練素養(yǎng) 構(gòu)造全等三角形的四大技法

蘇科版八年級上第一章全等三角形構(gòu)造全等三角形的四大技法練素養(yǎng)12345溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接【母題：教材P24例7】如圖，AB＝AC，BD＝CD.(1)求證：∠B＝∠C；1(2)若∠A＝2∠B，求證：∠BDC＝4∠C.證明：在△ABD中，∠BDE＝∠BAD＋∠B；在△ACD中，∠CDE＝∠CAD＋∠C，∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C，即∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.∵∠BAC＝2∠B，∠B＝∠C，∴∠BDC＝4∠C.【點(diǎn)方法】公共邊是相等線段的一種形式，若已知兩組邊對應(yīng)相等，而第三邊是公共邊，則連接公共邊，可構(gòu)造全等三角形．2【2023·鹽城初級中學(xué)月考】如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC.(1)若E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且∠EBF＝60°，求證：EF＝AE＋CF；(2)如圖②，若E，F(xiàn)分別在AD，DC的延長線上，其余條件不變，求證：AE＝EF＋CF.【點(diǎn)方法】(1)利用補(bǔ)短法；(2)利用截長法，目的都是構(gòu)造全等三角形．3如圖，已知CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.【點(diǎn)思路】CE是△ABC中AB邊上的中線，將CE延長一倍至點(diǎn)F，連接BF，可構(gòu)造△BFE和△ACE全等，且同時(shí)出現(xiàn)了2CE這條線段，因此再證明△CBD和△CBF全等即可．4如圖，在△ABC中，AD是中線，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC.求證：∠BED＝∠DAC.證明：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G，則∠G＝∠CFD＝∠AFC＝90°.∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.又∵∠BDG＝∠CDF，∴△BDG≌△CDF(AAS)．∴BG＝CF.

又∵BE＝AC.∴Rt△BGE≌Rt△CFA(HL)．∴∠BED＝∠DAC.5如圖，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，M為AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BM于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接DM.求證：∠AMB＝∠CMD.證明：作∠BAC的平分線AG交BM于點(diǎn)G，如圖所示．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠MAG＝∠BAG＝45°.∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵AE⊥BM，∴∠MAE＋∠AMB＝90°.又∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∴∠ABM＝∠MAE.【點(diǎn)方法】基礎(chǔ)三角形法是構(gòu)造全等三角形的一種常用方法，它是以要證的邊(角)關(guān)系中一