線性代數第5版課件：二次型及其矩陣表示

線性代數引例表示什么曲面？方程雙曲線標準方程：表示什么曲線？方程橢球面

一般地，二元二次方程確定一二次曲線,三元二次方程確定一二次曲面。為研究其性質,常通過可逆線性變換消去交叉項，化為標準方程：或n元二次齊次多項式——二次型僅含平方項代數和的二次型——二次型的標準形研究工具——矩陣

管理科學中也常需用線性替換將一個n元二次齊次多項式化為僅含平方項的形式以便討論其性質。二次型及其矩陣線性替換矩陣合同二次型一、二次型及其矩陣定義1

n元二次齊次多項式稱為x1,x2,…,xn的一個(n元)二次型.為了計算和討論的方便，將xij的系數寫成2aij，令aij=aji

，則有：——二次型的矩陣形式＝XTAX記f(X)＝XTAX，稱A為二次型f(X)的矩陣，r(A)稱為二次型的秩.注1:二次型矩陣均為對稱矩陣(AT=A)；注2:二次型對稱矩陣.例1.

將二次型

f(x1,x2,x3)＝2x1x2＋x22－4x2x3＋3x32

寫成矩陣形式.解：

f(x1

x2

x3)＝(x1

x2

x3)

解：例3.寫出二次型

f

＝(x1,x2,x3)

的矩陣.例2.

求對稱矩陣所對應的二次型解:f(x1,x2,x3)＝x12＋5x22＋6x32－4x1x2－6x1x3－10x2x2定義2

形如的二次型稱為標準形,其秩等于d1,d2,…,dn中非零元個數。

如何化二次型為標準形?為此,先介紹線性替換、矩陣合同等概念——＝YTDYf(Y)＝YTDY二、線性替換定義

設兩組變量

為由變量x1,x2,…,xn到y(tǒng)1,y2,…,yn的一個線性替換其矩陣形式:

X＝CY.若線性替換的矩陣C可逆，則稱X＝CY為可逆線性替換或非奇異(非退化)線性替換;若C為正交矩陣,則稱X＝CY為正交替換。x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn，稱關系Q為正交矩陣.0它是非退化的.∵系數行列式

如：解析幾何中的坐標軸按逆時針方向旋轉解角度

即變換

X＝C1U，U＝C2YC1、C2為正交陣(1)(2)C1C2為正交陣

X＝(C1C2)Y1.非退化線性（正交）替換的合成仍然是非退化線性（正交）替換2.在歐氏空間中，正交替換保持向量長度不變。f(X)＝XTAX經可逆線性替換

X＝CY后：

f(X)＝(CY)TA(CY)＝YT(CTAC)Y＝YTBY稱A與B合同三、矩陣合同定義設An×n

,

Bn×n

，若存在可逆陣C，使

CTAC＝B，則稱A與B合同，記A

B.原二次型矩陣與新二次型矩陣合同.?B對稱？定理經可逆線性替換,性質1

合同關系是等價關系（與相似關系類似)(1)反身性；(因為ETAE＝A)

(由CTAC＝B得:(由C1TAC1

＝B,C2TBC2

＝C得:A＝(C-1)

TB

C-1)C2T(C1TAC1)C2

＝(C1C2)TA(C1C2))

(2)對稱性；(3)傳遞性.性質2若兩個可逆矩陣合同，則它們的行列式符號相同。

性質3若兩個矩陣合同，則它們的秩相等。定理經可逆線性替換，前、后二次型矩陣合同.可逆線性替換

X＝CY

f(X)＝(CY)TA(CY)＝YT(CTAC)Y＝YTBY新二次型的矩陣為B原二次型f(X)＝XTAX

注:1)∵CT,C可逆故，可逆線性替換不改變二次型的秩。B＝CTAC2)正交替換X=QY前后的二次型矩陣既合同,又相似.∴r(B)＝r(CTAC)＝r(AC)＝r(A)CTAC＝B合同相似QTAQ=B=Q–1AQ＝P–1AP作業(yè):

P173

習題5.1

3,4,5,6

線性代數是一種語言，必須用學習外語的方法每天學習這種語言．

David.C.Lay

二次型的系統(tǒng)研究是從18世紀開始的，起源于對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。

柯西在其著作中給出結論：當方程是標準型時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。

在化簡成標