2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-高考難點(diǎn)突破系列(二)圓錐曲線中的綜合問題-第四課時(shí) 求值、證明、探索性問題【課件】

第八章平面解析幾何高考難點(diǎn)突破系列(二)圓錐曲線中的綜合問題第四課時(shí)求值、證明、探索性問題題型一求值問題[規(guī)范解答]

解(1)當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形，①當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C中有兩個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，一個(gè)為左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C中有一個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，①當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，x1＝x2，y1＝－y2，因?yàn)閜＋x1＋x2＝0，則A(－2x1，0).當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓E上，由題易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，又直線l不過點(diǎn)A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.題型二證明問題例2(2024·長沙調(diào)研)如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2，0)，與y軸正半軸相交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圓C的方程；解設(shè)圓C的半徑為r(r>0)，依題意，圓心C的坐標(biāo)為(2，r).解得y＝1或y＝4，即點(diǎn)M(0，1)，N(0，4).①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1.所以∠ANM＝∠BNM.綜合①②知∠ANM＝∠BNM.感悟提升圓錐曲線中的證明問題常見的有：(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點(diǎn)等.(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明.題型三探索性問題(2)如圖，過Γ的上頂點(diǎn)P作動圓F1的切線分別交Γ于M，N兩點(diǎn)，是否存在圓F1使得△PMN是以PN為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓F1的半徑；若不存在，請說明理由.解不存在.理由：假設(shè)存在圓F1滿足題意，當(dāng)圓F1過原點(diǎn)O時(shí)，直線PN與y軸重合，直線PM的斜率為0，不合題意.依題意不妨設(shè)PM：y＝k1x＋2(k1≠0)，PN：y＝k2x＋2(k2≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，圓F1的半徑為r，感悟提升此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對參數(shù)的討論.訓(xùn)練3(2024·西安質(zhì)檢)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(2，m)在拋物線C上，且|MF|＝2.(1)求實(shí)數(shù)m的值及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解由題意得，因?yàn)辄c(diǎn)M(2，m)在拋物線上，所以22＝2pm，(2)不過點(diǎn)M的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若直線MA，MB的斜率之積為－2，試判斷直線l能否與圓(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此時(shí)直線l的方程；若不能，請說明理由.解由(1)得M(2，1)，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直線AB的方程為y＝kx＋2k＋9，即直線AB恒過拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)N(－2，9)，又圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好經(jīng)過點(diǎn)N(－2，9)，當(dāng)且僅當(dāng)直線AB與半徑MN垂直時(shí)直線AB與圓M相切，拓展視野非對稱韋達(dá)定理課時(shí)分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN(2)過點(diǎn)P(－2，1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N.當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求k的值.解由題可知直線BC的方程為y－1＝k(x＋2).設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2).消去y整理得(4k2＋1)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，則由Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋1)(16k2＋16k)>0，得k<0，解設(shè)M(x，y)，(2)已知點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝4與x軸交于點(diǎn)D，直線AM與l交于點(diǎn)N，是否存在常數(shù)λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.即∠MFD＝2∠NFD，所以存在λ

＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.(2)設(shè)雙曲線C的左頂點(diǎn)為A，直線l2平行于l1，且交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，求證：△AMN的垂心在雙曲線C上.所以MH⊥AN.又因?yàn)锳H⊥MN，所以H為△AMN的垂心.因?yàn)镠在雙曲線C上，所以△AMN的垂心在雙曲線C上.解

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，證明

不妨設(shè)矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在W上，則AB⊥BC，矩形ABCD