533最大值與最小值課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第5章<<<最大值與最小值1、函數(shù)極值的定義

一般地，設(shè)函數(shù)y＝

f(x)在x＝x0

及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0

的函數(shù)值都大，我們就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極

值，記作y極大值＝f(x0)，x0為極大值點(diǎn)；

如果f(x0)的值比x0

的函數(shù)值都小，我們就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極

值，記作y極小值＝f(x0)，x0為極小值點(diǎn)。附近點(diǎn)大附近點(diǎn)小復(fù)習(xí)鞏固2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y＝

f(x)極值的方法步驟(1)確定函數(shù)y＝

f(x)的定義域；(2)求函數(shù)y＝

f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(方程的根為可能極值點(diǎn))(4)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的根(極值點(diǎn))，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，列成表格，求出極大值和極小值。復(fù)習(xí)鞏固提示最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得.如圖是y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)圖象.顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值.你能找到函數(shù)的最大值和最小值嗎？問(wèn)題1數(shù)學(xué)建構(gòu)1、函數(shù)最值(最大值與最小值)的定義

如果在定義域I內(nèi)存在x0使得對(duì)

的x∈I,總有

，則稱

f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的最大值；

如果在定義域I內(nèi)存在x0使得對(duì)

的x∈I，總有

，則稱

f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的最小值。最大值和最小值統(tǒng)稱為

。

最值是相對(duì)函數(shù)

而言的，如果存在最值，那么最值

。任意的f(x)≥f(x0)任意的f(x)≤f(x0)最值定義域整體唯一(1)極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間(即整體)而言.(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)，但最大(小)值至多有一個(gè).(3)極大值和極小值沒(méi)有明顯的大小關(guān)系，但最大值一定不小于最小值最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系

反思感悟連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上必有最值嗎？問(wèn)題2連續(xù)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a，b）上必有最值嗎？問(wèn)題3在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值。最值可能是極值，也可能是端點(diǎn)值提示不一定有連續(xù)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a，b）上必有最值嗎？問(wèn)題3容易發(fā)現(xiàn)，開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值和最小值，若有最值，則一定是在極值點(diǎn)處取到.連續(xù)函數(shù)與最值的關(guān)系(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；若有最值，則最值在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.(2)開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最值；若有最值，則最值在極值點(diǎn)處取得.函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上必有最值嗎？問(wèn)題4

如圖是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象，寫(xiě)出函數(shù)的極大值、極小值、最大值和最小值.例

1

設(shè)f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是A.f(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B.f(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C.f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有極值點(diǎn)D.f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有最值點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練

1√

函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)A.有最值，但無(wú)極值B.有最值，也有極值C.既無(wú)最值，也無(wú)極值D.無(wú)最值，但有極值f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，無(wú)最大值和最小值，也無(wú)極值.√1234變式拓展

1二求函數(shù)的最值求f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a，b)上的_____；(2)將(1)中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的_______與_______.極值最大值最小值

求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；例

2

求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；跟蹤訓(xùn)練

2因?yàn)閒(0)＝1，f(2π)＝π＋1，所以當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)取得最大值π＋1，令f′(x)＝0，解得x＝2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗↘所以f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，活動(dòng)探究類型二已知最值求參數(shù)的值例3、已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求函數(shù)

f(x)在該區(qū)間上的最小值。變式拓展已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，若f(x)在[－1，2]上的最大值為3，最小值為－29，求實(shí)數(shù)a和b的值。用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題四

如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒.點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn).設(shè)AE＝FB＝x(cm).某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.例

4令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝20.∵當(dāng)0<x<20時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)20<x<30時(shí)，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20時(shí)取極大值也是唯一的極值，故為最大值.

反思感悟(1)設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域.(2)在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是最值點(diǎn).解決最優(yōu)問(wèn)題應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；跟蹤訓(xùn)練

4由題設(shè)可知，隔熱層厚度為xcm，又建造費(fèi)用為C1(