2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課下能力提升十九幾何概型新人教A版必修3

PAGE1-課下實力提升(十九)一、題組對點訓(xùn)練對點練一與長度有關(guān)的幾何概型1．在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為()A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選B在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1，即－2≤X≤1的概率為P＝eq\f(3,5).2．“抖空竹”是我國的一種傳統(tǒng)雜技，表演者在兩根直徑為8～12mm的桿上系一根長度為1m的繩子，并在繩子上放一個空竹，則空竹與繩子兩端的距離都大于0.4m的概率為()A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,5)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選B空竹與繩子兩端的距離都大于0.4m，即空竹的運行范圍為1－2×0.4＝0.2(m)，故所求事務(wù)的概率為P＝eq\f(0.2,1)＝eq\f(1,5).3．在區(qū)間[－2,4]上隨機取一個數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，當(dāng)m≤2時，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，沖突，舍去．當(dāng)2<m<4時，由題意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.答案：34．如圖所示，在單位圓O的某始終徑上隨機地取一點Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率．解：弦長不超過1，即|OQ|≥eq\f(\r(3),2)，而Q點在直徑AB上是隨機的，記事務(wù)A＝{弦長超過1}．由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).∴弦長不超過1的概率為1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).對點練二與面積、體積有關(guān)的幾何概型5.如圖是一個中心對稱的幾何圖形，已知大圓半徑為2，以半徑為直徑畫出兩個半圓，在大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為()A.eq\f(1,8) B．eq\f(π,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：選C由題意知，大圓的面積為S＝π·22＝4π；陰影部分的面積為S′＝eq\f(1,2)π·22－π·12＝π，則所求的概率P＝eq\f(S′,S)＝eq\f(π,4π)＝eq\f(1,4).故選C.6.如圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲800個點，其中落入黑色部分的有453個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積約為________．解析：由隨機模擬試驗可得：eq\f(S黑,S正)＝eq\f(453,800)，所以S黑＝eq\f(453,800)×16≈9.答案：97．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取點，則該點落在三棱錐A1-ABC解析：設(shè)正方體的棱長為a，則所求概率P＝eq\f(VA1-ABC,VABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)a2·a,a3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．如圖所示，圖2中實線圍成的部分是長方體(圖1)的平面綻開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)隨意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面綻開圖內(nèi)的概率是eq\f(1,4)，則此長方體的體積是________．解析：設(shè)長方體的高為h，由幾何概型的概率計算公式可知，質(zhì)點落在長方體的平面綻開圖內(nèi)的概率P＝eq\f(2＋4h,2h＋22h＋1)＝eq\f(1,4)，解得h＝3或h＝－eq\f(1,2)(舍去)，故長方體的體積為1×1×3＝3.答案：39.如圖，射箭競賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)．從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運會的競賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm.運動員在70m外射箭．假設(shè)運動員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？解：記“射中黃心”為事務(wù)B，由于中靶點隨機地落在面積為eq\f(1,4)×π×1222cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點落在面積為eq\f(1,4)×π×12.22cm2的黃心時，事務(wù)B發(fā)生，于是事務(wù)B發(fā)生的概率為P(B)＝eq\f(\f(1,4)×π×12.22,\f(1,4)×π×1222)＝0.01.即“射中黃心”的概率是0.01.二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1．下列關(guān)于幾何概型的說法中，錯誤的是()A．幾何概型是古典概型的一種，基本領(lǐng)件都具有等可能性B．幾何概型中事務(wù)發(fā)生的概率與它的位置或形態(tài)無關(guān)C．幾何概型在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個D．幾何概型中每個結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性解析：選A幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，故選A.2．已有四個嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()解析：選A利用幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故選A.3．在長為16cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)解析：選A設(shè)MP＝x，則NP＝16－x，由S＝x(16－x)>60?x2－16x＋60<0，(x－6)(x－10)<0?6<x<10，所以P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).4.如圖，AB和CD是圓O兩條相互垂直的直徑，分別以O(shè)A，OB，OC，OD為直徑作四個圓，在圓O內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()A．1－eq\f(2,π) B．eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)解析：選A設(shè)大圓的半徑為2，則小圓的半徑為1，S白＝4π－16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)))＝8，設(shè)“此點取自陰影部分”為事務(wù)A，則P(A)＝1－eq\f(S白,S大圓)＝1－eq\f(8,4π)＝1－eq\f(2,π).5.如圖，A是圓O上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為()A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選C如圖，當(dāng)AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝60°，由圓的對稱性及幾何概型得P＝eq\f(120,360)＝eq\f(1,3).故選C.6．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M是AB的中點．一只蒼蠅在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛行，求它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率．解：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a.因為VF-AMCD＝eq\f(1,3)S四邊形AMCD×DF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)eq\f(1,2)a＋a·a·a＝eq\f(1,4)a3，VADF-BCE＝eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,2)a3，所以蒼蠅飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,4)a3,\f(1,2)a3)＝eq\f(1,2).7．在長度為10cm的線段AD上任取兩點B，C.在B，C處折此線段而得一折線，求此折線能構(gòu)成三角形的概率．解：設(shè)AB，AC的長度分別為x，y，由于B，C在線段AD上，因而應(yīng)有0≤x，y≤10，由此可見，點對(B，C)與正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的點(x，y)是一一對應(yīng)的，先設(shè)x<y，這時，AB，BC，CD能構(gòu)成三角形的充要條件是AB＋BC>CD，BC