線性代數(shù)第5版課件：方程組解的結(jié)構(gòu)

線性代數(shù)復(fù)習線性方程組有解的判定定理齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)復(fù)習非齊次齊次(1)(2)方程組(1)的系數(shù)矩陣與增廣矩陣記為：—

線性方程組的向量形式

2.

任一n

維向量都是Rn的基本單位向量組的線性組合:1.是的線性組合(可由線性表示)有解

(組合系數(shù)就是方程組的一個解)3.可表示為的線性組合向量的線性相關(guān)性有非零解

(無)(只有零解)r<n

(r=n)5.線性相關(guān)線性相關(guān)不全為0，4.線性無關(guān)僅當k1=k2=…=ks=0時成立.重要結(jié)論：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系.可否由線性表示——豎排行變換，放末列.

是否線性相關(guān)——豎排行變換.

(線性無關(guān))(任一向量都不能由其余向量線性表示)定理3.部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān).定理4.

短無關(guān)，則長無關(guān)；長相關(guān)，則短相關(guān).定理6.

線性無關(guān)，線性相關(guān)

可由唯一線性表示.

定理1.

n個n維向量線性相關(guān)(線性無關(guān))(不為0)定理2.向量個數(shù)>向量維數(shù)，其排成的行列式值為0向量組線性相關(guān).其中至少有一個向量是其余向量的線性組合.定理5.向量組線性相關(guān)

定理8.向量組與其極大無關(guān)組等價.

推論向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價.

定理7.

向量組(I)可由(II)

，(II)可由(Ⅲ)線性表示向量組(I)可由(Ⅲ)線性表示定理9

向量組可由線性表示,若t>s，則向量組線性相關(guān).推論1(逆否命題)線性表示

線性無關(guān)，且可由定理10推論：等價的向量組秩相等.

可由線性表示

推論2

等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)相等.推論3

向量組的所有極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等.

定理11

矩陣A的行秩＝矩陣A的列秩＝矩陣A的秩.一、線性方程組有解的判定定理定理1.線性方程組(1)有解

(cii≠0，i=1,2,…,r必要時可重新排列未知量的順序)證明:行變換由3.1有推論1

線性方程組(1)有唯一解

推論2

線性方程組(1)有無窮多解

推論3

齊次線性方程組(2)只有零解

推論4齊次線性方程組(2)有非零解

例1討論為何值時，方程組有解二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1.齊次線性方程組解的性質(zhì)

1)兩解之和仍是解

2)常數(shù)乘以解仍是解

一般地，解的線性組合仍是解

綜上，若齊次線性方程組有非零解,則必有無窮多解,若能求出這個解向量組的一個極大無關(guān)組,則任一解向量均可用它們線性表示,因而可用它們的線性組合來表示原齊次線性方程組的全部解.2.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

定義：齊次線性方程組解向量組的一個極大無關(guān)組稱作齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。

定理2

對齊次線性方程組(2)，若r(A)＝r<n，則基礎(chǔ)解系存在，且均含n-r個解。

齊次線性方程組(2)當不存在基礎(chǔ)解系r(A)＝n時只有零解,當r(A)＝r<n時，有：證：(注意：該證明給出了求基礎(chǔ)解系的方法!)(必要時適當交換未知量的順序)(xr+1,xr+2,…,xn為自由未知量)

行

變換同解方程組下證其為基礎(chǔ)解系令，則有:（Ⅱ）設(shè)為任一解,則有：（Ⅰ）的后n-r個分量組成n-r維單位向量組線性無關(guān).由“短無關(guān),則長無關(guān)”得：線性無關(guān).即是的線性組合.證畢.推論:若是齊次線性方程組(2)的一個基礎(chǔ)解系,則(2)的全部解為：(k1,k2,…,kn－r為任意常數(shù))解空間的維數(shù)為

即為解空間的一組基n－r基礎(chǔ)解系例2

用基礎(chǔ)解系表示方程組的全部解

r(A)=2<5,必有無窮多解!解:!令分別為得方程組的基礎(chǔ)解系:

∴原方程組的全部解為:(k1,k2,k3為任意常數(shù))x1＝－2x3－x4＋2x5x2＝x3－3x4＋x5三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組(2)稱為原方程組(1)的導出組

1.非齊次線性方程組解的性質(zhì)

1)(1)的兩解之差是其導出組的解

2)(1)的一解與其導出組的一解之和仍是(1)的解

注：非齊次線性方程組(1)兩解之和不是解，但若

是(1)的解，則也是(1)的解.

一般結(jié)論是什么？思考2.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

定理3

若是非齊次線性方程組(1)的一個解,是其導出組(2)的全部解,則方程組(1)的全部解(通解,一般解)為(k1,k2,…,kn-r為任意常數(shù))證：①由性質(zhì)2)，是(1)的解②(1)的任一解,(均具通解形式?)由性質(zhì)1)，是導出組的解。注：在方程組(1)有解的條件下，(1)有唯一解導出組(2)只有零解?例3用基礎(chǔ)解系表示方程組的通解

(是否r(A)<5，必有無窮多解？

前提:有解!)解:(x1,x3作非自由未知量，但出現(xiàn)分數(shù).故選x1,x4作非自由未知量)?!令得方程組的一個特解

x1＝－5－3x2＋7x3＋3x5x4＝－4

＋5x3＋2x5原方程組的同解方程組導出組的同解方程組為

分別為得導出組的基礎(chǔ)解系：

∴原方程組的通解為：

(k1,k2,k3為任意常數(shù))

令x1＝－3x2＋7x3＋3x5x4＝

5x3＋2x5例4線性無關(guān),將用線性表示;若線性相關(guān),能否表示?

重要結(jié)論：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系.解:此時，線性無關(guān)可由唯一線性表示為：問為何值時:(1)可由線性表示,且表示法唯一.(2)可由線性表示,且表示法不唯一.(3)

不能由線性表示.表示法不唯一；不能表示.題目可換個形式：已知(如上)題目也可改為：解方程組(類似于本章首次課補充例題)例5(03考研)已知齊次線性方程組其中,試討論a1,a2,…,an和b滿足何種關(guān)系時,(1)方程組僅有零解？(2)方程組有非零解,在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系。(1)b≠0且b≠－時，方程組僅有零解.(2)b＝0時，原方程組等價于…，設(shè)a1≠0,基礎(chǔ)解系：a1x1+a2x2+…+anxn=0基礎(chǔ)解系當時，實際上這個結(jié)果也可以不用算就可以獲得例6(04考研)設(shè)線性方程組已知(1,－1,1,－1)T是該方程組的一個解，試求(1)方程組的全部解，并用對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解；(2)該方程組滿足