且點(diǎn)Q滿足QA=aQB.求△PQF?面積的最小值.9 (2)設(shè)A(x1,yi),B(x?,y2),因?yàn)锳F?=λF?B,AQ=-λQB,所以 積最小值為6.類(lèi)型一定點(diǎn)在x軸過(guò)定點(diǎn)P(xp,0)的直線與橢類(lèi)型二定點(diǎn)在y軸 y?),B(x?,y2),則在直線AB上一定存在點(diǎn)Q滿足AQ=-aQB,根據(jù)定比點(diǎn)差法可知.同 解析因?yàn)?y2=m,所以,因?yàn)楦鶕?jù)定比點(diǎn)差得：,故yQ=m,因此可得：,又因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓上，所以,故當(dāng)m=5時(shí)，x2取最大值4,此時(shí)例11已知橢圓,過(guò)定點(diǎn)P(0,3)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)A,B(可重合),求的取值范圍.解析設(shè)A(zì,y),B(x?,y2),AP=λPB,則,則),所以所以],所以五、定點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的定比點(diǎn)差 ,艮,代入①,消去Ax2、λy?,整理可得：)的離心率為,點(diǎn)在橢圓E上，射線AO與橢圓E的另一交點(diǎn)為B,點(diǎn)P(-4t,t)在橢圓E內(nèi)部，射線AP、BP與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為(1)求橢圓E的方程；(2)求證：直線CD的斜率為定值.(2)設(shè)A(xi,yi),B(x?,y?),C(xs,ys),D(xa,yA),設(shè)AP=λPC,BP=μPD,注意：關(guān)于非軸點(diǎn)定比點(diǎn)差，我們后面章節(jié)會(huì)將背景和解答方法逐一呈現(xiàn)，這里不第二章極點(diǎn)極線基本知識(shí)極點(diǎn)極線基本知識(shí)不斷出現(xiàn)，不過(guò)基本上也是基礎(chǔ)類(lèi)型.所以，極點(diǎn)極線，我們還是按照一些題型來(lái)進(jìn)入分類(lèi)總結(jié).一、極點(diǎn)極線的定義對(duì)于一般式的二次曲線φ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,用xx。代x2,用yy①極點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于圓x2+y2=r2的極線方程是xx。+yyo=r2;②極點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于圓(x-a)2+(y-b)2=r2的極③極點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的極線方程是：=0.(3)雙曲線：極點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于雙曲線的極線方程是：極點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于拋物線y2=2px的極線方程是：yoy=p(x+xo).(1)若極點(diǎn)P在二次曲線上，則極線是過(guò)點(diǎn)P的切線方程.(2)若極點(diǎn)P在二次曲線內(nèi)部，則極線是過(guò)點(diǎn)P的弦兩端端點(diǎn)的切線交點(diǎn)的軌跡.如圖所示，過(guò)點(diǎn)P的②極線在二次曲線外的部分是過(guò)點(diǎn)P的弦兩端端點(diǎn)的切線交點(diǎn)的軌跡.二、極點(diǎn)極線定理證明如下圖所示，設(shè)非中心點(diǎn)P不在橢圓上，過(guò)P作橢圓的兩割線PAB和PCD,連接AD和證明：如圖所示，在線段AB上取一點(diǎn)S,使B,S,A,P為調(diào)和點(diǎn)列根據(jù)定比點(diǎn)差法(過(guò)程省略)可知：,同理在CD上取一點(diǎn)R,使D,R,C,P為調(diào)和點(diǎn)列由于R、S均在同構(gòu)方程,所以直線RS的方程為連接RS,我們僅僅需要證AD,BC,RS三線共點(diǎn)Q即可，此時(shí)我們需要借助一下梅涅勞斯定理和塞瓦定理，借助平面幾何知識(shí)，延長(zhǎng)AC和BD交于T,連接TQ交AB和CD分別于E和F點(diǎn)，我們需證R,故點(diǎn)Q在直線RS上，所以,命題得證!注意：關(guān)于梅涅勞斯定理和塞瓦定理及其逆定理，均屬于高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的知識(shí)，高中課本上是沒(méi)有做要求的，考試不能直接拿來(lái)證明，但是其對(duì)應(yīng)的比值性質(zhì)與極點(diǎn)極線的調(diào)和共軛屬性完美契合，屬于證明極點(diǎn)補(bǔ)充定理：定理：一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)D、E、F,且D、E、F均不是證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G.因?yàn)镃G//AB,所①,因?yàn)镃G//AB,所以定理：在△ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn)D那么D、E、F三點(diǎn)共線.因1,所以有.由于點(diǎn)D、D都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D'重合.即得證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P,直線CP交AB于點(diǎn)D',則據(jù)塞瓦定理因?yàn)?,所以.由于點(diǎn)D、D'都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D'重合.即得D、三、極點(diǎn)極線的配極性質(zhì)(2)如圖所示(以橢圓圖形為例),若點(diǎn)P是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，且不為原點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)P作割線PAB、PCD依次交圓錐曲線于A、B、C、D四點(diǎn)，連結(jié)直線AD、BC交于點(diǎn)M,連結(jié)直線AC、BD交于點(diǎn)N,則直線Lwm為極點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.類(lèi)似的，也可得到極點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線為直線lpm,極點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線為直線lpN,因此，我們把△PMN稱(chēng)為自極三角形.【即△PMN的任一頂點(diǎn)作為極點(diǎn)，則頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊即為對(duì)應(yīng)的極線，“補(bǔ)全自極三角形”這個(gè)技巧很常用，后面結(jié)合例題了解!】例1(2020·新課標(biāo)I)已知A,B分別為橢圓E:)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂?shù)诙聵O點(diǎn)極線基本知識(shí)解析①稱(chēng)性可知，PR在直線x=6上，Q為其極點(diǎn)，所1,即(2)解法一(齊次化)由(1)知A(-3,0),B(3,0),M(x?,yi),N(x2,y2),P(6,t),設(shè)kAM=ki,設(shè)N(xo,yo),因?yàn)锳B是橢圓的直徑，所以又因?yàn)辄c(diǎn)N(xo,yo),在橢圓上，所以有兩式相減,所以,將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到A點(diǎn)，則橢圓E':1,即x2-6x+9y2=0,設(shè)直線M'N'方程為mx+ny=1,代入橢圓E'得x2-6x(mx+ny)+9y2=0,同除x2得解法二：(定比點(diǎn)差)設(shè)MN與x軸交于點(diǎn)Q(m,0),令MQ=λQN,根據(jù)定比點(diǎn)差法(步驟省略):同時(shí)成立，即,故直線MN過(guò)定點(diǎn)解法三(曲線系):設(shè)P(6,yo),因?yàn)锳(-3,0),B(3,0),則直線PA的方程可以表示；,直線PB的方程可以表示易知t=3t?,設(shè)直線CD的方程為x-ty-m=0,故經(jīng)過(guò)A、B、M、N四點(diǎn)的曲線系可表示為y(x-①比較“xy”項(xiàng)的系數(shù)1-4λt?=兩式比較得,故直線MN過(guò)例2已知橢圓C:)的左右焦點(diǎn)分別為F?,F?,點(diǎn)在C上，且PF?F?F._(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)C的左右頂點(diǎn)分別為A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F?且不與坐標(biāo)軸垂直，l與C交于M,N兩點(diǎn)，直線AM與直線BN相交于點(diǎn)Q,證明點(diǎn)Q在定直線上.(2)本題顯然定比點(diǎn)差法最簡(jiǎn)單，軸點(diǎn)弦+雙三點(diǎn)共線令MF?=λF?N,設(shè)M(x?,yi),N(x?,y?),QCx,y)F?(1,0),所以調(diào)和分點(diǎn)XR=4,y?+λy?=0(過(guò)程請(qǐng)補(bǔ)齊)所以AM:,BN:,聯(lián)立消去y,所以x=4.注意：本題極點(diǎn)極線原理與例1一樣.例3(2023·福州模擬)已知拋物線E:y2=2px(p>0)。過(guò)點(diǎn)(-2,0)的兩條直線L,L2E(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上.第二章極點(diǎn)極線基本知識(shí)(舍去),從而E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x;(2)極點(diǎn)極線背景分析：兩條直線l?,L?交于點(diǎn)E:(-2,0),此為極點(diǎn)，則AD與BC的交點(diǎn)在其極線上，故yEyc=2(xE+xG),所以xc=2.設(shè)),得,直線AB的方程為,即4x-(y?+y?)+yiy?=0,又直線AB過(guò)點(diǎn)(-2,0),將該點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程，得yiyz=8,設(shè)),同理可得ysy=8,直線AD的方程為4x-(y?+y?)y+y1y4=0①,直線BC的方程為4x-(y?+y?)y+y?y3=0②,解法一：因?yàn)?-2,0)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，由對(duì)稱(chēng)性可知，交點(diǎn)G必在垂直于x軸的直線上，所以只需證G的橫坐標(biāo)為定值即可，因?yàn)橹本€AD與BC相交，故yi+y?≠y?+ys,由①②組成方程組可得：x=解法二(同一轉(zhuǎn)化):直線AD的方程為4x-(y?+y?)y+y?y4=0,即,和直線BC的方程(y?+y?)y=4x+y?y?所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為2,即直線AD與BC的交點(diǎn)在定直線x=2于C,D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.過(guò)其焦點(diǎn)FCO,1)的直線L與橢圓交當(dāng)點(diǎn)P異于A,B兩點(diǎn)時(shí)，求證：OP。點(diǎn)極線知識(shí)可得PQ兩點(diǎn)符合調(diào)和共軛，即1,所以O(shè)P.Q=xpxa=1.解法一(曲線系):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,設(shè)P的坐標(biāo)為(xp,0),Q的坐標(biāo)為(xQ,yQ),Lac:x=t?y-1,LBD:x=t2y+1,因?yàn)闄E圓過(guò)二次曲線AC,BD與二次曲線AB,CD的四個(gè)交點(diǎn)A,C,B,D有：四點(diǎn)的曲線系方程xy的系數(shù)：,y的系數(shù)：t?-t?-μ=0,聯(lián)立,解得(t?—t2)xQ=t?+t2,且且,將橢圓向右平移1個(gè)單位，得(,將橢圓向右平移1個(gè)單位，得(1,聯(lián)立即1,聯(lián)立即三點(diǎn)共線，,所以oP·三點(diǎn)共線，,所以oP·例5(2023·新高考Ⅱ)已知雙曲線C中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-2√5,0),離心率為/5.(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A?,A?,過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA?與NA?交于P,證明P在定直線上.解析(1雙曲線C中心為原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-2√5,0),離心率為/5,則,解第二章極點(diǎn)極線基本知識(shí)(2)由于Q是A?A2和MN的交點(diǎn)，P是MA?和NA?的交點(diǎn)，根據(jù)極點(diǎn)極線知識(shí)可得PQ兩點(diǎn)符合調(diào)和解法一(齊次化):我們發(fā)現(xiàn)MN是x軸的軸點(diǎn)弦，∠MA?N是x軸的頂點(diǎn)角，易判斷隱藏了斜率關(guān)系此時(shí)M→M,N→N',同時(shí)設(shè)直線M'N'的方程為：mx+ny=1,由于過(guò)定點(diǎn)(-6,0),所以與雙曲線聯(lián)立可得：4x2+16x(mx+ny)-y2=0,同除以x2有：,所以根據(jù)第三定義(考試需自證):,所以kmA?=-3km?=-3k;又直線MP、NP的方程分別為：①LMP:y=-3k(x+2),②lnP:y=k(x-2);聯(lián)立①②:-3(x+2)=x-2,整理得xp=-1故點(diǎn)P在定直線x=-1上.解法二(定比點(diǎn)差):過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)M(x?,y1),N(x?,y2),滿足MF=λFN;即有;又M(x?,y?).N(x2,y?)在雙曲線上，則滿足,兩式相減得：即),N、P、A?三點(diǎn)共線：,所以xp=-1,點(diǎn)P在定直線x=解法三(曲線系):A?M:x=t?y-2,A?N:x=t?y+2,聯(lián)立可得：A?A?:y=0,MN:x=ty-4;故曲線系方程為：(x-t?y+2)(x-t2y-2)+ay(x-ty+4)=高中數(shù)學(xué)新思路圓錐專(zhuān)題四、蝴蝶定理與坎迪定理1.蝴蝶定理對(duì)比y系數(shù)：2t?-2t?+4λ=0,如左圖所示，P為y軸上一點(diǎn)，若AC與BD交于P,過(guò)P作與x軸平行的直線交AB和CD于MN,交橢圓I于EF,則|PM|=|PN如右圖，若P為弦EF中點(diǎn)，則P一定為MN中點(diǎn)，即|PM|=|PN|,我們把這種蝴蝶型的共中點(diǎn)定理叫做蝴蝶定理.證明：如圖，延長(zhǎng)AB與DC交于Q,過(guò)Q作MN的平行線交DB延長(zhǎng)線于T,交AC延長(zhǎng)線于R,易知TR為以P為極點(diǎn)的極線，以P為射影中心，利用交比不變性，(AB,MQ)=(DC,NQ)=-1,以Q為射影中心，利用交比不變性，(TP,BD)=(RP,CA)=-1,古例6已知橢圓過(guò)點(diǎn)(2,√2),。離心率(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(0,1)做橢圓的兩條弦AB,CD(A,C分別位于第一、二象限),若BC.AD與直線y=1分解解(2)解法一(定比點(diǎn)差):令A(yù)P=λPB,CP=μPD,M(m,1),N(n,1),根據(jù)定比點(diǎn)差得：所,所,所以1,所以|PM|=|PN|解法二(平移曲線系):將橢圓按(0,-1)平移得：A'B':y=kjx,CD':y=k?x,A'D':x=t?y+m?,B'C':x證明②:解法一(平移構(gòu)造曲線系):將橢圓按照MO=(-m,0)平移得：,(x+m)2=a2,,此時(shí)設(shè)A'D':x=t?y,B'C':x=t?y,A'B':x=t?y+m?,CD':x=ty+m?,常數(shù)項(xiàng)系數(shù)：;x系數(shù)：;y系數(shù)為0:m?t?+m?t?=0;解法二(交比角元不變性):由于B(A?C,AA?)=D(A?C,AA?),又B(A?C,AA?)=B(A?M,EA?)=(A?M,EA?),所D(A?C,AA?)=D(A?G,MA?)=(A?G,MA?),所!,即,所以顯然，曲線系是最好證明的方法.注意：蝴蝶定理其實(shí)是坎迪定理的特殊形式，即M為A?A補(bǔ)充定理：圓周角交比不變性設(shè)P,Q,A,B,C,D為圓錐曲線上六個(gè)證明：如圖，以圓錐的頂點(diǎn)為射影中心，以橢圓為截面，SP,SA,SB,SC,SD分別交橢圓截面于P?,A?,B?,C?,D?,根據(jù)交比射影不變性以及，顯然有P(AB,CD)=P?(A?B?,C?D?)根據(jù)圓的圓周角定理，如右圖，根據(jù)交比的不變性P?(A?B?,C?D?)=Q?(A?B?,C?D?),3.坎迪定理中點(diǎn)推論為極點(diǎn)的極線，過(guò)M作TR//PH交PD與PB于T和R,則MT=MR.證明：如右圖所示，直線PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線，則(QM所以MT=MR.與BC交于M,易知PH是以M4.坎迪定理在高考中的應(yīng)用定點(diǎn).的左右頂點(diǎn)為A.B右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T(9.m)的直線TA.),其中m>0.y?>0.y?<0.求證：直線MN必過(guò)x軸上一個(gè)解析本題屬于經(jīng)典的極點(diǎn)極線知識(shí)，我們用蝴蝶定理來(lái)解讀一下，顯然D為對(duì)稱(chēng)軸上點(diǎn)，則必有PD=QD,由于kTB=2kTA,,所以m=1,故直線MN恒過(guò)(1,0).注意：2020年全國(guó)卷高考題也可以按照此方法解讀.本題書(shū)寫(xiě)過(guò)程與例1一致，故不再詳述。例8(2016·山東)已知橢圓C:)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.焦距為2/2.(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(O,m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限)、且M是線段PN的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q.延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B.解析②求直線AB的斜率的最小值.解析(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.由題意知2a=4,2c=2√2,所以a=2,b=√a2-c2=√2.所以橢圓C的方程(2)證明：①設(shè)P(xo,yo)(x?>0,y?>0),由M(O,m),可得P(xo,2m),Q(xo,-2m).所以直線②極點(diǎn)極線背景：延長(zhǎng)AB和QP交于H,易知M與H調(diào)和共軛，即yMyH=2,故,過(guò)M作x軸平行線交AB于D,交PQ于E,根據(jù)蝴蝶定理知MD=ME,故,由在橢圓上，故令,當(dāng)且僅當(dāng)解法一(定比點(diǎn)差):設(shè)A(x?,y?),B(x?,y2),AM=λMB,BM=μMQ,根據(jù)定比點(diǎn)差法故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.解法二(曲線系):設(shè)AB:y=kx+n,故我們只需要求出k的關(guān)系式；PA:y=kix+m已知QB:y=-3kix+m,因?yàn)闄E圓過(guò)二次曲線PA·QB與二次曲線AB·PQ的四個(gè)交點(diǎn)A,B,P,,對(duì)比兩邊xy項(xiàng)系數(shù)，得-1+綜合①②③得,當(dāng)僅當(dāng)點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3.(2)已知A、B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，A在x軸的上方，F(xiàn)(1,0),連接AF、BF并分別延長(zhǎng)交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，證明：直線DE過(guò)定點(diǎn).第二章極點(diǎn)極線基本知識(shí)解析(1)由題意可得,解得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=4-1=3,故b=√3;(2)極點(diǎn)極線背景分析：設(shè)橢圓左右頂點(diǎn)為M,N,DE交x軸于G,根據(jù)坎迪定理，可知解法一(定比點(diǎn)差):A(xi,yi),B(-x?,-yi),D(x?,y?),E(x?,y?),令A(yù)F=λFD,BF=μFE,所以,所以①+②得：,故,解法二(曲線系):證明：令,過(guò)二次曲線AB,DE與二次曲線AD,BE的四個(gè)交點(diǎn)DE:x-t4y-m=0A,B,D,E的曲線系可表示為：對(duì)比兩邊x項(xiàng)系數(shù)，得-m+λ(-2)=0,對(duì)比兩邊x2項(xiàng)系數(shù)，得,對(duì)比常數(shù)項(xiàng)，得λ=-μ,聯(lián)立以上三式，解得故直線DE恒過(guò),所,例11已知橢圓C:M為意一點(diǎn)，當(dāng)∠F?MF?=90°時(shí)、△F?MF?面積為1.已知點(diǎn)A是橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)·延長(zhǎng)AF?.AF。分別與橢圓交于B、D.求證：ka·ku)為定值.(2)極點(diǎn)極線背景分析：延長(zhǎng)BO交橢圓于E,延長(zhǎng)OA與DE交于P,易知PQ為以F?為極點(diǎn)的極線，解法二(曲線系):作A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',BA'E,令,過(guò)二次曲線AA',DE關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,利用對(duì)稱(chēng)性可知AB//A'E,AB=m+λ(-2)=0,對(duì)比兩邊x2項(xiàng)系數(shù)，得,對(duì)比常數(shù)項(xiàng)，得λ=-μ,聯(lián)立以上三式，解得qq2261880791對(duì)比y的系數(shù)，,對(duì)比xy系數(shù)，例12已知橢圓C:的離心率為半焦距為c(c>0),且a-c=1,經(jīng)過(guò)橢圓的(2)設(shè)R(1,0),延長(zhǎng)AR,BR分別與橢圓交于C、D兩點(diǎn)。直線CD的斜率為k2,求的值.,=32-22=5.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程十(2)極點(diǎn)極線背景分析：設(shè)橢圓左右頂點(diǎn)為M,N,CD交x軸于G,PQ:x=9,根據(jù)坎迪定理，可知解法一(曲線系):將橢圓向左平移一個(gè)單位得：,即：,B'D':,A'B':A'C':,CD':,B'D':,A'B':A'C':x2:解法二(定比點(diǎn)差):設(shè)AB:y=k?(x+2),A(x?,yi),B(x?,y2),C(x?,y?),D(x?,yA),AR=λ已知拋物線y2=2px(p>0),A(m,0),B(n,0),過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線交拋物線于M,N兩點(diǎn)，直線MB,NB分別交拋物線于點(diǎn)P,Q,則：(1)直線PQ恒過(guò)x軸的定點(diǎn)C(t,0),其中t2=mn;證明：解法一(兩點(diǎn)聯(lián)立式同構(gòu)同構(gòu)):易得①×④=②×③有p2=mn;解法二：如圖所示，作出輔助線，補(bǔ)全自極三角形TSB,由于EF//ST,易得BE=BF,根據(jù)蝴蝶定例13(2022·金國(guó)甲卷)已知拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0)過(guò)焦點(diǎn)F做直線l交拋物線于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)MD⊥x軸時(shí)，|MF|=(2)若直線MD.ND與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A.B.若直線MN.AB的傾斜角為α,β,當(dāng)αβ最大時(shí)，求AB的方程.0解析880D)y2=4x(2)解法一(同構(gòu)方程):設(shè)A(x?,yi),B(r?,y?)則AB的方程：4x-(y?+y?)y+yiy2=0(證明省略),由B,D,N共線得：yN·y?=-8②,①×②得ym·yN·y?y2=64設(shè)AB,MN斜率分別為k,k?顯然當(dāng)k?>0,tan(a-β)解法二(曲線系):將拋物線向左平移兩個(gè)單位得：y2=4(x+2),即y2-4x-8=0M'N':,MA':y=k?x,A'B':,B'N':y=kax,,綜合解得：2k2=k?,m=2,,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，高中數(shù)學(xué)新思路圓錐專(zhuān)題調(diào)和點(diǎn)列與完全四邊形1.完全四邊形定義2.完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列3.調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束根據(jù)完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列可知，完全四邊形的任意一條對(duì)角線的兩端，都被它和另外兩條對(duì)角線的二、調(diào)和平行弦中點(diǎn)定理完全四邊形ABCD中，AD//BC,邊AC與BD交于F,BA與CD延長(zhǎng)線交于E,EF與AD和BC交于證明：因?yàn)樗?所以BH=HC,同理AG=GD,所以E、G、F、H是調(diào)和點(diǎn)列.如圖所示，若(P?P?,P?P?)=-1,SP?,SP?,SP?,SP?均為S點(diǎn)的調(diào)和線束，過(guò)PS延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)A作AB//SP,分別交SP?和SP?于點(diǎn)B和C,則AC=BC.若A,M,B,N是調(diào)和點(diǎn)列，如下圖所示，過(guò)A作任意直線L,在L上任取一點(diǎn)C,連接CM,CN,過(guò)N作DE//CM交AC和CB于D、E兩點(diǎn)，則必有：本定理其實(shí)就是調(diào)和梯形定理的延展，我們將B理解為對(duì)角線交點(diǎn)，CM為上底的一半，則DE且DN=EN,至于PR=QR,可以根據(jù)三角形CDE的中線上任意一點(diǎn)R作底邊平行線，由中線定理即可證明.三、調(diào)和平行弦中點(diǎn)定理在高考中應(yīng)用如圖所示，在橢[中，A、B為橢圓上的兩點(diǎn)，設(shè)x軸上一點(diǎn)P(m,0),存在直線x=n和x軸上一點(diǎn)Q,連接BQ并延長(zhǎng)交直線x=n于M,則：;②直線AM//x軸；.(一般知二推一.)極點(diǎn)極線背景分析：延長(zhǎng)AB交x=n于N,作BB?//AM交MN于B?,由以P為極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為例1已知橢圓C:)的左、右焦點(diǎn)分別為F(2)若存在實(shí)數(shù)λ使得AFi=λAB,過(guò)點(diǎn)A作直線x=-4的垂線，垂足為N,直線NB是否恒過(guò)某點(diǎn)?若恒過(guò)某點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析(1)由題可知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4√2,則2a=4√2,且|AF?|+|BF?|=2a=4√2為定值，當(dāng)AB為短軸時(shí)，SABF?取得最大值為bc,所以,解得a=2√2,b=2,c=2,所以橢圓C的方程(2)因?yàn)锳F?=aAB,所以A、F、B三點(diǎn)共線，令BF=μF?A,B(x?,y?),A(x2,y2),則在直線AB上必存在一點(diǎn)P,滿足BP=-μPA34由定比分點(diǎn)所以有：,所以可得：,故x?=-3+μ.令BN交x軸于M,由于AN//MF,所以BM=μM,所以,故存在點(diǎn)M(-3,0),滿足題意.例2(2023·寧德模擬)已知橢圓C:的離心率(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,定直線m:x=2,過(guò)點(diǎn)F且斜率不為零的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A.B兩點(diǎn)分別作AP⊥m于P.BQ⊥m于Q.直線AQ、BP交于點(diǎn)M.證明：M點(diǎn)為定點(diǎn)·并求出M點(diǎn)的坐標(biāo).解析(1)由離心率(,可得a2=2b2,所以橢圓的方程為：將代入橢圓的方程可得：解得b2=1,所以橢圓的方程為：令A(yù)F=λFB,令A(yù)(xi,yi),B(x?,y?),由定比分點(diǎn)公式得,則在直線AB上必存在一點(diǎn)G,滿足AG=-aGB,得,故,由于AP//MF//BQ,所以AM=λMQ,所以xM=題型二共軛點(diǎn)面積等比中項(xiàng)模型橢b>0),過(guò)點(diǎn)M(m,0)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)D,N,E在M對(duì)應(yīng)極線AD//MN//BE,所例3(2024·臨川區(qū)期末)已知雙曲線不同的兩點(diǎn)A、B,過(guò)點(diǎn)A、B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)E.(二次曲線Ax2+By2=1在曲線上某點(diǎn)(xo,yo)處的切線方程為Axox+Byoy=1)(1)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線L上；(2)若兩直線L與L交于點(diǎn)N,AN=aMA,BN=μMB,求λ+μ的值；(3)若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線L的垂線，垂足分別為P、Q,記△AMP,△BMQ,△PMQ的面積分別為S?,S?,出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析(1)證明：設(shè)E(xo,yo),A(xi,yi),B(x?,y2),由題意得：切線EA的方程為：1,將點(diǎn)E代入得：同理可得：,易知點(diǎn)A,B都在直上，所以直線L的方程為：因?yàn)橹本€L過(guò)點(diǎn)M(4,0),所以xo=1,所以點(diǎn)E恒在定直線L:x=1上；因?yàn)辄c(diǎn)A(xi,yi)在雙曲線上，所以整理得12x2-4第三章調(diào)和點(diǎn)列與完全四邊形-4y3-3=0,所以λ,μ是關(guān)于x的方程12x2-4y3-3=0的兩個(gè)實(shí)根，所以λ+μ=0;,因?yàn)橹本€L的方程為x=1,所以P(1,y?)Q(1,y?),已知AB交橢0)長(zhǎng)軸(短軸)于點(diǎn)P,B,B'是橢圓上關(guān)于長(zhǎng)軸(短軸)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，極點(diǎn)極線背景分析：如右圖，由于點(diǎn)P與Q符合調(diào)和共軛，則以P為極點(diǎn)的極線是QN,故N、A、P、B是調(diào)和點(diǎn)列，(內(nèi)角平分線定理),作A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A',則注意：補(bǔ)充三角形的內(nèi)角平分線定理：在△ABC中，若AD是∠A的平分線，則證明：作DE⊥AB交AB于E,DF⊥AC交AC于我們同樣也可以根據(jù)調(diào)和梯形來(lái)解釋角平分線定理，如下圖所示，已知橢圓方程為C:>0),若以P為對(duì)角線交點(diǎn)的梯形的一組對(duì)邊垂直于x軸，則P必在x軸上，且點(diǎn)P所對(duì)極線也必垂直于x如圖，過(guò)定點(diǎn)M(m,0)的直線與橢b>0)相交于A(x1,y?)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(x?,-y1),則直線A'B恒過(guò)定點(diǎn)代入③得：,此時(shí)，結(jié)合代入③得：,此時(shí)，結(jié)合,顯然，直線A'B恒過(guò)定點(diǎn)1直線A'B的兩點(diǎn)式，即相交于A、B相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x?,yi),B(x?,y2),,解得由①+②可得：,解得由②-①可得：第三章調(diào)和點(diǎn)列與完全四邊形過(guò)定點(diǎn)N(0,n)的直線AB和橢1相交，設(shè)A(xqq2261880791所以：顯然，所有的軸點(diǎn)弦，用一個(gè)點(diǎn)表示另一個(gè)點(diǎn)的方法，定比點(diǎn)差顯然來(lái)得更加直接和簡(jiǎn)單，只是在處理M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；解析(1)由已知得F(1,0),L的方程為x=1.由已知可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為),所(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OOM.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)A(x?,yi),B(x?,y2),點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B'(x?,-y?),根據(jù)幾何性質(zhì)可得：若x軸上存在點(diǎn)N,使得ON為∠ANB的角平分線，AB與x軸交點(diǎn)為F,下面通過(guò)證明N與M重合來(lái)證明∠OMA=∠OMB,解法一：(角平分線定理+調(diào)和點(diǎn)列)①-②得：由于x?y2—x?y?=y?-y?,所以x?y2+x?y?=2(y?+y?),解法四(齊次化):將橢圓按照MO方向平移得橢圓C',則M→0,A→A',B→B',F→F'橢圓C':,設(shè)直線lpα:mx+ny=1,直線過(guò)(-1,0),即m=-1,橢圓C:x2+4x+2y2+2=0,40例5已知橢圓。其短軸長(zhǎng)為2√3.離心率為ei,>0,q>0)的漸近線為v=±√3x,離心率為eg.且e·e?=1.(2)設(shè)橢圓C?的右焦點(diǎn)為F.動(dòng)直線LC不垂直于坐標(biāo)軸)交橢圓C于M.N不同兩點(diǎn)，設(shè)直線FM和FN的斜率為ki,k?,若k?=-k?。試探究該動(dòng)直線l是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析(1)由題意知橢圓C?:,其短軸長(zhǎng)為2√3,可得b=√3,橢圓的離心率為e1,雙曲線C?:)的漸近線為y=±√3x,離心率為,且e?·e2=1.所以,解得a=2,所以橢圓方(2)解法一(調(diào)和點(diǎn)列+幾何性質(zhì))延長(zhǎng)NM交x軸于P,延長(zhǎng)NF交橢圓于M',易知因?yàn)閗FM=—kpN,則MF=-λFN,所以,根據(jù)定比點(diǎn)差法可知：,所以xp=4,故存在點(diǎn)P(4,0)滿足題意.解法二：(三炮齊鳴+三點(diǎn)共線)延長(zhǎng)NF交橢圓于M',ym+yw=0,xM=xM.令NF=λFM,故存在F調(diào)和分點(diǎn)xe=4,,λ(-4+xp)=-4+xp,所以xp=4.第三類(lèi)：斜率和為0與內(nèi)外角平分線解讀已知點(diǎn)A,B是橢上的動(dòng)點(diǎn)，P(xo,yo),直線PA,PB的斜率和為0,則直線AB的斜率如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作x,y軸的平行線，分別交AB于點(diǎn)N,M,則PM,PN分別是∠APB的內(nèi)角，所以M(co,m),N(n,yo)是橢圓的一組調(diào)和共軛點(diǎn)，即點(diǎn)，直線AP.AQ斜率之和為0.求L的斜率；(2x-2y)(mx+ny)=0,,當(dāng)x≠0時(shí)，同除以x2,得：(1+2n),所以n=m,一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)A(A>0,λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”.特殊地，當(dāng)λ=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段AB的中垂線.(1-λ2)x2+2c(1+λ2)x+c2(1-λ2①當(dāng)λ≠1時(shí)，即為,整理得：,即點(diǎn)P的軌②當(dāng)λ=1時(shí)，化簡(jiǎn)得x=0,即點(diǎn)P的軌跡為y軸.,,7例7是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1,定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，MB|,由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)M位于M?或M?時(shí)取得最小值，且最小值為|QB|=√(-2-1)2+1=√10.故例8已知兩定點(diǎn)),Q(m,0),動(dòng)點(diǎn)M與P、Q的距離之比且λ≠1),那么點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為x2+y2=4,則λ+m的值為()A.-8B.-4外角平分線模型設(shè)F和L是圓雉曲線一組對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，圓雉曲線的弦AB交準(zhǔn)線L于點(diǎn)M,則M到AF,BF的距離是相等的，亦即MF是∠AFB的內(nèi)角平分線或者外角平分線.顯然，當(dāng)且僅當(dāng)弦AB交雙曲線于兩支時(shí)，MF是∠AFB的內(nèi)角平分線.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線L的垂線，垂足分別為則,根據(jù)外角平分線的逆定理，所以PF平分∠AFB的外角.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A,B定理，所以PF平分∠AFB例9設(shè)F為橢圓C:例9作準(zhǔn)線L的垂線，垂足分別為則,根據(jù)內(nèi)角平分線的逆的外角.的右焦點(diǎn)，不垂直于x軸且不過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)，在△MFN中，若∠MFN的外角平分線與直線MN交于點(diǎn)P,則P的橫坐標(biāo)為.第三章調(diào)和點(diǎn)列與完全四邊形解析由橢圓方程可知a=2,c=1,所以,F為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)M(x?,y?),N(x?,y2),所以由橢圓的第二定義可得,即有,設(shè)∠MFN的故答案為：4.3.雙外角平分線垂直模型設(shè)AB,MN是過(guò)橢圓焦點(diǎn)F的兩條弦，MA,NA分別交對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線于P,Q則有FM_FN;注意：一般考試中，MN通常為橢圓的左右頂點(diǎn)，所以會(huì)經(jīng)常利用調(diào)和線束+平行弦構(gòu)造中點(diǎn)來(lái)考查.例10(2022·濟(jì)寧三模)已知橢圓E:的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓E上，且|QF|的最大值為3,橢圓E的離心率為(1)求橢圓E的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓E交于另一點(diǎn)P(異于點(diǎn)B),與直線x=2交于一點(diǎn)M,∠PFB的角平分線與直線x=2交于點(diǎn)N,求證：點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn).(2)極點(diǎn)極線背景分析：找到焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線x=4,延長(zhǎng)PF交橢圓和準(zhǔn)線于Q、R,根據(jù)極點(diǎn)極線性質(zhì)可知AP與BQ交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，記為S,則S(PQ,FR)=-1,根據(jù)交比不變性，S(P,Q;F,R)=S(M,解答：解法一(常規(guī)聯(lián)立)證明：由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方.①當(dāng)直線PF的斜率存在時(shí)，因?yàn)椤螾FB的角平分線為FN,所以，∠PFB=2∠NFB,所以，,即,設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2),其中k≠0,設(shè)點(diǎn)P(x?,y?),,所以,則,即點(diǎn)設(shè)直線FN的方程為y=m(x-1),則點(diǎn)N(2,m)、M(2,因?yàn)?則,整理可得(2k—m)(2km+1)=0,因?yàn)閗m>0,所以，m=2k,所以，,所以，點(diǎn)N為線段BM的中點(diǎn)；②當(dāng)直線PF的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)),則直線AP的方程為,所以點(diǎn)M(2,又因?yàn)橹本€FN的方程為y=x-1,所以點(diǎn)N(2,1),所以，點(diǎn)N為線段BM的中點(diǎn).綜上可知，點(diǎn)N為線段BM的中點(diǎn).+2),令x=2,則,根據(jù)橢圓第二定義代人數(shù)據(jù)得：,故,?FN:,令x=2,則的中點(diǎn).解法三(焦弦公式)令∠PFA=20,則題型四調(diào)和點(diǎn)列+平行弦中點(diǎn)(2)過(guò)點(diǎn)B(-4,0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線MA,NA的值.分別交直線x=-4于點(diǎn)P,Q.求相對(duì)于橢圓C的極線方程為故A在極線上，過(guò)這四點(diǎn)是調(diào)和點(diǎn)列，根據(jù)平行中點(diǎn)定理知|PB|=|BQ|,也可以根據(jù)兩個(gè)相似，一個(gè)8字形相似，一個(gè)A字形相似，,由于,故注意：本題也可以理解為半梯形調(diào)和平行弦，我們也可以將其還原成梯形，如右圖所示，連接QM并延長(zhǎng)交AD于E,由于B,M,D,N這四點(diǎn)是調(diào)和點(diǎn)列，則P、E、N三點(diǎn)共線，且AD=DE,PB=BQ.如果按照交比不變性，我們不妨以A作為射影中心，(BD,MN)=-1,由于PQ//AD,故(B,P;∞,(2)解答：令MB=λBN,設(shè)M(x?,yi),N(x?,y2),根據(jù)所以AQ:高中數(shù)學(xué)新思路圓錐專(zhuān)題①+②得：1,即yp+yo=0,所以例12(2018·北京文)已知橢圓M:的離心率為,焦距為2√2.斜率為k的直線L與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B.(1)求橢圓M的方程；(3)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C.直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,解析(1)由題意得2c=2√2,所以c=√2,又,所以a=√3,所以b2=a2-c2=1,M的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)直線AB的方程為y=x+m,A(x?,y?),B(x?,y2),(3)極點(diǎn)極線背景分析：如左圖所示，以點(diǎn)P(-2,0)為極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的極線方程為:,我們作其極線MN交BD于E,交上半橢圓于點(diǎn)R,易求得1,AB與CD交于M,AD于BC交于N,易知PMN構(gòu)成自極三角形，則P,D,E,B此四點(diǎn)是調(diào)和點(diǎn)列，且點(diǎn)恰好為P,R的中點(diǎn)，也即有QP=QR,根據(jù)平行中點(diǎn)逆定理知PQ必須平行于AM,這樣一來(lái)直線AB的斜率等于直線PQ的斜注意：我們也可以根據(jù)調(diào)和點(diǎn)列來(lái)證明平行線，如右圖，過(guò)E作EF//PR交CD于F,P,D,E,B此PR//MB.書(shū)寫(xiě)過(guò)程：設(shè)A(x?,yi),B(x?,y?),C(x?,ys),D(xa,ya),設(shè)AP=λPC,BP=μPD,例13已知橢圓C:斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(4,0),直線AM與橢圓交于點(diǎn)A,直線BM與橢圓交于B?.求證：直線A?B?過(guò)定點(diǎn).解析極點(diǎn)極線原理：易知以M為極點(diǎn)的極線方程為x=1,易知AB與A?B?交于N,與A?B?交于N?,過(guò)N?作N?Q//AB交A?B?于Q,過(guò)M作MR//AB交A?B?延長(zhǎng)線于P,交NN?于R,由于M、A?、按照交比不變性分析，以N作為射影中心，(MN?,A?A)=(M,R;P,○)=-1,故A令A(yù)M=aMA?,BM=μMB?,根據(jù)定比點(diǎn)差法(步驟省略),yA+λyA=0;因?yàn)閗AB=1,所以yA-yB=xA-TB,所以,當(dāng)且僅當(dāng)+yo=0,時(shí)一定成立，所以直線A?B?過(guò)定點(diǎn)以不要去硬算消參，合理利用合比定理來(lái)消參.本題是例8的反向命題，很多題，正向和反向命題，其計(jì)算已知A、B、C為橢上三個(gè)不同的定點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線OC上，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線OC于點(diǎn)M、N,則有：注意：如果已知點(diǎn)N的坐標(biāo)和AB的斜率，也可得到：PQ//AB;直線AP與BQ都過(guò)定點(diǎn)M.例14已知橢圓C:過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線I交橢圓C于M,N兩點(diǎn).Q為橢圓C上異于M,N的一點(diǎn)，滿足弦MQ的中點(diǎn)在直線OP上.試判斷直線NQ是否過(guò)定點(diǎn)?若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不解析解法一(齊次化):根據(jù)之前齊次化對(duì)隱藏斜率和積關(guān)系的處理，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)MN過(guò)點(diǎn)P(2,2),如果將右頂點(diǎn)A平移到原點(diǎn)，那么通過(guò)齊次化會(huì)發(fā)現(xiàn)kAm+kAN=定值，由于,我們定能找出kAM與kAα的關(guān)系，這樣就能得出kAN與kAα的關(guān)系，從而確定N'Q'過(guò)定點(diǎn).操作過(guò)程如下：若弦MQ的中點(diǎn)在直線OP上，根據(jù)中點(diǎn)點(diǎn)差法可知：(步驟省略),故將橢圓按照AO=(-2,0)平移得：,即,此時(shí)A→A'(O),P→P'(0,2),M→M',N→N',Q→Q',令kAm=k,kAN=k2,kAQ=k?,此時(shí)MN':,(齊次化同除以x2)即,所以所以k2+ks=-4m2,所以4k?k?+k?+k?-1=0,代入①