2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)2.2單調(diào)性與最大(小)值(一)【課件】

第二章函數(shù)第2節(jié)單調(diào)性與最大(小)值(一)1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解其實(shí)際意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有__________，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有__________，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上__________或__________，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，________叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增單調(diào)遞減區(qū)間D2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有___________；(2)?x0∈I，使得__________(1)?x∈I，都有_________；(2)?x0∈I，使得_________結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1.有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)；增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù).常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)×××√解析(1)錯(cuò)誤，應(yīng)對(duì)任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.(2)錯(cuò)誤，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上為增函數(shù)，但f(x)＝x的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，＋∞).(3)錯(cuò)誤，此單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接，故單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞).[2，＋∞)24.函數(shù)y＝f(x)是定義在[－2，2]上的減函數(shù)，且f(a＋1)＜f(2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.[－1，1)考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷AC解析∵y＝ex與y＝－e－x為R上的增函數(shù)，∴y＝ex－e－x為R上的增函數(shù)，故A正確；由y＝|x2－2x|的圖象(圖略)知，B不正確；對(duì)于C，y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故C正確；(－∞，0)，(1，＋∞)該函數(shù)圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)，(1，＋∞).感悟提升1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法. (2)函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.

易錯(cuò)警示函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開(kāi)寫(xiě)，用“，”連接，不要用“∪”.B(－∞，－6]解得x≤－6或x≥4，又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上單調(diào)遞減，在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，考點(diǎn)二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2

設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，?m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1.求證： (1)f(0)＝1；

證明根據(jù)題意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n).∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.(2)x∈R時(shí)，恒有f(x)>0；證明由題意知x>0時(shí)，0<f(x)<1；當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝1>0；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴0<f(－x)<1.∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，故x∈R時(shí)，恒有f(x)>0.(3)f(x)在R上是減函數(shù).證明任取x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1].由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1，故f(x2)－f(x1)<0，故f(x)在R上是減函數(shù).感悟提升由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故當(dāng)a＞0時(shí)，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增.當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增.考點(diǎn)三由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍B感悟提升利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)，根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值.訓(xùn)練3(1)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(

)A.(－∞，－2] B.[－2，0)C.(0，2] D.[2，＋∞)D解析由題意得y＝x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，[1，2)課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANAC對(duì)于C，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝|x＋2|＝x＋2是增函數(shù)，C符合題意；對(duì)于D，f(x)＝3－x在(1，＋∞)上是減函數(shù)，D不符合題意.2.(多選)定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法中正確的是(

)A.f(x)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增B.f(x)在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增C.f(x)在區(qū)間[－3，1]∪[4，5]上單調(diào)遞減D.f(x)在區(qū)間[－5，5]上不單調(diào)ABD解析由圖可知，f(x)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增，A正確；f(x)在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，B正確；f(x)在區(qū)間[－3，1]，[4，5]上單調(diào)遞減，單調(diào)區(qū)間不可以用“∪”連接，C錯(cuò)誤；f(x)在區(qū)間[－5，5]上不單調(diào)，D正確.A.定義域、值域分別是[－1，3]和[0，＋∞)B.單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1]C.定義域、值域分別是[－1，3]和[0，2]D.單調(diào)遞增區(qū)間是[－1，1]CD解得－1≤x≤3，即定義域?yàn)閇－1，3]，考慮函數(shù)y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在[－1，3]上有最大值4，最小值0.在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，3]上單調(diào)遞減.C解析由函數(shù)f(x)＝ax＋1在R上單調(diào)遞減，可知a<0.∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x＝2，∴g(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增.故選C.DA解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－4x＋2圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，CD解析根據(jù)題意，①③④解析由題意，知f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，①③④在(0，＋∞)上均為增函數(shù).9.已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|在區(qū)間(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.(－∞，1]解析作出f(x)的圖象如圖所示，由圖可知－a≥－1，即a≤1.10.已知命題p：“若f(x)<f(4)對(duì)任意的x∈(0，4)都成立，則f(x)在(0，4)上單調(diào)遞增”.能說(shuō)明命題p為假命題的一個(gè)函數(shù)是____________________

解析由題意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)，則函數(shù)f(x)的圖象在(0，4)上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)值最小，且f(x)<f(4)，滿足題意，所以函數(shù)f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以說(shuō)明命題p為假命題.f(x)=(x－1)2，x∈(0，4)11.已知函數(shù)f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)寫(xiě)成分段函數(shù)，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象；(2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.函數(shù)圖象如圖所示.(2)由(1)中函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2，4).(1)求f(0)的值；(2)探究f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2)f(x)在R上單調(diào)遞增.證明如下：∵f(x)的定義域?yàn)镽，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，∵y＝2x在R上單調(diào)遞增且x1<x2，∴0<2x1<2

x2，∴2

x1－2

x2<0，2

x1＋1>0，2

x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上單調(diào)遞增.BD故g(x)＋f(x)不一定為增函數(shù)，A錯(cuò)誤；而f(x)g(x)＝1不是增函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)間(x)是增函數(shù)，所以－g(x)為減函數(shù).又f(x)是減函數(shù)，所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))為減函數(shù)，B正確；對(duì)于D，因?yàn)間(x)是增函數(shù)，且g(x)>0，14.(2024·湖南雅禮中學(xué)質(zhì)測(cè))已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意正數(shù)a，b都有f(ab)＝f(a)·f(b)≠0，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)是增函數(shù)，且f(x)<0

B.f(x)是增函數(shù)，且