第09講-最值問(wèn)題之費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)

第9講最值問(wèn)題之費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)精講到三個(gè)定理的三條線段之和最小，夾角都為120°．旋轉(zhuǎn)與最短路程問(wèn)題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題，同時(shí)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問(wèn)題，比較重要的就是費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題．皮耶·德·費(fèi)馬（PieeredeFermat）是一個(gè)17世紀(jì)的法國(guó)律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家．之所以稱業(yè)余，是由于皮耶·德·費(fèi)馬具有律師的全職工作．他的姓氏根據(jù)法文與英文實(shí)際發(fā)音也常譯為“費(fèi)爾瑪”．費(fèi)馬最后定理在中國(guó)習(xí)慣稱為費(fèi)馬大定理，西方數(shù)學(xué)界原名“最后”的意思是：其它猜想都證實(shí)了，這是最后一個(gè)．著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家貝爾（E．T．Bell）在20世紀(jì)初所撰寫(xiě)的著作中，稱皮耶·德·費(fèi)馬為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”．貝爾深信，費(fèi)馬比皮耶·德·費(fèi)馬同時(shí)代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就，然而皮耶·德·費(fèi)馬并未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì)，因而貝爾認(rèn)為費(fèi)馬是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星．費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在一封寫(xiě)給意大利數(shù)學(xué)家埃萬(wàn)杰利斯塔·托里拆利（氣壓計(jì)的發(fā)明者）的信中提出的．托里拆利最早解決了這個(gè)問(wèn)題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個(gè)點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問(wèn)題也被稱作費(fèi)馬·托里拆利·斯坦納問(wèn)題，這一問(wèn)題的解決極大推動(dòng)了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義．結(jié)論：（1）平面內(nèi)一點(diǎn)P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的之和為PA＋PB＋PC，當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，距離之和最?。厥馊切沃校海?）三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以AB、BC、CA為邊，向三角形外側(cè)作正三角形ABC1，AB1C，BCA1，然后連接AA1，BB1，CC1，則三線交于一點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)．（3）若三角形有一內(nèi)角大于或等于120°，則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)．（4）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，此時(shí)內(nèi)心與費(fèi)馬點(diǎn)重合．下面簡(jiǎn)單說(shuō)明如何找點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA＋PB＋PC最?。窟@就是所謂的費(fèi)爾馬問(wèn)題．這時(shí)∠BPA＝180°－∠APP′＝180°－60°＝120°，∠APC＝∠AP′C′＝180°－∠AP′P＝180°－60°＝120°，∠BPC＝360°－∠BPA－∠APC＝360°－120°－120°＝120°，因此，當(dāng)△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)．費(fèi)爾馬問(wèn)題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小，解決問(wèn)題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．解析：如圖1，把△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′，連接PP′，則△APP′為等邊三角形，AP＝PP′，P′C＝PC，所以PA＋PB＋PC＝PP′＋PB＋P′C′．點(diǎn)C′可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點(diǎn)，BC′為定長(zhǎng)，所以當(dāng)B、P、P′、C′四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA＋PB＋PC最?。訖?quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型“加權(quán)”的意思就是“乘以權(quán)重”，即“乘以系數(shù)”的意思．加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)指三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離乘以系數(shù)時(shí)和的最小值問(wèn)題．限于初中知識(shí)的局限性，加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離乘以的系數(shù)是特殊的勾股系數(shù)，及他們的平方關(guān)系，而出題角度上由于最后計(jì)算部分只能是特殊角如120°，135°，150°的角度．通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)，將不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，或?qū)⒎稚⒌臈l件集中在一起，以便挖掘隱含條件，使問(wèn)題得以解決．【模型解析】在△ABC中有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，求aPA＋bPB＋cPC的最小值．?dāng)?shù)據(jù)處理原則求aPA＋bPB＋cPC的最小值（a、b、c為整數(shù)）①先將aPA＋bPB＋cPC的系數(shù)化簡(jiǎn)成一個(gè)系數(shù)為一的系數(shù)，通常這條線段不作為旋轉(zhuǎn)P與另兩個(gè)端點(diǎn)的三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)特殊角度進(jìn)行分析．②常見(jiàn)角度處理原則∠ACB為30°和旋轉(zhuǎn)角∠ACA′＝60°形成∠BCA′＝90°；∠ACB為30°和旋轉(zhuǎn)角∠ACA′＝90°形成∠BCA′＝120°；∠ACB為30°和旋轉(zhuǎn)角∠ACA′＝120°形成∠BCA′＝150°；∠ACB為45°和旋轉(zhuǎn)角∠ACA′＝90°形成∠BCA′＝135°；∠ACB為60°和旋轉(zhuǎn)角∠ACA′＝60°形成∠BCA′＝120°；∠ACB為60°和旋轉(zhuǎn)角∠ACA′＝90°形成∠BCA′＝150°；∠ACB為90°和旋轉(zhuǎn)角∠ACA′＝60°形成∠BCA′＝150°．這些較為常見(jiàn)的特殊角組合，在初中的知識(shí)結(jié)構(gòu)中能在直角三角形中進(jìn)行求解線段長(zhǎng)度．一般需要將加權(quán)的線段轉(zhuǎn)化為首尾順次相接，在運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解題．③【解題套路】處理數(shù)據(jù)aPA＋bPB＋cPC，這里我們以左右同時(shí)除以b，進(jìn)行說(shuō)明．處理后得AP＋BP＋CP．以A，C為旋轉(zhuǎn)中心，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，我們以C為旋轉(zhuǎn)中心為例，如上圖△P″A″C∽△P′A′C，在得到P″A″與PA的關(guān)系，由勾股定理與特殊三角形關(guān)系得到P′P″與PC的關(guān)系，當(dāng)B、P′、P″、A″共線時(shí)運(yùn)用兩點(diǎn)間線段最短進(jìn)行求解．④加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型典例等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為m，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋CP的最小值（a、b、c為勾股數(shù)或相等b≤a≤c）．［解析］將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，取CP′和CA′的點(diǎn)P″，A″使CP″＝CP′，A″C＝A′C，連接PP″．∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PC＝P′C，∵∠ACB＝60°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝150°，∴∠A′CG＝30°，∵CP″＝CP′，A″C＝A′C，∠A′CP′＝∠A′CP′，∴△P′A′C∽△P″A″C，∴P″A″＝PA，∵AC＝m，∴A″C＝，CF＝，A″F＝，∵在Rt△P′CP″中，CP″＝CP，∴PP″＝PC，∴求AP＋BP＋CP的最小值為B、P′、P″、A″共線，∴最小值BA″＝＝．典型例題【例1】閱讀下列材料對(duì)于任意的△ABC，若三角形內(nèi)或三角形上有一點(diǎn)P、若PA＋PB＋PC有最小值，則取到小值時(shí)，點(diǎn)P為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．①若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；②若三角形內(nèi)角均小于120°，則滿足條件∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°時(shí)，點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn)．解決問(wèn)題：（1）如圖，△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD、△ACE，連接CD、BE交于點(diǎn)P．證明：點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，（即證明∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°）且PA＋PB＋PC＝CD．（2）如圖，點(diǎn)Q為三角形內(nèi)部異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，證明：QA＋QC＋QB＞PA＋PB＋PC．（3）若∠ABC＝30°，AB＝3，BC＝4，直接寫(xiě)出PA＋PB＋PC的最小值．【答案】（1）詳細(xì)證明過(guò)程略：［提示，如圖］在線段CD上取點(diǎn)F，使得PF＝BP．第一階段：如圖以，先證明△ACD≌△AEB，可得CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，因此∠BPD＝∠BAD＝60°，∴∠BPC＝120°，得證明．第二階段：如圖二，因?yàn)镻B＝PF，∠BPF＝60°，可證△BPF為等邊三角形，則∠DFB＝120°．第三階段：如圖三，證明△ABP≌△DBF，則PA＝DF，∠BPA＝∠DFB＝120°，∴∠BPC＝∠BPA＝∠APC＝120°，且CD＝DF＋PF＋PC＝PA＋PB＋PC．（2）詳細(xì)證明過(guò)程略，如圖四，以BQ為邊構(gòu)造等邊△BQG，連接DG，證明△BGD≌△BQA，則DG＝QA，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，DG＋QG＋QC＞DC，則QA＋QC＋QB＞PA＋PB＋PC．（3）最小值為5．【例2】在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為4，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋PC的最小值．［解析］過(guò)C作AC的垂線截取A′C＝AC，過(guò)C作PC的垂線截取P′C＝PC．∵PC⊥P′C，AC⊥A′C，∴∠ACA′＝∠PCP′＝90°，∴∠ACP＝∠A′CP′，∵A′C＝AC，∠ACP＝∠A′CP′，P′C＝PC，∴△ACP≌△A′CP′，∴AP＝A′P′，∵PC⊥P′C，P′C＝PC，∴PP′＝PC，∴AP＋BP＋PC的最小值為B、P、P′、A四點(diǎn)共線時(shí)取最小值為A′B，∵∠ACA′＝90°，∠ACB＝60°，∴∠BCA′＝150°，∴∠A′CH＝30°，∵A′C＝4，∴A′H＝2，CH＝，∴A′B＝＝＝4．【例3】在△ABC中，BC為4，AC＝3，∠ACB＝45°，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋PC的最小值．將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，連接PP′．∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PC＝P′C，PA＝P′A′，∵∠ACB＝45°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝135°，∴∠A′CG＝45°，∴PA＝P′A′，∠PCP′＝90°，∴PP′＝PC，∵A′C＝3，∴A′G＝CG＝3，∴求AP＋BP＋PC的最小值為B、P、P′、A共線即可，∴最小值為BA′＝＝＝．【例4】在△ABC中，BC為4，AC＝3，∠ACB＝45°，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋PC的最小值．將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，取CP′和CA′的中點(diǎn)P′′，A′′，則CP′′＝CP′，CA′′＝CA′，連接PP′′．∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PC＝P′C，∵∠ACB＝45°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝135°，∴∠A′CG＝45°，∵CP′′＝CP′，CA′′＝CA′，∠A′CP′＝∠A′CP′，∴△P′A′C∽△P′′A′′C，∴P′′A′′＝P′A′，∵A′C＝3，∴A′′C＝，CF＝A′′F＝，∵在Rt△PCP′′中，CP′′＝CP，∴PP′′＝PC，∴求AP＋BP＋PC的最小值為B、P、P′′、A′′共線即可，∴最小值為BA′′＝＝＝．【例5】在正△ABC中，邊長(zhǎng)為4，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋PC的最小值．［解析］將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，在CP′和CA′上取點(diǎn)P′′，A′′，則CP′′＝CP′，CA′′＝CA′，連接PP′′、A′′P′′．∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PC＝P′C，∵∠ACB＝60°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝150°，∴∠A′CG＝30°，∵CP′′＝CP′，CA′′＝CA′，∠A′CP′＝∠A′CP′，∴△P′A′C∽△P′′A′′C，∴P′′A′′＝P′A′＝PA，∵A′C＝4，∴A′′C＝5，CF＝，A′′F＝，∵在Rt△PCP′′中，CP′′＝CP，∴PP′′＝PC，∴求AP＋BP＋PC的最小值為B、P、P′′、A′′共線即可，∴最小值為BA′′＝＝＝．【例6】在△ABC中，BC為6，AC＝4，∠ACB＝30°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋PC的最小值．將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，連接PP′′．∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PA＝P′A，PC＝P′C，∵∠ACB＝30°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝120°，∴∠A′CG＝60°，∵A′C＝4，A′G＝2，CG＝2，∵在Rt△PCP′′中，∠PCP′＝90°，PC＝P′C，PP′＝CP，∴求AP＋BP＋PC的最小值為B、P、A′共線即可，∴最小值為BA′＝＝＝2．【例7】在△ABC中，BC為6，AC＝4，∠ACB＝30°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋PC的最小值．［解析］將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，在CP′和CA′上取點(diǎn)P′′，A′′，則CP′′＝CP′，CA′′＝CA′，連接PP′′．∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PC＝P′C，∵∠ACB＝30°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝120°，∴∠A′CG＝60°，∵CP′′＝CP′，CA′′＝CA′，∠A′CP′＝∠A′CP′，∴△P′A′C∽△P′′A′′C，∴P′′A′′＝PA，∵A′C＝4，∴A′′C＝2，CF＝A′′F＝，∵在Rt△PCP′′中，CP′′＝CP，∴PP′′＝PC，∴求AP＋BP＋PC的最小值為B、P、P′′、A′′共線即可，∴最小值為BA′′＝＝＝2．【例8】在△ABC中，BC為6，AC＝4，∠ACB＝30°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋PC的最小值（求3AP＋BP＋5PC的最小值）．將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，在CP′和CA′上取點(diǎn)P′′，A′′，則CP′′＝CP′，CA′′＝CA′，連接PP′′．∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PC＝P′C，∵∠ACB＝30°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝120°，∴∠A′CG＝60°，∵CP′′＝CP′，CA′′＝CA′，∠A′CP′＝∠A′CP′，∴△P′A′C∽△P′′A′′C，∴P′′A′′＝PA，∵A′C＝4，∴A′′C＝3，CF＝A′′F＝，∵在Rt△PCP′′中，CP′′＝CP，∴PP′′＝PC，P193—204∴求PA＋BP＋PC的最小值為BPP″A″共線即可.∴最小值BA″＝＝＝3.【注意】求3PA＋4BP＋5PC的最小值先求PA＋BP＋PC的最小值即可，最后將最小值乘以4即可，3PA＋4BP＋5PC的最小值為4×3＝12.【例9】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最?。虎诋?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為＋1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).解析（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠MBA＝∠NBE.又∵M(jìn)B＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.（2）如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB,∴△BMN是等邊三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短.∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).（3）過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F,∴∠EBF＝∠ABF－∠ABE＝90°＝60°＝30°.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2,∴.解得，x1＝,x2＝－(舍去負(fù)值).∴正方形的邊長(zhǎng)為.【例10】如圖，矩形紙片ABCD（AD＞AB）中，將它折疊，使點(diǎn)A與C重合，在矩形ABCD中，AB＝600,BC＝1000，P是內(nèi)部一點(diǎn)，Q是BC邊上任意一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P、Q的位置，使得PA＋PD＋PQ最小，并求出這個(gè)最小值.解析點(diǎn)Q是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD的中垂線上且滿足∠ADP＝120°.最小值為600＋500.【例11】已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°；P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PA＋PB＋PC≥OA＋OB＋OC.（O為費(fèi)馬點(diǎn)）解析以B為旋轉(zhuǎn)中心，60°為旋轉(zhuǎn)角，將點(diǎn)P、O、C分別旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P′、O′、C′，連接OO′、PP′.則△POO′、△BPP′都是正三角形.∴OO′＝OB，PP′＝PB.顯然△BO′C′≌△BOC,△BP′C′≌△BPC.由于∠BO′C′＝∠BOC＝120°＝180°－∠BO′O，∴A、O、O′、C′四點(diǎn)共線.【例12】已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為＋，求此正方形的邊長(zhǎng).解析如圖，連接AC，把△AEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GFC，連接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等邊三角形，則EF＝CE.又FG＝AE，∴AE＋BE＋CE＝BE＋EF＋FG.∵點(diǎn)B、點(diǎn)G為定點(diǎn)（G為點(diǎn)A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得）.∴線段BG即為點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E、F兩點(diǎn)都在BG上.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，那么BO＝CO＝a，GC＝a,GO＝a.∴BG＝BO＋GO＝a＋a.∵點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為＋.∴a＋a＝＋，解得a＝2.相似鞏固1.在邊長(zhǎng)為4的正△ABC中有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求PA＋PB＋PC的最小值.將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，取CP′和CA′的中點(diǎn)P″，A″，連接PP″.∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PC＝P′C.∵∠ACB＝60°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝150°，∴∠A′CG＝30°.∵取CP′和CA′的中點(diǎn)P″，A″，∴CP″＝CP,P″A″＝PA.∵A′C＝4,∴A″C＝2,CF＝，A″F＝1，·∵在Rt△PCP″中CP″＝CP，∴PP″＝PC.∴求PA＋PB＋PC的最小值為BPP″A″共線，∴最小值為BA″＝＝＝2.2.如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)，連結(jié)PA、PB、PC，則PA＋PB＋PC的最小值為.【解析】△BPC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，可得△PBE為等邊三角形，若PA＋PB＋PC＝AP＋PE＋EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，求出AF的值即可.【詳解】△BPC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，可得△PBE為等邊三角形.即得PA＋PB＋PC＝AP＋PE＋EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA＋PB＋PC＝AF.此時(shí)∠EBC＋∠CBP＝∠FBE＋∠EBC＝60°＝∠FBC，所以∠ABF＝90°＋60°＝150°，∠MBF＝30°，BM＝,MF＝1,則AM＝2＋,在△AMF中，勾股定理得：AM2＋MF2＝AF2,AF＝＝＋.4.如圖，△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn).若AP＋BP＋CP的最小值為2，則BC＝.【解析】如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG.連接PG，CM.首先證明當(dāng)M，G，P,C共線時(shí)，PA＋PB＋PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，想辦法求出AC的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.【詳解】如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG.連接PG，CM.∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS）,∴PC＝PB，∵M(jìn)G＝PB，AG＝AP,∠GAP＝60°，∴△GAP為等邊三角形，∴PA＝PG.∴PA＋PB＋PC＝CP＋PG＋GM,∴當(dāng)M，G，P,C共線時(shí)，PA＋PB＋PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，∵AP＋BP＋CP的最小值為2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝1，作BN⊥AC于N，則BN＝AB＝1,AN＝,CN＝2－,∴BC＝＝＝－.【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題.5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－6,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4），延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D使得CD＝AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，設(shè)G為y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y＝－x＋6與y軸的交點(diǎn)M出發(fā)，先沿y軸到達(dá)點(diǎn)G，再沿GA到達(dá)點(diǎn)A，若點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定點(diǎn)G的位置，使點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)A所應(yīng)的實(shí)際最短.解：∵t＝＋＝，∴當(dāng)2GA＋GM最小時(shí)，時(shí)間最短.如圖，假設(shè)在OM上存在一點(diǎn)G，則BG＝AG，∴MG＋2AG＝MG＋AG＋BG.把△MGB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△M′G′B,連接GG′,MM′.∴△GG′B、△MM′B都為等邊三角形，則GG′＝G′B＝GB，又M′G′＝MG.∴MG＋AG＋BG＝M′G′＋GG′＋AG，∵點(diǎn)A，M′為定點(diǎn)，∴AM′與OM的交點(diǎn)為G，此時(shí)MG＋AG＋BG最小，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,2）.6.A、B、C、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每?jī)蓚€(gè)城市之間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)度最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？解：如圖，將△ABP繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EBM；同樣，將△DCQ繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△FCN，連結(jié)AE、DF，則△ABE、△DCF均為等邊三角形，連結(jié)PM、QN，則△BPM，△CQN均為等邊三角形.所以當(dāng)點(diǎn)E、M、P、Q、N、F共線時(shí)，整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)取到最小值，為線段EF的長(zhǎng)，如圖，此時(shí)點(diǎn)P、Q在EF上.7.如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BC＝3,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值，并確定當(dāng)PA＋PB＋PC取得最小值時(shí)，∠APC的度數(shù).答案：PA＋PB＋PC的最小值為7，此時(shí)∠APC＝120°.【提示】如圖，將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′BP′，連結(jié)PP′，A′C.過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，解Rt△A′EC求A′C的長(zhǎng)，所得即為PA＋PB＋PC的最小值.跟蹤檢測(cè)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－6,0），B（6,0），C（0,4），延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使CD＝AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F，分別連結(jié)DF、EF，若過(guò)B點(diǎn)的直線y＝kx＋b將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y＝kx＋b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.分析和解：（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)（3,6）（過(guò)程略）.（2）直線BM的解析式為y＝－x＋6(過(guò)程略).（3）如何確定點(diǎn)G的位置是本題的難點(diǎn)也是關(guān)鍵所在.設(shè)Q點(diǎn)為y軸上一點(diǎn)，P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度為v，則P沿MQA運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為＋,使P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短，就是MQ＋AQ最小，或MQ＋2AQ最小，或MQ＋2AQ最小.解法1∵BQ＝AQ，∴MQ＋2AQ最小就是MQ＋AQ＋BQ最小，就是在直線MO上找到G使他到A、B、M三點(diǎn)的距離和最小.至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個(gè)費(fèi)爾馬問(wèn)題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換.把△MQB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△M′Q′B，連接QQ′，MM′（圖5），可知△QQ′B、△MM′B都是等邊三角形，則QQ′＝BQ.又M′Q′＝MQ，∴MQ＋AQ＋BQ＝M′Q′＋QQ′＋AQ.∵點(diǎn)A、M′為定點(diǎn)，所以當(dāng)Q，Q′兩點(diǎn)在線段AM′上時(shí)，MQ＋AQ＋BQ最小.由條件可證明Q′點(diǎn)總在AM′上，所以AM′與OM的交點(diǎn)就是所要的G點(diǎn)（圖6）.可證OG＝MG.圖5圖6圖7解法2考慮MQ＋AQ最小，過(guò)Q作BM的垂線交BM于K，由OB＝6,OM＝6,可得∠BMO＝30°，所以QK＝MQ.要使MQ＋AQ最小，只需使AQ＋QK最小，根據(jù)“垂線段最短”，可推出當(dāng)點(diǎn)A、Q、K在一條直線上時(shí)，AQ＋QK最小，并且此時(shí)的QK垂直于BM，此時(shí)的點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)G（圖7）.過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BM于H，則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn).由OB＝6,OM＝6,可得∠OBM＝60°，∴∠BAH＝30°.在Rt△OAG中，OG＝AO·tan∠BAH＝2.∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）（G點(diǎn)為線段OC的中點(diǎn)）.2.在△ABC中，BC為4，AC＝3,∠ACB＝45°，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋PC的最小值.分析由AP＋BP＋PC左右同除以，求AP＋BP＋PC即可.將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，取CP′和CA′的點(diǎn)P″，A″使CP″＝CP′，A″C＝A′C，連接PP″.∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴∠A′CG＝45°.∵CP″＝CP′，A″C＝A′C，∠A′CP′＝∠A′CP′，∴△P′A′C∽△P″A″C，∴P″A″＝PA.∵A′C＝3，∴A″C＝3，CF＝A″F＝.∵在RT△PCP″中，CP″＝CP，∴PP″＝PC.∴求AP＋BP＋PC的最小值為BPP″A″共線即可.∴最小值BA″＝＝＝.∴由AP＋BP＋PC的最小值為BA″＝.3.在邊長(zhǎng)為4的正△ABC中有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求PB＋PC＋PA的最小值.將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，取CP′和CA′的點(diǎn)P″，A″，使CP″＝CP′，A″C＝A′C，連接PP″，∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△A′CP′，∴PC＝P′C，∵∠ACB＝60°，∠ACA′＝90°，∴∠A′CB＝150°，∴∠A′CG＝30°，∵CP″＝CP′，A″C＝A′C，∠A′CP′＝∠A′CP′，∴△P′A′C∽△P″A″C，∴P″A″＝PA.∵A′C＝4，∴A″C＝2,CF＝,A″F＝1.∵在RT△PCP″中，CP″＝CP，∴PP″＝PC.∴求PB＋PC＋PA的最小值為BPP″A″共線，∴最小值BA″＝＝＝.4.在△ABC中有一點(diǎn)P連接PA、PB、PC，AC＝2，BC＝2，求PA＋PB＋PC的最小值.（補(bǔ)充：在120°的等腰三角形中，三邊比為1:1：，考試需要簡(jiǎn)單證明）將△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得△A′CP′，連接PP′.∵△ACP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得△A′CP′，∴PC＝P′C.∵∠ACB＝30°，∠ACA′＝120°，∴∠A′CB＝150°，∴∠A′CG＝30°.∵A′C＝2,∴CG＝，A′G＝1.∵在120°的等腰△PCP′中，∴PP′＝PC.∴求PA＋PB＋PC的最小值為BPP′A′共線，∴最小值BA′＝＝＝2.5.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P為四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，∠APD＝120°，證明：PA＋PD＋PC≥BD.【答案】如圖所示，在四邊形ABCD外側(cè)作等邊△AB′D，由∠APD＝120°可知四邊形APDB′符合（1）的條件，連接B′P，則B′P＝PA＋PD.連接B′C，則易知B′C≤PB′＋PC，即B′C≤PA＋PD＋PC.此時(shí)，解題的目標(biāo)是證明BD＝B′C.因?yàn)椤鰽B′D是等邊三角形，故AB′＝AD，∠B′AD＝60°.連接AC，易知△ABC為等邊三角形，故AC＝AB,∠BAC＝60°.在△ABD和△ACB′中，∠BAD＝∠CAD＋∠BAC＝∠CAD＋∠DAB′＝∠CAB′,AB＝AC.AD＝AB′,故△ABD≌△ACB′.從而B(niǎo)D＝B′C.故PA＋PD＋PC≥BD.6.如圖，已知兩條直線a∥b，直線a、b間的距離為h，點(diǎn)M、N在直線a上，MN＝x；點(diǎn)P在直線b上，并且x＋h＝40.(1)記△PMN的面積為S，①求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出MN的長(zhǎng)為多少時(shí)△PMN的面積最大？最大面積是多少？②當(dāng)△PMN的面積最大時(shí)，能求出∠PMN正切值嗎？為什么？（2）請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法確定△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的位置（要求不寫(xiě)作法，但保留作圖痕跡）；并判斷∠PMN的形狀；

（3）請(qǐng)你在（2）②中得到的△PMN內(nèi)求一點(diǎn)P，使得AP+AM+AN的和最小，求出AP+AM+AN和的最小值.【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)x+h＝40得出h＝40－x，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

②因?yàn)橹灰狹N＝h＝20，P在直線b上任意位置時(shí)，△PMN的面積取得最大值，因?yàn)椴荒艽_定P點(diǎn)位置，所以△PMN得大小無(wú)法確定，因此不能求出∠PMN的正切值；

（2）①作出△PMN，由圖可知△PMN是以線段MN為底的等腰三角形；

②根據(jù)勾股定理求出PN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論；

（3）將△MPA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MP’A’，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出P'A'A'＝PA，∠MA'P＝120°.連接AA'，則△MAA'是等邊三角形.由此可得出P'，A'，A，N四點(diǎn)在一條直線上，故AP+AM+AN＝P'A'+AA'+AN＝P'N，所以AP+AM+AN和的最小值等于P'N的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)論.

試題解析：（1）①：x+h＝40，h＝40－x，s＝x(40－x)＝x2+20x，

∵s＝－(x－20)2+200，∴當(dāng)MN＝20時(shí)，△PMN的面積最大，最大面積為200；

②不能.

因?yàn)橹灰狹N＝h＝20，P在直線b上任意位置時(shí)，△PMN的面積取得最大值，因?yàn)椴荒艽_定P點(diǎn)位置，所以么∠PMN得大小無(wú)法確定，因此不能求出∠PMN的正切值；

(2)如圖1，△PMN是以線段MN為底的等腰三角形.圖1 圖2（3）如圖2，在等腰△PMN的頂角∠MPN的平分線上取點(diǎn)A，使得∠AMN＝∠ANM＝30°，點(diǎn)A在此處可使得AP+AM+AN的和最小.

∵此時(shí)∠MAP＝∠NAP＝∠NAM＝120°.將△MPA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MP'A'.

∴P'A'＝PA，∠MA'P'＝120°，連接AA'，則△MAA'是等邊三角形.∴MA＝AA'，∠MA'A＝∠NAA'＝60°.∴∠MA'P+MAA'＝MAA'+∠MAN＝180°.即P'，A'，A，N四點(diǎn)在一條直線上，∴AP+AM+AN＝P'A'+AA'+AN＝P'N，AP+AM+AN和的最小值等于P'N的長(zhǎng)，

此時(shí)，NA＝MA＝10÷cos30°＝，AB＝10×tan30°＝，

∴AP+AM+AN的最小