四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)高三上學(xué)期第二次診斷性模擬數(shù)學(xué)試題

瀘縣五中高2022級第二次診斷性模擬考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.共150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1，答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題的答案標(biāo)號涂黑.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】由題意得.故選：C.2.已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可求得的值，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，所以.故選：C.3.已知正三角形的邊長為2，那么的直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)斜二測畫法求解.【詳解】如圖(1)為的實(shí)際圖形，圖（2）為的直觀圖.由斜二測畫法得：，作，則，所以.故選：D4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．6.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻．1min后物體的溫度是，那么該物體的溫度降至還需要冷卻的時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.2.9min B.3.4minC.3.9min D.4.4min【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型，列式并借助對數(shù)運(yùn)算求解即得.【詳解】依題意，由的物體，放在的空氣中冷卻，后物體的溫度是，得，解得，該物體的溫度降至需要冷卻的時(shí)間為，則，于是，兩邊取對數(shù)得，所以該物體的溫度降至還需要冷卻的時(shí)間約為.故選：D7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為（）A.6 B. C. D.12【答案】B【解析】【分析】在幾何體中，作FN//AE，F(xiàn)M//ED，將多面體被分割為三棱柱與四棱錐兩部分求解.【詳解】如圖，作FN//AE，F(xiàn)M//ED，則多面體被分割為棱柱與棱錐部分，因?yàn)镋F與平面ABCD的距離為2，所以四棱錐FNBCM的高為2，所以V四棱錐FNBCM=SNBCMV棱柱ADENMF=S直截面所以該芻甍的體積為V=V四棱錐FNBCM+V棱柱ADENMF=.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的體積，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8.定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】，∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，

∴區(qū)間上存在，

滿足∴方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，

令，則，解得∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中a值為0.07B.這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60C.據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為62D.據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為62.5【答案】AC【解析】【分析】運(yùn)用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及頻數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，解得：，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，人，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以?8百分位數(shù)位于之間，設(shè)第78百分位數(shù)為x，則，解得：，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，即：估?jì)該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列說法正確的是（）A.若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)锽.函數(shù)值域?yàn)镃.函數(shù)的值域?yàn)镈.函數(shù)在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求解判斷A；利用分離常數(shù)化簡函數(shù)解析式，結(jié)合反比型函數(shù)的值域判斷B；利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得其值域，判斷C；利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，解得，即的定義域?yàn)?，故A正確；對于B，，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?，故B不正確；對于C，令，則，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；對于D，，其圖象的對稱軸為直線，且，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，故D不正確．故選：AC．11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對任意x，，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)賦值法，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對稱性，奇、偶函數(shù)的定義、函數(shù)周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】令，得，因?yàn)椋?，所以A錯(cuò)誤；令，得①，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以是偶函數(shù)，所以②，由①②，得，即，所以，所以，是周期為3的函數(shù)，所以，，所以B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，在①中令得，所以，，所以D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】對于可導(dǎo)函數(shù)有：奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)若定義在R上的函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且周期為T，則其導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)，且周期也為T第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分12.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】欲求切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，只須求出切線在坐標(biāo)軸上的截距即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x＝0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后求出切線的方程，從而問題解決．【詳解】解：依題意得y′＝ex+1，因此曲線在點(diǎn)處的切線的斜率等于，相應(yīng)的切線方程是y﹣3＝2（x﹣0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3即y＝0時(shí)，x＝，∴切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為：S3×＝．故答案為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線的方程、三角形的面積、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．13.已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為_______________.【答案】【解析】【分析】由準(zhǔn)線上的點(diǎn)得準(zhǔn)線方程和拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線左頂點(diǎn)坐標(biāo)可求，由雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)得漸近線方程，可求出，從而可求雙曲線的焦距.【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，故，得則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，得雙曲線的左頂點(diǎn)為，即，又點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為，則有，進(jìn)而，得焦距為.故答案為：14.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】先利用平移變換得到，然后根據(jù)，滿足，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到或，即或求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)，因?yàn)椋?，得或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，綜上：的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的變換以及正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.四、解答題：本大題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖為函數(shù)（，，，）的部分圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象依次求得的值.（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得，根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性求得的取值范圍.小問1詳解】由圖可知，，所以，由，得，由于，所以，所以【小問2詳解】的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，遞增，當(dāng)，即時(shí)，遞減，，，由于方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以的取值范圍是.16.如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取BC中點(diǎn)E，連AE，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，探討與平面的關(guān)系即可推理作答.（2）利用（1）中相關(guān)信息，求出平面的法向量，借助空間向量即可計(jì)算作答.【小問1詳解】取BC中點(diǎn)E，連AE，如圖，因，則，而，有，又平面，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AE，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，顯然，則，而，因此有，即平面，又平面，所以平面.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，由（1）知，令，得，而平面的一個(gè)法向量是，則，顯然二面角是銳角，所以二面角的余弦值.17.已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．【整體點(diǎn)評】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.18.已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).（1）若離心率時(shí)，求的值．（2）若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）連接，直線交雙曲線于另一點(diǎn)，若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率公式計(jì)算即可；（2）分三角形三邊分別為底討論即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算向量數(shù)量積的等式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意得，則，．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，因?yàn)闉榈妊切?，則①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；②當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，則,聯(lián)立解得或或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；③當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，則有，解得，即．綜上所述：.【小問3詳解】由題知，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則，則設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長線交雙曲線于點(diǎn)，根據(jù)雙曲線對稱性知，聯(lián)立有，顯然二次項(xiàng)系數(shù)，其中，①，②，，則，因?yàn)樵谥本€上，則，，即，即，將①②代入有，即化簡得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因?yàn)椋瑒t，綜上知，，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，為了方便運(yùn)算可設(shè)，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再寫出相關(guān)向量，代入計(jì)算，要注意排除聯(lián)立后的方程得二次項(xiàng)系數(shù)不為0.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；（?。┣?；（ⅱ）求證：．【答案】（1）證明見解析（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析．【解析】【