2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義 專題03 等式與不等式的性質(zhì)

專題03等式與不等式的性質(zhì)【知識點梳理】1、比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2、不等式的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【方法技巧與總結(jié)】1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論.作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個正數(shù)的大小）的步驟是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.【典型例題】例1．（2024·陜西西安·西安中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則下列選項中是“”的充分不必要條件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，當(dāng)，滿足，但不成立，當(dāng)時，滿足，但不成立，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，但，故B正確；對于C，時，，但不成立，時，，但不成立，故C錯誤；對于D，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故D錯誤.故選：B例2．（2024·北京房山·高三統(tǒng)考期末）已知，為非零實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對A：若，則，故錯誤；對B：若，則，故錯誤；對C：若，則，，左右同除，有，故錯誤；對D：由且，為非零實數(shù)，則，即，故正確.故選：D.例3．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考階段練習(xí)）若則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.因為，則，則，故A錯誤；B.因為，所以，故B錯誤；C.在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故C錯誤；D.因為，所以和都大于0，則，當(dāng)時，即時等號成立，所以“=”不能取到，所以，故D正確.故選：D例4．（2024·江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A選項，當(dāng)時，，A錯誤；B選項，，因為，所以，則，故，，B錯誤；C選項，兩邊同乘以得，兩邊同乘以得，故，C正確；D選項，因為，所以，兩邊同除以得，D錯誤.故選：C例5．（2024·河南·方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）“，是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由于，的正負性不確定，由“，”不能推出“”，故充分性不成立；同時當(dāng)“”時也不能推出“，”，故必要性也不成立.故選：D.例6．（2024·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則以下錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，對于A，，,,綜上可得，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤；故選：D.例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫錯了常數(shù)b，得到的根為或x=，乙寫錯了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】令，則方程可化為，甲寫錯了常數(shù)b，所以和是方程的兩根，所以，乙寫錯了常數(shù)c，所以1和2是方程的兩根，所以，則可得方程，解得，所以原方程的根是或故選：D例8．（2024·云南昆明·校聯(lián)考一模）人體的正常溫度大約是36℃，當(dāng)人體溫度超過正常溫度的時認定為高燒，則高燒溫度℃應(yīng)滿足的不等關(guān)系式是.【答案】【解析】依題意，.故答案為：例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，所以，則，又，所以，，由不等式的性質(zhì)得：，則的取值范圍為.故選：D.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A中，由，可得，所以A錯誤；對于B中，例如：當(dāng)，可得，所以B錯誤；對于C中，例如：當(dāng)時，，所以C錯誤；對于D中，由，可得，又由，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：D.2．（2024·北京西城·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A選項，若，滿足，但，所以A選項錯誤.B選項，若，滿足，但，所以B選項錯誤.C選項，若，滿足，但，所以C選項錯誤.D選項，對于函數(shù)，圖象如下圖所示，由圖可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以D選項正確.故選：D3．（2024·四川成都·高三石室中學(xué)校考期末）若，，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，因為，，則，，所以，，即，所以，所以A，B錯誤；因為，所以，所以C錯誤；因，所以D正確.故選：D4．（2024·新疆喀什·高三?？计谥校┮阎?，，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，故，即.故選：D5．（2024·福建福州·高三福建省福州延安中學(xué)校考開學(xué)考試）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過，設(shè)攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為、、（單位：），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知．故選：D．6．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，若，則，則，所以．故選：B．7．（2024·山東煙臺·高三統(tǒng)考期末）已知且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項A：因為，所以，由，故，選項A錯誤；對于選項B：因為，所以，由，故，選項B錯誤；對于選項C：由指數(shù)函數(shù)可知，在定義域上單調(diào)性不確定，故無法確定的大小，比如當(dāng)時，則，選項C錯誤；對于選項D：由冪函數(shù)可知，在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，選項D正確.故選：D.8．（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，，所以，.故選：A9．（2024·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知函數(shù)，對都有成立，即對恒成立，即，對恒成立，設(shè)，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，即實數(shù)的取值范圍為，故選：A10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，由，得.故選：A.二、多選題11．（2024·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學(xué)校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，因為，所以，即，則，故B正確；對于C，取，則，故C錯誤；對于D，，則，即，則，故D正確.故選：BD.12．（2024·江蘇揚州·高三?？茧A段練習(xí)）下列不等關(guān)系成立的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】BC【解析】A選項：，當(dāng)時，，A選項錯誤；B選項：，即，又，即，所以，B選項正確；C選項：，即，又，即，所以，所以，C選項正確；D選項：，即，又，即，所以，無法判斷與是否異號，D選項錯誤；故選：BC.13．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知，，，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】當(dāng)為負數(shù)時A可能不成立，例如但是錯誤的.因為根據(jù)不等式性質(zhì)可得正確.因為，所以所以即所以故C錯誤.因為，所以，所以正確.故選：BD14．（2024·河北邢臺·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因為，所以，故A錯誤；又，所以，故B正確；因為，所以，故C對；因為，又，所以，故D對.故選：BCD15．（2024·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】對于中，由不等式，可得，所以，不等式的兩邊同乘，可得，所以A正確；對于B中，因為，所以，即，所以，所以B正確；對于中，由，則，所以，所以C錯誤；對于D中，因為，所以，則，即，所以，所以D正確.故選：ABD.16．（2024·河南信陽·高三河南宋基信陽實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依題意，，所以，所以，所以A選項錯誤，B選項正確.所以，所以，所以C選項正確，D選項錯誤.故選：BC17．（2024·湖南衡陽·高三衡陽市田家炳實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某工藝廠用A、B兩種型號不銹鋼薄板制作矩形、菱形、圓3種圖形模板，每個圖形模板需要A、B不銹鋼薄板及該廠2種薄板張數(shù)見下表矩形菱形圓總數(shù)A531055B12613125該廠簽購制作矩形、菱形、圓3種模板分別為x，y，z（）塊.上述問題中不等關(guān)系表示正確為（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因為每個矩形模板需要5張A薄板，每個菱形模板需要3張A薄板，每個圓模板需要10張A薄板，且共有55張A薄板，所以，因為每個矩形模板需要12張B薄板，每個菱形模板需要6張B薄板，每個圓模板需要13張B薄板，且共有125張B薄板，所以.故選：BC.18．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時，，A錯誤；對于B，由，得，B正確；對于C，由，得，則，C正確；對于D，由，，得，，D正確.故選：BCD19．（2024·全國·模擬預(yù)測）正數(shù)、滿足，則下列不等式成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對于A，因為，，所以，所以，故A正確；對于B，因為，，所以，所以，故B正確；對于C，當(dāng)、時滿足，但是，故C不正確；對于D，因為，，，所以，故D正確．故選：ABD．20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】選項A：由，得，則，所以，A錯誤．選項B：因為，所以，B正確．選項C：由，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確．選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，D正確．故選：BCD21．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知，則是“”的充分不必要條件有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，取，此時有，故A不符合題意；對于B，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，故B符合題意；對于C，，故C不符合題意；對于D，，故D符合題意.故選：BD.三、填空題22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）實數(shù)滿足，，則的取值范圍是【答案】．【解析】設(shè)，則，解得，所以，因為，，所以，，可得，即的取值范圍為．故答案為：．23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以，又因為，所以，所以.即的取值范圍為.故答案為：.24．（2024·河南洛陽·高三洛陽市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某雜志以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就相應(yīng)減少2000本.設(shè)提價后該雜志的單價為x元，則用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元為.【答案】【解析】若提價后該雜志的單價為x元，則銷售量為萬本，則提價后銷售的總收入為萬元，所以不等關(guān)系“銷售的總收入仍不低于20萬元”可以用不等式表示為：.故答案為：25．（2024·上海嘉定·高三校考期中）若關(guān)于，的方程組與的解集相等，則.【答案】/3.5【解析】∵方程組與的解集相同，∴方程組的解也是它們的解，由得，∴即，∴.故答案為：26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）糖水不等式：成立的實數(shù)是有條件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是