全優(yōu)課堂·數(shù)學·選擇性必修第三冊(人教A版)·課件 第6章　章末素養(yǎng)提升

第六章計數(shù)原理章末素養(yǎng)提升體系構(gòu)建核心歸納1．兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，尤其是分類加法計數(shù)原理，與分類討論有很多相通之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的方法可以有效地將之分解，達到求解的目的．正確地分類與分步是用好兩個計數(shù)原理的關(guān)鍵，即完成一件事到底是“分步”進行還是“分類”進行，這是選用計數(shù)原理的關(guān)鍵．2．排列與組合排列數(shù)與組合數(shù)計算公式主要應用于求值和證明恒等式，其中求值問題應用連乘的形式，證明恒等式應用階乘的形式．在證明恒等式時，要注意觀察恒等式左右兩邊的形式，基本遵循由繁到簡的原則，有時也會從兩邊向中間靠攏．對于應用題，則首先要分清是否有序，即是排列問題還是組合問題．3．排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)思想方法(一)分類討論思想【方法解讀】解含有約束條件的排列、組合問題，應按元素的性質(zhì)進行分類，分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復)；②總數(shù)要完備(保證不遺漏).車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選派方法？【點評】本題主要考查排列組合的綜合問題，解決本題的關(guān)鍵是對特殊要求元素“兩名老師傅既能當車工又能當鉗工”進行分類討論．1．(2023年岳陽模擬)中國書法歷史悠久，源遠流長，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開漢字，漢字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨特的藝術(shù)，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為 (

)A．60

B．90

C．120

D．150【答案】D

(二)正難則反思想【方法解讀】在解決一些數(shù)學問題時，有時候會碰到正面解決非常復雜的情況，對于正面處理較復雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考．設(shè)集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1＜a2＜a3，a3－a2≤6，那么滿足條件的集合A的個數(shù)為

(

)A．78

B．76C．83

D．84【答案】C【點評】本題主要考查集合中元素的個數(shù)問題，考查組合的有關(guān)知識，解題時利用正難則反思想，回避較為復雜的分類討論，可使問題簡單化．2．由甲、乙、丙、丁4名學生參加數(shù)學、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有________種．【答案】30

(三)特殊化思想【方法解讀】與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過特殊化思想求解，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.(3)令x＝－1，可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，把這兩個等式相乘可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.【點評】本題主要考查二項式展開式中系數(shù)的和問題，解決本題的關(guān)鍵是準確利用特殊法思想，通過賦值求解相應的系數(shù)的和．3．若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．【答案】5【解析】令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.鏈接高考【答案】D排列與組合的綜合應用2．(2023年乙卷)甲、乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有 (

)A．30種

B．60種C．120種

D．240種【答案】C3．(2024年上海)設(shè)集合A中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，則集合中元素個數(shù)的最大值為______.【答案】3294．(2024年新高考Ⅱ卷)在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有_________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是_________．11213140122233421322334315243444【答案】24

112【解析】選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有4×3×2×1＝24(種)選法，每種選法可標記為(a，b，c，d)，a，b，c，d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為(11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(11，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，40)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22