中考數(shù)學二輪復習二次函數(shù)重難點練習專題13 二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題（解析版）

專題13二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題解題點撥考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標系中：（1）對邊平行且相等可轉化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當AC和BD為對角線時，結果可簡記為：（各個點對應的橫縱坐標相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若坐標系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．直擊中考1．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標原點），A兩點，且二次函數(shù)的最小值為，點是其對稱軸上一點，y軸上一點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P，連結，，設點P的橫坐標為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）由二次函數(shù)的最小值為，點是其對稱軸上一點，得二次函數(shù)頂點為，設頂點式，將點代入即可求出函數(shù)解析式；（2）連接，根據(jù)求出S與t的函數(shù)關系式；（3）設，分三種情況：當為對角線時，當為對角線時，當為對角線時，由中點坐標公式求出n即可．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的最小值為，點是其對稱軸上一點，二次函數(shù)頂點為，設二次函數(shù)解析式為，將點代入得，，，；（2）如圖，連接，當時，，或2，，點P在拋物線上，點P的縱坐標為，；（3）設，當為對角線時，由中點坐標公式得，，，，當為對角線時，由中點坐標公式得，，，，當為對角線時，由中點坐標公式得，，，，綜上：或或．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線與圖形面積，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形是性質(zhì)是解題的關鍵．2．已知拋物線關于軸對稱，與軸交于、兩點，點坐標為，拋物線還經(jīng)過點．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點在軸上，在拋物線上是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點的坐標為：或或【分析】（1）利用二次函數(shù)的對稱軸，可得，然后將點和點代入函數(shù)解析式即可計算出答案．（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，分兩種情況討論，①定點、為邊的平行四邊形；②定點、為對角線的平行四邊形，利用平行四邊的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）∵拋物線關于軸對稱，∴對稱軸．即．∵拋物線經(jīng)過點和點，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）由（1）可知，拋物線的解析式為，且函數(shù)圖像關于軸對稱，點坐標為，∴點坐標為．∴．①以為邊構造平行四邊形時，∴，即平行于軸．設點的坐標為，則點的坐標為，∴，∴．解得：．即點的坐標為或．②以為對角線構造平行四邊形時，∴，．又∵點在軸上，對角線在軸上，∴點在軸上，即點的坐標為拋物線的頂點坐標．綜上所述，點的坐標為：或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合運用以及平行四邊形的性質(zhì)，靈活運用所學的知識是解題的關鍵．3．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．拋物線的頂點為D，其對稱軸與線段交于點E，垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段與點P和F，動直線l在拋物線的對稱軸的右側（不含對稱軸）沿x軸正方向移動到B點．(1)求出所在直線的表達式；(2)在動直線l移動的過程中，試求使四邊形為平行四邊形的點P的坐標；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出，，，設所在直線的表達式為：，由待定系數(shù)法求出所在直線的表達式即可；（2）證，只要，四邊形即為平行四邊形，由二次函數(shù)解析式求出點D的坐標，由直線的解析式求出點E的坐標，則，設點P的橫坐標為t，則P的坐標為：，F(xiàn)的坐標為：，由得出方程，解方程進而得出答案；【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的表達式為：，當時，或，∴，，當時，，∴，設所在直線的表達式為：，將、代入，得：，解得：，∴所在直線的表達式為：；（2）解：∵軸，軸，∴，只要，四邊形即為平行四邊形，∵，∴點D的坐標為：，將代入，即，∴點E的坐標為：，∴，設點P的橫坐標為t，則P的坐標為：，F(xiàn)的坐標為：，∴，由得：，解得：（不合題意舍去），，當時，，∴點P的坐標為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請在拋物線的對稱軸上找一點，使的值最小，求點的坐標，并求出此時的最小值；（4）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時的最小值為；（4）存在，或．【分析】（1）把點A、B的坐標代入求解即可；（2）設直線的解析式為，然后把點B、C的坐標代入求解即可；（3）由題意易得點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點B、P、C三點共線時，即為BC的長，然后問題可求解；（4）由題意可設點，然后可分①當AC為對角線時，②當AM為對角線時，③當AN為對角線時，進而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點坐標公式可進行求解．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得拋物線的解析式為，∵拋物線與y軸的交點為C，∴，設直線的解析式為，把點B、C的坐標代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（3）由拋物線可得對稱軸為直線，由題意可得如圖所示：連接BP、BC，∵點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴，要使的值為最小，則需滿足點B、P、C三點共線時，即為BC的長，此時BC與對稱軸的交點即為所求的P點，∵，∴，∴的最小值為，∵點P在直線BC上，∴把代入得：，∴；（4）存在，理由如下：由題意可設點，，當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則可分：①當AC為對角線時，如圖所示：連接MN，交AC于點D，∵四邊形ANCM是平行四邊形，∴點D為AC、MN的中點，∴根據(jù)中點坐標公式可得：，即，解得：，∴；②當AM為對角線時，同理可得：，即，解得：，∴；③當AN為對角線時，同理可得：，即，解得：，∴；∴綜上所述：當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關鍵．5．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】(1)(2)，(3)；；【分析】（1）將點A，B的坐標代入拋物線中求出b，c即可；（2）設交于，可得，求出直線AB的解析式，設，則，，表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點E、F坐標，設，，分情況討論：①當為對角線時，②當為對角線時，③當為對角線時，分別根據(jù)對角線交點的橫坐標相同列式計算即可．【詳解】（1）解：將點，代入得：，解得：，∴該拋物線的函數(shù)表達式為：；（2）如圖，設交于，∵，，∴OA＝OB＝4，∴，∵PC∥OB，PD∥OA，∴，，∴，設直線AB的解析式為，則，解得：，∴直線AB的解析式為，設，則，，∴，∴當時，取得最大值，此時；（3）由題意得：平移后拋物線解析式為，，∴，∵拋物線的對稱軸為，∴設，，分情況討論：①當為對角線時，則，解得：，此時，∴；②當為對角線時，則，即，此時，∴；③當為對角線時，則，即，此時，∴，綜上所述，點的坐標為：，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質(zhì)列方程．6．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A(﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PFAB交BC于點F．(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式，(2)當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．(3)若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線函數(shù)表達式為，直線BC的函數(shù)表達式為(2)點P的坐標為(,)，△PEF的周長為(3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【分析】（1）由點A，B的坐標，利用待定系數(shù)即可求解析式；（2）利用直線和拋物線的位置關系相切時對應的等腰直角三角形PEF周長最大，二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立方程，根的判別式，從而找出對應點P坐標，進而求出周長；（3）根據(jù)平行四邊形對角線性質(zhì)和中點公式，把BC是否為對角線分情況進行分析，設出點G的橫坐標，利用中點公式列方程計算即可求解．【詳解】（1）解：將點A(-1,0)，B(3,0)代入，得：，解得，所以拋物線解析式為，C(0，3)設直線BC的函數(shù)表達式，將B(3，0)，C(0，3)代入得：，解得，所以直線BC的函數(shù)表達式為（2）解：如圖，設將直線BC平移到與拋物線相切時的解析式為，與拋物線聯(lián)立得：整理得，解得，將代入，解得，將代入得，即△PEF的周長為最大值時，點P的坐標為(,)將代入得，則此時，因為△PEF為等腰直角三角形，則△PEF的周長最大為（3）答：存在．已知B(3，0)，C(0，3)，設點Ｇ(，)，N(1，n)，當BC為平行四邊形對角線時，根據(jù)中點公式得：，，則G點坐標為(2，3)；當BC為平行四邊形的邊時，由題意可知：或，解得或則G點坐標為(-2，-5)或(4，-5)故點G坐標為(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖像上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、直線與拋物線的位置關系、根的判別式，等腰直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵（1）根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)求解析式；（2利用直線和拋物線的位置關系，巧妙利用判別式；（3）熟悉平行四邊形對角線性質(zhì)，結合中點公式分情況展開討論．7．（2022·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，且點的坐標為．(1)求點的坐標；(2)如圖1，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)最大為(3)存在，的坐標為或（3，-16）或【分析】（1）把點A的坐標代入，求出c的值即可；（2）過作于點，過點作軸交于點，證明是等腰直角三角形，得，當最大時，最大，，運用待定系數(shù)法求直線解析式為，設，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分①當AC為平行四邊形ANMC的邊，②當AC為平行四邊形AMNC的邊，③當AC為對角線三種情況討論求解即可．【詳解】（1）（1）∵點在拋物線的圖象上，∴∴，∴點的坐標為；（2）過作于點，過點作軸交于點，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當最大時，最大，設直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設，，則，∴，∵，∴當時，最大為，∴此時最大為，即點到直線的距離值最大；（3）存在．∵∴拋物線的對稱軸為直線，設點N的坐標為（-2，m），點M的坐標為（x，）分三種情況：①當AC為平行四邊形ANMC的邊時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴點M的坐標為（3，-16）②當AC為平行四邊形AMNC的邊長時，如圖，方法同①可得，，∴∴點M的坐標為（-7，-16）；③當AC為對角線時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點H的坐標為，即H（）∴，解得，。∴∴點M的坐標為（-3，8）綜上，點的坐標為：或（3，-16）或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結合是解題的關鍵．8．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸相交于點、點，與軸相交于點．(1)請直接寫出點，，的坐標；(2)點在拋物線上，當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值．(3)點是拋物線上的動點，作//交軸于點，是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，；(2)，面積的最大值；(3)存在，或或．【分析】（1）令得到，求出x即可求得點A和點B的坐標，令，則即可求點C的坐標；（2）過P作軸交BC于Q，先求出直線BC的解析式，根據(jù)三角形的面積，當平行于直線BC直線與拋物線只有一個交點時，點P到BC的距離最大，此時，的面積最大，利用三角形面積公式求解；（3）根據(jù)點是拋物線上的動點，作//交軸于點得到，設，當點F在x軸下方時，當點F在x軸的上方時，結合點，利用平行四邊形的性質(zhì)來列出方程求解．【詳解】（1）解：令，則，解得，，∴，，令，則，∴；（2）解：過P作軸交BC于Q，如下圖．設直線BC為，將、代入得，解得，∴直線BC為，根據(jù)三角形的面積，當平行于直線BC直線與拋物線只有一個交點時，點P到BC的距離最大，此時，的面積最大，∵，∴，，∴，∵，∴時，PQ最大為，而，∴的面積最大為；（3）解：存在．∵點是拋物線上的動點，作//交軸于點，如下圖．∴，設．當點F在x軸下方時，∵，即，∴，解得（舍去），，∴．當點F在x軸的上方時，令，則，解得，，∴或．綜上所述，滿足條件的點F的坐標為或或．【點睛】本題是二次函數(shù)與平行四邊形、二次函數(shù)與面積等問題的綜合題，主要考查求點的坐標，平行四邊形的性質(zhì)，面積的表示，涉及方程思想，分類思想等．9．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸相交于點，，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，將直線BC間上平移，得到過原點O的直線MN．點D是直線MN上任意一點．①當點D在拋物線的對稱軸l上時，連接CD，關x軸相交于點E，水線段OE的長；②如圖2，在拋物線的對稱軸l上是否存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F與點D的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．當點F的坐標為時，點D的坐標：或；當點F的坐標為時，點D的坐標：．【分析】(1)把，代入即可得出拋物線的表達式；（2）①求出直線BC解析式：，再由直線MN：及拋物線的對稱軸：，即可得出．進而得出直線CD的解析式為：，即可得出答案；②分以BC為邊時，即，，以及分以BC為對角線時，進行討論即可得出答案．【詳解】（1）解：將點，代入得：解得∴拋物線的表達式為．（2）①由（1）可知：，設直線BC：，將點，代入得：解得∴直線BC：，則直線MN：．∵拋物線的對稱軸：，把代入，得，∴．設直線CD：，將點，代入得：解得∴直線CD：．當時，得，∴，∴．②存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為項點的四邊形是平行四邊形．理由如下：（I）若平行四邊形以BC為邊時，由可知，F(xiàn)D在直線MN上，∴點F是直線MN與對稱軸l的交點，即．由點D在直線MN上，設．如圖2-1，若四邊形BCFD是平行四邊形，則．過點D作y軸的垂線交對稱軸l于點G，則．∵，∴，∵軸，∴，∴．又∵，∴，∴，，

∵，，∴，解得．∴，如圖2-2，若四邊形BCDF是平行四邊形，則．同理可證：，∴，∵，，∴，解得．∴（II）若平行四邊形以BC為對角線時，由于點D在BC的上方，則點F一定在BC的下方．∴如圖2-3，存在一種平行四邊形，即．設，，同理可證：，∴，∵，，，∴．解得∴，．綜上所述，存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．當點F的坐標為時，點D的坐標：或；當點F的坐標為時，點D的坐標：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關知識，正確進行分類討論是解題的關鍵.10．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，且與x軸交于點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點旋轉，此時點A、B的對應點分別為點C、D．①連結，當四邊形為矩形時，求m的值；②在①的條件下，若點M是直線上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)（或）(2)①，②存在符合條件的點Q，其坐標為或或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點坐標，設二次函數(shù)的表達式為，再把代入即可得出答案；（2）①過點作軸于點E，根據(jù)，又因為，證明出，從而得出，將，，代入即可求出m的值；②根據(jù)上問可以得到，點M的橫坐標為4，，要讓以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當以為邊時，存在平行四邊形為；2）當以為邊時，存在平行四邊形為；3）當以為對角線時，存在平行四邊形為；即可得出答案．（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為，∴設二次函數(shù)的表達式為，又∵，∴，解得：，∴（或）；（2）①∵點P在x軸正半軸上，∴，∴，由旋轉可得：，∴，過點作軸于點E，∴，，在中，，當四邊形為矩形時，，∴，又，∴，∴，∴，解得；②由題可得點與點C關于點成中心對稱，∴，∵點M在直線上，∴點M的橫坐標為4，存在以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，1）、當以為邊時，平行四邊形為，點C向左平移8個單位，與點B的橫坐標相同，∴將點M向左平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴代入，解得：，∴，2）、當以為邊時，平行四邊形為，點B向右平移8個單位，與點C的橫坐標相同，∴將M向右平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴代入，解得：，∴，3）、當以為對角線時，點M向左平移5個單位，與點B的橫坐標相同，∴點C向左平移5個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴代入，得：，∴，綜上所述，存在符合條件的點Q，其坐標為或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對稱，平行四邊形的存在性問題，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線是本題的關鍵．11．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的解析式和點C的坐標；(2)若點M在直線上方的拋物線上運動（與點B，C不重合），求使面積最大時M點的坐標，并求最大面積；（請在圖1中探索）(3)設點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．（請在圖2中探索）【答案】(1)，(2)，當時，S有最大值為(3)滿足條件的點P坐標為，，【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作直線BC，過M點作MN∥y軸交BC于點N，求出直線BC的解析式，設M（m，-+m+），則N（m，-m+），可得S△MBC=?MN?OB=+，再求解即可；（3）設Q（0，t），P（m，-+m+），分三種情況討論：①當AB為平行四邊形的對角線時；②當AQ為平行四邊形的對角線時；③當AP為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利用中點坐標公式求解即可．（1）解：把點和分別代入可得，解得∴拋物線的解析式為把代入可得∴；（2）解：作直線，作軸交直線于點N設直線的解析式為（）把點和分別代入可得解得∴直線的解析式為設點M的橫坐標為m∴，∴∴（）∴當時，S有最大值為把代入可得∴；（3）解：當以為邊時，只要，且即可∴點P的橫坐標為4或-4把代入可得把代入可得∴此時，當以為對角線時，作軸于點H∵四邊形是平行四邊形∴∴在和中∴∴∴∴點P的橫坐標為2把代入可得∴此時綜上所述，滿足條件的點P坐標為，，【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．12．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學?？计谀┤鐖D，拋物線經(jīng)過、、三點．(1)求a，b，c的值；(2)在拋物線對稱軸上找出一點P，使的值最小，并求出此時的面積；(3)若點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)點P見解析，(3)存在，或或【分析】（1）將代入，求出a的值，確定函數(shù)的解析式后，再將B點和C點代入解析式即可求b、c的值；（2）根據(jù)拋物線的對稱軸可知當B、C、P三點共線時，有最小值，直線與對稱軸的交點即為P點，求出P點坐標再求的面積即可；（3）設，分三種情況討論：①當為平行四邊形的對角線時；②當為平行四邊形的對角線時；③當為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利用中點坐標公式求解即可．【詳解】（1）解：（1）將代入，∴，解得，∴，將代入，∴，解得：（舍）或，將代入，∴；（2）∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵A點與B點關于對稱軸對稱，∴，∴，∴當B、C、P三點共線時，有最小值，設的直線解析式為∴∴∴，∴，設的直線解析式為∴∴∴，∴直線與y軸交于∴∴（3）存在點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形，理由如下：設，①當為平行四邊形的對角線時，，∴（舍），∴；②當為平行四邊形的對角線時，，∴，∴或；③當為平行四邊形的對角線時，，∴（舍），∴；綜上所述：N點坐標為或或【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，用軸對稱求最短距離的方法，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．13．（2022秋·天津紅橋·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．經(jīng)過點B的直線與y軸交于點，與拋物線交于點E．(1)求拋物線的解析式及點C的坐標；(2)若點P為拋物線的對稱軸上的動點，當?shù)闹荛L最小時，求點P的坐標；(3)若點M是直線上的動點，過M作軸交拋物線于點N，判斷是否存在點M，使以點M、N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，用解析式可求得點C的坐標（2）用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，由點A和點B關于對稱軸對稱，可知點P為對稱軸與直線的交點時，的周長最小，即可求得點P的坐標（3）由可知，，設點、，求得，即可求得點M的坐標【詳解】（1）∵點在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：，∴點C的坐標為：（2）∵經(jīng)過點直線與y軸交于點，∴，解得：，∴直線的解析式為：，聯(lián)立方程組，解得：或，∴，∵拋物線的對稱軸為：，且，∴點A關于對稱軸的對稱點為點B，∵，∴當點P為對稱軸與直線的交點時，的周長最小，∴（3）存在點M，使以點M、N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形∵，即，∴要使以點M、N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則，∵，∴，∴，∵點M在直線上，∴設點，則點N的坐標為：，∴，即，當時，解得：，∴點M的坐標為：或，當，解得：（舍去）綜上所述：存在點M，使以點M、N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，此時點M的坐標為：或【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、軸對稱的應用、平行四邊形的性質(zhì)；掌握方程的思想和分類討論的方法是解決問題的關鍵14．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，與x軸交于兩點A，B（A在B的左側），與y軸交于點C．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖2，連接，點P是線段上方拋物線上的一個動點，過點P作交于點，求的最大值及此時點P的坐標；(3)將該拋物線關于直線對稱得到新拋物線，點E是原拋物線y和新拋物線的交點，F(xiàn)是原拋物線對稱軸上一點，G為新拋物線上一點，若以E、F、A、G為頂點的四邊形是是平行四邊形，請直接寫出點F的坐標．【答案】(1)(2)，(3)或或．【分析】（1）直接利用頂點坐標，寫出二次函數(shù)的頂點式，即可得解；（2）過點作軸，交于點，過點作軸，交于點，設交于點，證明，得到，得到當最大時，最大，進行求解即可；（3）求出新拋物線的解析式，求出點的坐標，分分別為對角線，三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為，∴；（2）解：過點作軸，交于點，過點作軸，交于點，設交于點，則，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，當時，；當時，，解得：，∴，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴；設直線的解析式為：，則：，解得：，∴；∵交于點，聯(lián)立直線的解析式得：，解得：，∴，∴，∵軸，∴的橫坐標為，代入，得：，∴，∴，∴，∴，∴當最大時，最大，設，則：，∴，∵，∴當時，有最大值：，此時：，；（3）解：關于的對稱點為：，則：新的拋物線的解析式為：，聯(lián)立兩個拋物線的解析式：，解得：，∴，∵F是原拋物線對稱軸上一點，G為新拋物線上一點，∴設，，∵，以E、F、A、G為頂點的四邊形是是平行四邊形，①為對角線時：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得：，解得：，∴；②為對角線時：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得：，解得：，∴；③為對角線時：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得：，解得：，∴；綜上：以E、F、A、G為頂點的四邊形是平行四邊形時，點坐標為或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．15．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點為線段下方拋物線上一動點，過點作軸交線段于點，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，動點在原拋物線的對稱軸上，點為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．【答案】(1)(2)當時，取得最大值，最大值為1，此時點的坐標為(3)點的坐標為，，【分析】（1）將，代入拋物線，列方程組求解即可得到答案；（2）延長交軸于點，設直線的函數(shù)表達式為，將，代入列方程組求解得出解析式，設，根據(jù)軸得到，，根據(jù)三角形面積公式用t表示出，利用函數(shù)性質(zhì)即可得到最值；（3）根據(jù)，得到，結合拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，得到新拋物線解析式，設點，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分分類討論根據(jù)中點坐標公式即可得到答案．【詳解】（1）解：將，代入拋物線得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：如圖，延長交軸于點，設直線的函數(shù)表達式為，∵，，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達式為，設，其中，∴，，∴，∵，，∴，∴當時，取得最大值，最大值為1，此時點的坐標為；（3）解：∵，，∴，∵拋物線沿射線方向平移個單位長度，∴拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，∴平移后的拋物線解析式為，∵點在原拋物線對稱軸上，∴設點，①當以為對角線時，，即，∴，∵點為新拋物線上一點，∴，②當以為對角線時，，即，，∵點為新拋物線上一點，∴，③當以為對角線時，，即，，∵點為新拋物線上一點，∴，綜上所述，點的坐標為，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖像上點坐標的特征，平行四邊形等知識，解題的關鍵是用含字母的式子表示相關點坐標和相關線段的長度．16．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線經(jīng)過點和點與x軸另一個交點A．拋物線與y軸交于點C，作直線AD．(1)①求拋物線的函數(shù)表達式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達式．(2)點E是直線AD下方拋物線上一點，連接BE交AD于點F，連接BD，DE，的面積記為，的面積記為，當時，求點E的坐標；(3)點G為拋物線的頂點，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為，點C的對應點，點G的對應點，將曲線，沿y軸向下平移n個單位長度（）．曲線與直線BC的公共點中，選兩個公共點作點P和點Q，若四邊形是平行四邊形，直接寫出P的坐標．【答案】(1)①；②(2)（2，-4）或（0，-3）(3)（1+，）或【分析】（1）①利用待定系數(shù)解答，即可求解；②利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）過點E作EG⊥x軸交AD于點G，過點B作BH⊥x軸交AD于點H，設點，則點，可得，然后根據(jù)△EFG∽△BFH，即可求解；（3）先求出向上翻折部分的圖象解析式為，可得向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為，平移后拋物線剩下部分的解析式為，分別求出直線BC和直線的解析式為，可得BC∥C′G′，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點，然后分三種情況討論：當點P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時；當點P在向上翻折部分平移后的圖象上，點Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時；當點P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點Q在向上翻折部分平移后的圖象上時，即可求解．（1）解：①把點和點代入得：，解得：，∴拋物線解析式為；②令y=0，則，解得：，∴點A（-2，0），設直線AD的解析式為，∴把點和點A（-2，0）代入得：，解得：，∴直線AD的解析式為；（2）解：如圖，過點E作EG⊥x軸交AD于點G，過點B作BH⊥x軸交AD于點H，當x=6時，，∴點H（6，-4），即BH=4，設點，則點，∴，∵的面積記為，的面積記為，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x軸，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0，∴點E的坐標為（2，-4）或（0，-3）；（3）解：，∴點G的坐標為（2，-4），當x=0時，y=-3，即點C（0，-3），∴點，∴向上翻折部分的圖象解析式為，∴向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為，平移后拋物線剩下部分的解析式為，設直線BC的解析式為，把點B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為，同理直線的解析式為，∴BC∥C′G′，設點P的坐標為，∵點，∴點C′向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點G′，∵四邊形是平行四邊形，∴點，當點P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時，，解得：（不合題意，舍去），當點P在向上翻折部分平移后的圖象上，點Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時，，解得：或（不合題意，舍去），當點P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點Q在向上翻折部分平移后的圖象上時，，解得：（舍去，不合題意）或，綜上所述，點P的坐標為綜上所述，點P的坐標為（1+，）或（1﹣，）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，并利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．17．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點E．(1)求拋物線的表達式；(2)把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；(3)M是（1）中拋物線上一點，N是直線上一點．是否存在以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；或或或【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點坐標即可求解；（2）由題意得，求BC的表達式為：；拋物線平移后的表達式為：，根據(jù)題意得，即可求解；（3）設，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進行求解即可．（1）解：由可知，，解得：，∴．（2）分別令中，得，，；設BC的表達式為：，將，代入得，解得：；∴BC的表達式為：；拋物線平移后的表達式為：，根據(jù)題意得，，即，∵該拋物線與直線始終有交點，∴，∴，∴h的最大值為．（3）存在，理由如下：將代入中得，①當DE為平行四邊形的一條邊時，∵四邊形DEMN是平行四邊形，∴，，∵軸，∴軸，∴設，，當時，解得：，（舍去），∴，當時，解得：，∴或；②當DE為平行四邊形的對角線時，設，，∵D、E的中點坐標為：（2，0），∴M、N的中點坐標為：（2，0），∴，解得：，（舍去），∴此時點N的坐標為（3，0）；綜上分析可知，點N的坐標為：或或或（3，0）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．18．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點，，交軸于點．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點運動，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點運動，點，同時出發(fā)．設運動時間為秒（）．當為何值時，的面積最大？最大面積是多少？(3)已知是拋物線上一點，在直線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，的面積最大，最大面積是(3)存在，的坐標為或或或【分析】用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達式為；過點作軸于點，設面積為，由，，可得，，即得，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當秒時，的面積最大，求得其最大面積；由，得直線解析式為，設，，分三種情況進行討論求解．【詳解】（1）將點，代入中，得，解這個方程組得，二次函數(shù)的表達式為；（2）過點作軸于點，如圖：設面積為，根據(jù)題意得：，．，，在中，令得，，，．，，，當時，的面積最大，最大面積是；（3）存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：由，得直線解析式為，設，，又，，當，是對角線，則，的中點重合，，解得與重合，舍去或，；當，為對角線，則，的中點重合，，解得舍去或，；當，為對角線，則，的中點重合，，解得或，或，綜上所述，的坐標為或或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形的性質(zhì)及應用，解題的關鍵是用含字母的式子表示相關點的坐標和相關線段的長度．19．（2023秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖．在平面直角坐標系中．拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．點A的坐標為，點C的坐標為．已知點是線段上的動點（點E不與點A，B重合）．過點E作軸交拋物線于點P，交于點F．(1)求該拋物線的表達式；(2)若，請求出m的值；(3)是否存在這樣的m，使得與相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由；(4)當點E運動到拋物線對稱軸上時，點M是x軸上一動點，點N是拋物線上的動點，在運動過程中，是否存在以C、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點M的坐標．【答案】(1)；(2)；(3)存在，m的值為0或3；(4)存在，M點的坐標為或或或．【分析】（1）將，代入拋物線中，求得，，即可得到該拋物線的表達式；（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點得到，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設點E的坐標為，則點F的坐標為，點P的坐標為，得到，，然后利用，即可求出得值；（3）逆用勾股定理，得到，使得與相似，分兩種情況討論：①，，得到，求解即可得到的值；②，同理求解即可；（4）設，，分三種情況討論：①、為