專題 8-3 立體幾何中垂直的證明與探究（原卷版）- 2025年高考數(shù)學(xué)二輪題型追蹤與重難點(diǎn)專題突破（新高考專用）

專題8-3立體幾何中垂直的證明與探究模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】垂直性質(zhì)的判定【題型2】線面垂直證明【題型3】證明面面垂直【題型4】已知面面垂直證其他垂直【題型5】證明異面直線垂直【題型6】線面垂直的存在性問題探究【題型7】面面垂直的存在性問題探究【題型8】異面直線垂直的存在性問題探究【題型9】存在性問題中確定動點(diǎn)的軌跡與最值模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】垂直性質(zhì)的判定部分問題可以轉(zhuǎn)化為一個正方體的棱、面等，進(jìn)而進(jìn)行排除【例1】（2024·四川成都·三模）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則【例2】（多選題）（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．【例3】（2024·廣東佛山·一模）（多選）已知直線，與平面，，，能使的充分條件是（

）A．， B．，C．，， D．，，【例4】設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，給出下列命題：①若，，則.②若，，則.③若，，則.④若，，則.其中正確命題的序號是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【例5】設(shè)、是兩條不相同的直線，、是兩個不重合的平面，則下列命題錯誤的是（

）A．若，，，則B．若，，則C．若、是異面直線，，，，，則.D．若，，則【例6】（2024·貴州遵義·二模）已知平面滿足，下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線，則或B．若直線，則與和相交C．若，則，且D．若直線過空間某個定點(diǎn)，則與成等角的直線有且僅有4條【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東惠州·一模）已知l、n是兩條不同的直線，、是不重合的兩個平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【鞏固練習(xí)2】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）（多選）設(shè)a，b表示兩條互不重合的直線，，表示兩個互不重合的平面，則下列命題正確的是（

）．A．，，，則 B．，，，則C．，，，則 D．，，，則【鞏固練習(xí)3】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面．則下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【鞏固練習(xí)4】（2024·湖南·三模）已知m，n是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【鞏固練習(xí)5】設(shè)，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面給出下列四個命題：①若，，α//β，則；②若，，，則；③若，，α//β，則；④若，，，，則．其中正確命題的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【題型2】線面垂直證明解決思路：通過線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直時，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條與直線垂直的相交直線，并證明.步驟第一步：證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直.第二步：通過線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直.第三步：通過線面垂直的性質(zhì)證明直線與平面內(nèi)的直線垂直.【例1】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；【例2】如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC．求證：平面；【例3】（2024·四川樂山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．證明：平面；【鞏固練習(xí)1】（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。眷柟叹毩?xí)2】（2024·高三·湖北武漢·開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，為上的動點(diǎn).若，求證：平面；【鞏固練習(xí)3】【題型3】證明面面垂直面面垂直的主要證明方法是利用線面垂直面面垂直．證明時，先從現(xiàn)有的直線中尋找其中一個平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．文字語言圖形語言符號語言面面垂直判定一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直__【例1】（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；【例2】（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．(1)證明：平面平面

【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn)，證明：平面平面PBC【例4】（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，.

證明：平面平面.【鞏固練習(xí)1】（2022·全國乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；【鞏固練習(xí)2】（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；【鞏固練習(xí)3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，是正三角形，．(1)證明：平面平面;【題型4】已知面面垂直證其他垂直文字語言圖形語言符號語言面面垂直性質(zhì)兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直aa【例1】（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；【例2】（2024·廣東佛山·一模）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．

(1)求證：平面平面；【例3】如圖，在三棱臺.中，，平面平面.

求證：平面；【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東·二模）如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，平面平面．(1)證明：；【鞏固練習(xí)2】（2024·陜西西安·三模）在四棱錐中，平面平面，，，，．證明：．【鞏固練習(xí)3】（2024·高三·河南·開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面平面是等腰直角三角形，.證明：；【題型5】證明異面直線垂直【方法技巧】異面直線的垂直證明如果能建系就優(yōu)先考慮建系，建系法思路簡單且計(jì)算量小，而幾何法如果不熟練就容易卡殼【例1】（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；【分析】根據(jù)題意易證平面，從而證得；【詳解】連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．【例2】（杭州二模）在三棱錐中,底面△ABC為等腰直角三角形,.求證：AC⊥SB【例3】（2021·全國甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；【鞏固練習(xí)1】（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；【鞏固練習(xí)2】（2022·全國甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；【鞏固練習(xí)3】（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；【鞏固練習(xí)4】（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；【鞏固練習(xí)5】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，、、為圓錐三條母線，.(1)證明：；【鞏固練習(xí)6】（2020·浙江·高考真題）如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；【題型6】線面垂直的存在性問題探究對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．【例1】在正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．Q是棱上一點(diǎn)，且AQ⊥平面，則.【例2】如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，，，，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面PAB；(2)線段PC上是否存在點(diǎn)N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【例3】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時，平面？試證明你的結(jié)論．【鞏固練習(xí)1】在底面是菱形的四棱錐中，已知，，過作側(cè)面的垂線，垂足恰為棱的中點(diǎn).在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在求的長；若不存在，說明理由.【鞏固練習(xí)2】（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在五面體中，平面ABC，，，.

(1)問：在線段CD上是否存在點(diǎn)P，使得平面ACD?若存在，請指出點(diǎn)P的位置，并證明；若不存在，請說明理由.【鞏固練習(xí)3】如圖，直三棱柱，，分別是，的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)若，，在棱上是否存在點(diǎn)，使平面.如果存在，求出點(diǎn)的位置，如果不存在，請說明理由.【鞏固練習(xí)4】如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【鞏固練習(xí)5】如圖1，在中，分別為的中點(diǎn).將沿折起到的位置（與不重合），連，如圖2.

(1)求證：平面平面；(2)若平面與平面交于過的直線，求證；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，指出點(diǎn)位置并證明；若不存在，說明理由.【題型7】面面垂直的存在性問題探究對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．【例1】如圖，多面體是由一個正四棱錐與一個三棱錐拼接而成，正四棱錐的所有棱長均為，且．(1)在棱上找一點(diǎn)，使得平面平面，并給出證明；【例2】（2024·黑龍江·二模）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE將折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，，N是棱BC上的動點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合）.(1)判斷在棱PB上是否存在一點(diǎn)M，使平面平面，若存在，求；若不存在，說明理由；【例3】（23-24·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由．【鞏固練習(xí)1】【鞏固練習(xí)2】如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，，平面平面.(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)線段是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，如果存在找出點(diǎn)的位置，不存在請說明理由.【鞏固練習(xí)3】如圖1，在邊長為2的菱形中，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【題型8】異面直線垂直的存在性問題探究通過構(gòu)造一個和直線垂直的平面來得到N的軌跡或位置【例1】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且，側(cè)面是正三角形，是上一動點(diǎn)，N是的中點(diǎn).(1)若∥平面，求證：M是的中點(diǎn)；(2)若平面平面，求線段的長；(3)是否存在點(diǎn)M、使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【鞏固練習(xí)1】正四棱錐底面邊長為2，高為1，是邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)在四棱錐表面上運(yùn)動，并且總保持，則動點(diǎn)的軌跡的周長為A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】棱長為1的正方體中為正方體表面上的一個動點(diǎn)，且總有，則動點(diǎn)的軌跡的長度為A． B． C． D．【題型9】存在性問題中確定動點(diǎn)的軌跡與最值異面直線，P為動點(diǎn)，這垂直存在性問題需要先構(gòu)造出