立體幾何基礎(chǔ)訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

長(zhǎng)郡中學(xué)立體幾何基礎(chǔ)訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為()．第1題圖Aeq\f(3,5) B.eq\f(5,6)C.eq\f(3\r(3),10) D.eq\f(3\r(6),10)2．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若M為棱CC1的中點(diǎn)，則直線B1M與平面A1D1M所成角的正弦值是()．第2題圖A.eq\f(\r(21),5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點(diǎn)，PA＝AD＝2.若AB＝1，則二面角B-AC-M的余弦值為()．第3題圖A.eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),6) D.eq\f(1,6)4．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝2AB＝2BC＝2，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，CF＝2AE.若二面角B-EF-D是直二面角，則AE的長(zhǎng)度為()．第4題圖A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(5),10)二、多項(xiàng)選擇題5．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，AC＝4，A到平面PBC的距離為eq\f(4\r(5),5)，則()．第5題圖A．PA＝4B．三棱錐P-ABC的外接球的表面積為32πC．直線AB與直線PC所成角的余弦值為eq\f(\r(2),16)D．AB與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(2\r(5),5)6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段CD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有()．第6題圖A．BA1與平面ABCD所成的角是定值B．異面直線AC1與B1F所成的角是定值C．三棱錐B-A1EF的體積是定值D．直線A1F與平面B1CD1所成的角是定值三、填空題7．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.8．由兩塊直角三角板拼成如圖所示的空間立體圖形，其中∠ADC＝∠ACB＝90°，DC＝3，AC＝BC＝5，DB＝eq\r(34)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為.第8題圖9．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)，則二面角E-BC1-F的余弦值為.第9題圖四、解答題10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝eq\r(2)，CD＝2，PD⊥BC，AC⊥PB.第10題圖(1)求證：PD⊥平面ABCD；(2)若二面角D-PB-C的余弦值為eq\f(\r(17),17)，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，BC＝CD＝AD＝2，AB＝4，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PMN⊥平面PAD；(2)若二面角C-AB-P的大小為60°，求四棱錐P-ABCD的體積．第11題圖12．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D為BB1的中點(diǎn)．(1)若E為AB1上的一點(diǎn)，且eq\f(EB1,AB1)＝eq\f(1,4)，求證：DE⊥CD；(2)在(1)的條件下，若異面直線AB1與CD所成的角為45°，求直線AC與平面AB1C1所成角的余弦值．第12題圖13．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面PAD；第13題圖(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD與平面BCD所成角的余弦值．14．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,3)，∠ADC＝eq\f(π,2)，BC＝4.(1)若△ABC的面積為2eq\r(3)，求AC；(2)若AD＝3eq\r(3)，∠ACB＝∠ACD＋eq\f(π,6)，求tan∠ACD.第14題圖立體幾何基礎(chǔ)訓(xùn)練答案一、單項(xiàng)選擇題1．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為(A)．第1題圖Aeq\f(3,5) B.eq\f(5,6)C.eq\f(3\r(3),10) D.eq\f(3\r(6),10)2．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若M為棱CC1的中點(diǎn)，則直線B1M與平面A1D1M所成角的正弦值是(B)．第2題圖A.eq\f(\r(21),5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點(diǎn)，PA＝AD＝2.若AB＝1，則二面角B-AC-M的余弦值為(A)．第3題圖A.eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),6) D.eq\f(1,6)4．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝2AB＝2BC＝2，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，CF＝2AE.若二面角B-EF-D是直二面角，則AE的長(zhǎng)度為(B)．第4題圖A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(5),10)二、多項(xiàng)選擇題5．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，AC＝4，A到平面PBC的距離為eq\f(4\r(5),5)，則(ABD)．第5題圖A．PA＝4B．三棱錐P-ABC的外接球的表面積為32πC．直線AB與直線PC所成角的余弦值為eq\f(\r(2),16)D．AB與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(2\r(5),5)6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段CD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有(ABC)．第6題圖A．BA1與平面ABCD所成的角是定值B．異面直線AC1與B1F所成的角是定值C．三棱錐B-A1EF的體積是定值D．直線A1F與平面B1CD1所成的角是定值三、填空題7．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(2),10).8．由兩塊直角三角板拼成如圖所示的空間立體圖形，其中∠ADC＝∠ACB＝90°，DC＝3，AC＝BC＝5，DB＝eq\r(34)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為eq\f(3\r(2),10).第8題圖9．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)，則二面角E-BC1-F的余弦值為eq\f(5\r(3),9).第9題圖四、解答題10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝eq\r(2)，CD＝2，PD⊥BC，AC⊥PB.第10題圖(1)求證：PD⊥平面ABCD；(2)若二面角D-PB-C的余弦值為eq\f(\r(17),17)，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．(1)由tan∠ADB＝eq\f(\r(2),2)，tan∠ACD＝eq\f(\r(2),2)，得∠ADB＝∠ACD，所以∠BDC＋∠ADB＝∠BDC＋∠ACD＝eq\f(π,2)，即AC⊥BD，又AC⊥PB，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，所以AC⊥PD，又PD⊥BC，AC∩BC＝C，所以PD⊥平面ABCD.(2)如答圖所示，以D為原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(DP,\s\up12(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DP＝h，則D(0,0,0)，A(eq\r(2)，0,0)，B(eq\r(2)，1,0)，C(0,2,0)，P(0,0，h)，eq\o(PC,\s\up12(→))＝(0,2，－h(huán))，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－eq\r(2)，1,0)，設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(PC,\s\up12(→))·n＝2y－h(huán)z＝0，,\o(BC,\s\up12(→))·n＝－\r(2)x＋y＝0，))))取y＝eq\r(2)h，則x＝h，z＝2eq\r(2)，所以n＝(h，eq\r(2)h，2eq\r(2))，易知平面PBD的一個(gè)法向量為eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－eq\r(2)，2,0)，所以cos〈n，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝eq\f(n·\o(AC,\s\up12(→)),|n||\o(AC,\s\up12(→))|)＝eq\f(\r(2)h,\r(6)·\r(3h2＋8))＝eq\f(\r(17),17)，解得h＝eq\r(3)，所以eq\o(PB,\s\up12(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，易知AD⊥平面PCD，所以eq\o(DA,\s\up12(→))＝(eq\r(2)，0,0)是平面PCD的一個(gè)法向量．設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為θ，則sinθ＝cos〈eq\o(PB,\s\up12(→))，eq\o(DA,\s\up12(→))〉＝eq\f(\r(3),3)，故直線PB與平面PCD所成的角的正弦值為eq\f(\r(3),3).第10題答圖11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，BC＝CD＝AD＝2，AB＝4，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PMN⊥平面PAD；(2)若二面角C-AB-P的大小為60°，求四棱錐P-ABCD的體積．第11題圖(1)如答圖，連接DM，顯然DC∥BM且DC＝BM，所以四邊形BCDM為平行四邊形，所以DM∥BC且DM＝BC，所以△AMD是正三角形，所以MN⊥AD，又PD⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，所以PD⊥MN，又PD∩AD＝D，所以MN⊥平面PAD，又MN?平面PMN，所以平面PMN⊥平面PAD.(2)連接BD，易知BD∥MN，所以BD⊥AD，BD⊥PD，又PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD，建立如答圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2eq\r(3)，0)，設(shè)P(0,0，m)(m>0)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－2,2eq\r(3)，0)，eq\o(AP,\s\up12(→))＝(－2,0，m)，設(shè)平面PAB的法向量為a＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up12(→))＝－2x＋2\r(3)y＝0，,a·\o(AP,\s\up12(→))＝－2x＋mz＝0，))令z＝2eq\r(3)，得a＝(eq\r(3)m，m,2eq\r(3))，又平面ABCD的一個(gè)法向量為b＝(0,0,1)，所以|cos〈a，b〉|＝cos60°＝eq\f(2\r(3),\r(3m2＋m2＋12))＝eq\f(1,2)，解得m＝3，所以VP-ABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)×3＝3eq\r(3).第11題答圖12．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D為BB1的中點(diǎn)．(1)若E為AB1上的一點(diǎn)，且eq\f(EB1,AB1)＝eq\f(1,4)，求證：DE⊥CD；(2)在(1)的條件下，若異面直線AB1與CD所成的角為45°，求直線AC與平面AB1C1所成角的余弦值．第12題圖(1)取AB的中點(diǎn)M，連接CM，MD，則MD∥AB1.因?yàn)锳C＝BC，所以CM⊥AB.因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABB1A1＝AB，CM?平面ABC，所以CM⊥平面ABB1A1.因?yàn)锳1B?平面ABB1A1，所以CM⊥A1B.因?yàn)閑q\f(EB1,AB1)＝eq\f(1,4)，即AB1＝4EB1，所以E為AB1的四等分點(diǎn)，又D為BB1的中點(diǎn)，所以DE∥A1B，因?yàn)锳A1＝AB，所以直棱柱的側(cè)面AA1B1B是正方形，所以AB1⊥A1B，又MD∥AB1，所以A1B⊥MD，又MD∩CM＝M，MD，CM?平面CMD，所以A1B⊥平面CMD，又CD?平面CMD，所以A1B⊥CD，所以CD⊥DE.(2)設(shè)O是AB1與A1B的交點(diǎn)，如答圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以MA，MO，MC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝2a，則AB1＝2eq\r(2)a，由條件可知∠CDM＝45°，所以DM＝CM＝eq\r(2)a，所以A(a,0,0)，B1(－a,2a,0)，C1(0,2a，eq\r(2)a)，C(0,0，eq\r(2)a)，所以eq\o(AB1,\s\up12(→))＝(－2a,2a,0)，eq\o(B1C1,\s\up12(→))＝(a,0，eq\r(2)a)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－a,0，eq\r(2)a)，設(shè)平面AB1C1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB1,\s\up12(→))·n＝0，,\o(B1C1,\s\up12(→))·n＝0，))))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋2y＝0，,x＋\r(2)z＝0，))))可取n＝(eq\r(2)，eq\r(2)，－1)，所以cos〈eq\o(AC,\s\up12(→))·n〉＝eq\f(\o(AC,\s\up12(→))·n,|\o(AC,\s\up12(→))||n|)＝eq\f(－2\r(2),\r(3)×\r(5))＝－eq\f(2\r(30),15)，所以直線AC與平面AB1C1所成角的余弦值為eq\f(\r(105),15).第12題答圖13．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面PAD；第13題圖(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD與平面BCD所成角的余弦值．第13題答圖設(shè)AB＝a，PA＝b，建立如答圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(a,0,0)，P(0，0，b)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(b,2))).(1)因?yàn)閑q\o(BE,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，\f(b,2)))，eq\o(AD,\s\up12(→))＝(0,2a,0)，eq\o(AP,\s\up12(→))＝(0,0，b)，所以eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up12(→)).因?yàn)锽E?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(2)因?yàn)锽E⊥平面PCD，所以BE⊥PC，即eq\o(BE,\s\up12(→))·eq\o(PC,\s\up12(→))＝0，又eq\o(PC,\s\up12(→))＝(2a,2a，－b)，所以2a2－eq\f(b2,2)＝0，即b＝2a，在平面BDE和平面BDC中，eq\o(BE,\s\up12(→))＝(0，a，a)，eq\o(BD,\s\up1