2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2組合第2課時組合的綜合應用講義新人教A版選修2-3

PAGE1-第2課時組合的綜合應用學問點排列與組合的聯(lián)系和區(qū)分排列與組合的共同點都是“從n個不同元素中，任取m個元素”，假如交換兩個元素的位置對結果產(chǎn)生影響，就是eq\o(□,\s\up4(01))排列問題；反之，假如交換兩個元素的位置對結果沒有影響，就是eq\o(□,\s\up4(02))組合問題．簡而言之，eq\o(□,\s\up4(03))排列問題與依次有關，eq\o(□,\s\up4(04))組合問題與依次無關．學問點解排列組合綜合題的思路解決該問題的一般思路是先選后排，先eq\o(□,\s\up4(01))組合后eq\o(□,\s\up4(02))排列，解題時應敏捷運用eq\o(□,\s\up4(03))分類加法計數(shù)原理和eq\o(□,\s\up4(04))分步乘法計數(shù)原理．分類時，留意各類中是否分步，分步時留意各步中是否分類．利用組合學問解決與幾何有關的問題，要留意：(1)將已知條件中的元素的特征搞清，是用干脆法還是間接法；(2)要運用分類方法，至于怎樣確定分類的標準，這是一個難點，要詳細問題詳細分析；(3)常用間接法解決該類問題．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)3個相同的小球放入5個不同的盒子中，每盒至多放一個球，這個問題是排列問題．()(2)3個不同的小球放入5個不同的盒子中，每盒至多放一個球，這個問題是組合問題．()(3)將9本不同的書分成三堆是平均分組問題．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)4種不同的種子，選出3塊不同的土地，每一塊地只能種一種，則不同的種法有________種．(2)從3名女生、4名男生中選4人擔當奧運會志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有________種．(3)將6名老師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．答案(1)24(2)34(3)360解析(1)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(3,3)＝24(種)．(2)Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝34(種)．(3)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(種).探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(1))有限制條件的組合問題例1男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出競賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)既要有隊長，又要有女運動員．[解](1)第一步：選3名男運動員，有Ceq\o\al(3,6)種選法；其次步：選2名女運動員，有Ceq\o\al(2,4)種選法，故共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120種選法．(2)解法一：(干脆法)“至少有1名女運動員”包括以下幾種狀況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分類加法計數(shù)原理知共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(1,6)＝246種選法．解法二：(間接法)不考慮條件，從10人中任選5人，有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中全是男運動員的選法有Ceq\o\al(5,6)種，故“至少有1名女運動員”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)當有女隊長時，其他人選法隨意，共有Ceq\o\al(4,9)種選法；不選女隊長時，必選男隊長，共有Ceq\o\al(4,8)種選法，其中不含女運動員的選法有Ceq\o\al(4,5)種，故不選女隊長時共有Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)種選法．所以既有隊長又有女運動員的選法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．拓展提升解答有限制條件的組合問題的基本方法是“干脆法”和“間接法(解除法)”，其中用干脆法求解時，應依據(jù)“特殊元素優(yōu)先支配”的原則，即優(yōu)先支配特殊元素，再支配其他元素．而選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問題分類較多、較困難或計算量較大時，不妨從反面問題入手，試一試看是否簡潔些，特殊是涉及“至多”“至少”等組合問題時更是如此．此時正確理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等詞語的準確含義是解決這些組合問題的關鍵．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練1])有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員，4名是日語譯員，另外兩名英、日都精通，從中找出8人，使他們可以組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，4人翻譯日語，這兩個小組能同時工作，問這樣的8人名單共可開出幾張？解解法一：按“英、日都會的人”的參與狀況，可分為三類：第一類，“英日都會”的人不參與，有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)種；其次類，“英日都會”的人有1人參與，該人可參與英語，也可參與日語，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)種；第三類，“英日都會”的均參與共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)種．由分類加法原理可得共有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝185種．解法二：按“英日都會”的人參與英語翻譯的人數(shù)可分為三類．第一類，“英日都會”的人不參與英語翻譯，有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,6)種；其次類，“英日都會”的人恰有一人參與英語翻譯，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,5)種；第三類，“英日都會”的人全部參與英語翻譯共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)種．由分類加法原理可得共有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＝185種．探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(2))與幾何有關的組合問題例2如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，C3，C4，C5，C6，直徑AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4.問：(1)以這10個點中的3個點為頂點作三角形可作多少個？其中含C1點的有多少個？(2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個為頂點，可作出多少個四邊形？[解](1)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＝116(個)．其中以C1為頂點的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(個)．(2)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)＝360(個)．拓展提升(1)解決幾何圖形中的組合問題，首先應留意運用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要留意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，找尋一個組合的模型加以處理．(2)圖形多少的問題通常是組合問題，要留意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用干脆法，也可采納解除法．(3)在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構造模型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，將幾何問題抽象成組合問題來解決．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練2])(1)四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，有多少種不同的取法？(2)四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，有多少種不同的取法．解(1)(干脆法)如圖，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面共有3Ceq\o\al(3,5)種取法；含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，與頂點A共面的三點的取法有3Ceq\o\al(3,5)＋3＝33(種)．(2)(間接法)如圖，從10個點中取4個點的取法有Ceq\o\al(4,10)種，除去4點共面的取法種數(shù)可以得到結果．從四面體同一個面上的6個點取出的4點必定共面．有4Ceq\o\al(4,6)＝60(種)，四面體的每一棱上3點與相對棱中點共面，共有6種共面狀況，從6條棱的中點中取4個點時有3種共面情形(對棱中點連線兩兩相交且相互平分)，故4點不共面的取法為Ceq\o\al(4,10)－(60＋6＋3)＝141(種)．探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(3))分組、安排問題角度1：不同元素分組、安排問題例36本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．[解](1)先從6本書中選2本給甲，有Ceq\o\al(2,6)種選法；再從其余的4本中選2本給乙，有Ceq\o\al(2,4)種選法；最終從余下的2本書中選2本給丙，有Ceq\o\al(2,2)種選法；所以分給甲、乙、丙三人，每人2本，共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種方法．(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設有x種方法；其次步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有Aeq\o\al(3,3)種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝xAeq\o\al(3,3)，所以x＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法．(3)這是“不勻稱分組”問題，一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種方法．(4)在(3)的基礎上再進行全排列，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種方法．(5)可以分為三類狀況：①“2、2、2型”即(1)中的安排狀況，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種方法；②“1、2、3型”即(4)中的安排狀況，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種方法；③“1、1、4型”，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90種方法．所以一共有90＋360＋90＝540種方法．拓展提升“分組”與“安排”問題的解法(1)本題中的每一個小題都提出了一種類型的問題，搞清晰類型的歸屬對解題大有裨益．要分清是分組問題還是安排問題，這個是很關鍵的．(2)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全勻稱分組，每組的元素個數(shù)均相等，最終必需除以組數(shù)的階乘；②部分勻稱分組，應留意不要重復，有n組勻稱，最終必需除以n?。虎弁耆莿蚍Q分組，這種分組不考慮重復現(xiàn)象．(3)安排問題屬于“排列”問題，安排問題可以按要求逐個安排，也可以分組后再安排．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練3])按下列要求把12個人分成3個小組，各有多少種不同的分法？(1)各組人數(shù)分別為2,4,6人；(2)平均分成3個小組；(3)平均分成3個小組，進入3個不同車間．解(1)Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(6,6)＝13860.(2)eq\f(C\o\al(4,12)C\o\al(4,8)C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))＝5775.(3)分兩步：第一步平均分三組，其次步讓三個小組分別進入三個不同車間，故有eq\f(C\o\al(4,12)C\o\al(4,8)C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝34650種不同的分法．角度2：相同元素安排問題例46個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù)．(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子；(3)恰有兩個空盒子．[解](1)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)．(2)恰有一個空盒子，插板分兩步進行．先在首尾兩球外側放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有Ceq\o\al(2,5)種插法；然后將剩下的一塊隔板與前面隨意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有Ceq\o\al(1,4)種插法，故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＝40(種)．(3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進行．先在首尾兩球外側放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有Ceq\o\al(1,5)種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒．①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，如||00||0000|，有Ceq\o\al(2,3)種插法．②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|，有Ceq\o\al(1,3)種插法．故共有Ceq\o\al(1,5)·(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＝30(種)．拓展提升相同元素安排問題的處理策略(1)隔板法：假如將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法特地解決相同元素的安排問題．(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有Ceq\o\al(m－1,n－1)種方法．可描述為n－1個空中插入m－1塊板．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練4])將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中．(1)每盒至多一球，有多少種放法？(2)每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？(3)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？(4)把4個不同的小球換成20個相同的小球，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，有多少種放法？解(1)這是全排列問題，共有Aeq\o\al(4,4)＝24種放法．(2)1個球的編號與盒子編號相同的選法有Ceq\o\al(1,4)種，當1個球與1個盒子的編號相同時，用局部列舉法可知其余3個球的投放方法有2種，故共有Ceq\o\al(1,4)·2＝8種放法．(3)先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個．由于球是相同的，即沒有依次，所以屬于組合問題，故共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＝12種放法．(4)(隔板法)先將編號為1,2,3,4的4個盒子分別放入0,1,2,3個球，再把剩下的14個球分成四組，即在○○○○○○○○○○○○○○這14個球中間的13個空中放入三塊隔板，共有Ceq\o\al(3,13)＝286種放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即編號為1,2,3,4的盒子分別放入2,6,5,7個球．探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(4))排列、組合的綜合應用例5有5個男生和3個女生，從中選出5人擔當5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)．(1)有女生但人數(shù)必需少于男生；(2)某女生肯定擔當語文科代表；(3)某男生必需包括在內(nèi)，但不擔當數(shù)學科代表；(4)某女生肯定要擔當語文科代表，某男生必需擔當科代表，但不擔當數(shù)學科代表．[解](1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種，后排有Aeq\o\al(5,5)種，共(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400(種)．(2)除去該女生后，先取后排，有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840(種)．(3)先取后排，但先支配該男生，有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360(種)．(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種，再支配該男生有Ceq\o\al(1,3)種，其中3人全排有Aeq\o\al(3,3)種，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360(種)．拓展提升解決排列、組合綜合問題要遵循的兩個原則(1)按事情發(fā)生的過程進行分步；(2)按元素的性質進行分類．解決時通常從三個途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿意特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿意特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù)．eq\a\vs4\al([跟蹤訓練5])有4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．假如取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？解分三類：第1類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,2,3,4時，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)種．第2類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,1,4,4時，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)種．第3類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字2,2,3,3時，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)種．故滿意題意的全部不同的排法種數(shù)共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＋2Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝432.1.無條件限制的組合應用題．其解題步驟為：(1)推斷；(2)轉化；(3)求值；(4)作答.2.有限制條件的組合應用題(1)“含”與“不含”問題：這類問題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來講，特殊要先滿意，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，找尋問題的突破口，即采納解除法．解題時要留意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的準確含義，精確把握分類標準.(2)幾何中的計算問題：在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，將幾何問題抽象成組合問題來解決.(3)分組、安排問題：分組問題和安排問題是有區(qū)分的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同，是不行區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因元素不同，仍舊是可區(qū)分的.1．市內(nèi)某公共汽車站有6個候車位(成一排)，現(xiàn)有3名乘客隨意坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是()A．48B．54C．72D．84答案C解析依據(jù)題意，先將3名乘客進行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)排法，排好后，有4個空當，再將1個空位和余下的兩個連續(xù)的空位插入4個空當中，有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×12＝72(種)候車方式．選C.2．如圖是由6個正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個頂點中任取3個點作為一組．其中可以構成三角形的組數(shù)為()A．