全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·選擇性必修第三冊(cè)(人教A版)·課件 7.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值

第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義與性質(zhì)，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算2.掌握兩點(diǎn)分布的均值數(shù)學(xué)運(yùn)算3.會(huì)用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些實(shí)際問(wèn)題數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算自學(xué)導(dǎo)引(1)定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望Xx1x2…xnPp1p2…pn(2)均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的_____________，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的__________.(3)性質(zhì)：如果X和Y都是隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則E(Y)＝E(aX＋b)＝__________.加權(quán)平均數(shù)平均水平aE(X)＋b1．離散型隨機(jī)變量的均值與樣本平均值有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：區(qū)別：隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化．聯(lián)系：對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來(lái)越接近于總體的均值．2．離散型隨機(jī)變量的均值能否離開(kāi)其分布列而獨(dú)立存在？提示：不能，離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算離不開(kāi)分布列．一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p．兩點(diǎn)分布的期望兩點(diǎn)分布研究的是只有兩個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布規(guī)律，即某一隨機(jī)事件是否發(fā)生的概率分布規(guī)律，如抽取的彩票是否中獎(jiǎng)、買(mǎi)回的一件產(chǎn)品是否為正品、新生嬰兒的性別、投籃是否命中等．1．辨析記憶(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化．

(

)(2)隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平． (

)(3)若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2，則E(2X)＝4． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√2．已知X的分布列為則X的均值為 (

)【答案】D3．(教材例題改編)若某品種水稻雜交試驗(yàn)成功率是失敗率的2倍，一次試驗(yàn)只有成功與失敗兩種結(jié)果，用ξ描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(ξ＝1)＝

(

)【答案】C4．(教材例題改編)已知隨機(jī)變量X滿足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，則E(X)＝________.【答案】0.3【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，所以E(X)＝0.3.課堂互動(dòng)(1)(2024年廣州期末)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝0.2，則E(2X－3)＝ (

)A．2

B．1 C．－1

D．－2題型1離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)的應(yīng)用【答案】(1)C

(2)D若給出的隨機(jī)變量ξ與X的關(guān)系為ξ＝aX＋b，a，b為實(shí)數(shù)．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(ξ)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求出E(ξ)．1．(1)(2024年深圳期末)(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列為若E(X)＝7.5，則以下結(jié)論正確的是 (

)A．a(chǎn)無(wú)法確定

B．b＝0.4C．E(aX)＝52.5

D．E(X＋b)＝7.9X

4a

910P

0.30.1b

0.2(2)(2024春·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末)設(shè)ξ的分布列為又η＝2ξ＋a，則E(η)＝________．【答案】(1)BCD

(2)6【解析】(1)由分布列的性質(zhì)，可得0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，解得b＝0.4，故B正確；又由E(X)＝4×0.3＋0.1a＋9×0.4＋10×0.2＝6.8＋0.1a＝7.5，解得a＝7，故A不正確；由均值的性質(zhì)，可知E(aX)＝aE(X)＝7×7.5＝52.5，故C正確；又由E(X＋b)＝E(X)＋b＝7.5＋0.4＝7.9，故D正確．故選BCD．角度1兩點(diǎn)分布的均值某班有50名學(xué)生，其中男生30名，女生20名，現(xiàn)隨機(jī)選取1名學(xué)生背誦課文，若抽到女生的人數(shù)記為X，則E(X)＝________．題型2求簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量的均值角度2其他分布列的均值【答案】B求離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望的步驟(1)根據(jù)ξ的實(shí)際意義，寫(xiě)出ξ的全部取值；(2)求出ξ的每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出ξ的分布列；(4)利用定義求出數(shù)學(xué)期望．其中(1)(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過(guò)程中應(yīng)注重分析概率的相關(guān)知識(shí)．2．(1)籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率為0.8，則罰球一次得分X的期望是________．(2)(2024年肇慶期末)某綜藝節(jié)目中有一個(gè)環(huán)節(jié)叫“超級(jí)猜猜猜”，規(guī)則如下：在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目，若猜對(duì)一道題目可得1分，猜對(duì)兩道題目可得3分，若三道題目全部猜對(duì)可得6分，若三道題目全部猜錯(cuò)，則扣掉4分．【答案】(1)0.8【解析】因?yàn)镻(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8．(2)解：根據(jù)題意，設(shè)X表示“所得分?jǐn)?shù)”，則X的可能取值為－4，1，3，6．(2024年石家莊期末)某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：題型3離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用周一無(wú)雨無(wú)雨有雨有雨周二無(wú)雨有雨無(wú)雨有雨收益20萬(wàn)元15萬(wàn)元10萬(wàn)元7.5萬(wàn)元若基地額外聘請(qǐng)工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)，無(wú)雨時(shí)收益為20萬(wàn)元，有雨時(shí)收益為10萬(wàn)元，額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬(wàn)元，已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬(wàn)元的概率為0.36．(1)若不額外聘請(qǐng)工人，寫(xiě)出基地收益X(單位：萬(wàn)元)的分布列及基地的預(yù)期收益；(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)下周一無(wú)雨的概率為p，由題意知，p2＝0.36，p＝0.6，基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5，則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列為X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預(yù)期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4，所以基地的預(yù)期收益為14.4萬(wàn)元．(2)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬(wàn)元，則其預(yù)期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(萬(wàn)元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a，綜上，當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬(wàn)元時(shí)，不外聘工人；成本低于1.6萬(wàn)元時(shí)，外聘工人；成本恰為1.6萬(wàn)元時(shí)，是否外聘工人均可以．均值實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解題策略首先應(yīng)把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，并根據(jù)期望的大小作出判斷．3．(2024年西安期末)甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)，將他們的比賽成績(jī)畫(huà)成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示．(1)根據(jù)這次比賽的成績(jī)頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙＝8)，以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率；(2)根據(jù)這次比賽的成績(jī)估計(jì)甲、乙誰(shuí)的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰(shuí)大)．解：(1)由題圖乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35．P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25．同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35，P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65．(2)因?yàn)镋(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，則有E(X甲)>E(X乙)，所以估計(jì)甲的水平更高．素養(yǎng)訓(xùn)練1．(題型1)下列說(shuō)法正確的是

(

)A．隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化B．隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平C．若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2，則E(2X)＝4【答案】C2．(題型2)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝ (

)【答案】C3．(題型2)若隨機(jī)變量X的分布列為則E(X)＝________．4．(教材練習(xí)改編)(題型1)已知E(X)＝50，則E(2X＋3)＝