福建省福州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期福州市高二年級質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】有，可得，再根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以又，所以，解得故選：C2.經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】兩直線平行，斜率相等，所以與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線可以設(shè)為Ax＋By＋＝0，代入經(jīng)過的點(diǎn)，即可求出﹒【詳解】令與直線平行的直線方程為，由題意可得，點(diǎn)在直線上，所以解得，所以所求直線的方程為：故選：B3.在等比數(shù)列中，若，，則（）A.6 B.8 C. D.16【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的定義求出公比q，從而可求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，，，所以所以，所以，故選：D4.如圖，在長方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn).設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算求解.【詳解】，故選：B5.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求解即得.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)，則，解得，所以點(diǎn)到軸的距離為4.故選：D6.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，，，可得的面積.【詳解】在橢圓中，，，，則，點(diǎn)在上，，所以，則.故選：A7.已知數(shù)列滿足，，則的前25項(xiàng)和為（）A.2 B.12 C.13 D.14【答案】D【解析】【分析】通過計(jì)算出等的值可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個周期為3的周期數(shù)列，從而可得前25項(xiàng)和．【詳解】由以上可知，數(shù)列是一個周期為3的周期數(shù)列，，又，又的前25項(xiàng)和為.故選：D.8.已知為原點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由確定的軌跡方程，通過與圓由交點(diǎn)，求解即可；【詳解】設(shè)，由可得，化簡得的軌跡方程為，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，若圓上存在點(diǎn)使得，則圓與圓有公共點(diǎn).因?yàn)閮蓤A的圓心距為4，所以，解得：，所以.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知點(diǎn)，，，則（）A.是直角三角形B.邊上的高所在直線的方程是C.的面積是1D.邊上的中線所在直線的方程是【答案】ABC【解析】【分析】由，可判斷A；邊上的高斜率為0，可求邊上的高所在直線的方程，判斷B；求，由直角三角形面積判斷C；求出點(diǎn)，中點(diǎn)，再求，即可得邊上的中線所在直線的方程，判斷D.【詳解】根據(jù)題意，，，則，所以，是直角三角形，A正確；由，所以邊上的高斜率為0，邊上的高則所在直線的方程是，B正確；由，所以，C正確；由點(diǎn)，中點(diǎn)，則，所以邊上的中線所在直線的方程是，即，D錯誤.故選：ABC.10.將邊長為2的正方形（圖1）沿對角線折成直二面角（圖2），則（）A. B.C.直線與所成角為 D.點(diǎn)到平面的距離是【答案】BD【解析】【分析】對于A，由題意可得折疊后AB與CD異面，可判斷A；對于B，取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，AC，證明平面，即可判斷B；對于C，通過取分別取的中點(diǎn)，利用中位線平移異面直線，得出異面直線所成角為，證明為等邊三角形，即可判斷C；對于D，利用等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離.詳解】對于A，折疊后，AB與CD異面，并不平行，故A錯；對于B，取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，AC，由題意可得，，所以平面,又平面，所以，故B正確；對于C，分別取的中點(diǎn),連接，則，所以（或補(bǔ)角）為直線與所成角，因?yàn)橹倍娼?，又，平面平面，所以平面，取BO的點(diǎn)M，連接EM，易知，所以平面，平面，所以，在中，，，即，所以，所以，即直線與所成角為，故C錯誤；對于D，由選項(xiàng)C知，平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，在中，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離是h，，解得，故D正確.故選：BD11.已知曲線，則（）A.點(diǎn)在曲線上B.曲線關(guān)于軸對稱C.直線與曲線無交點(diǎn)D.當(dāng)直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)時，的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】直接將點(diǎn)代入曲線方程即可判斷A；上的任意一點(diǎn)，將關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為代入的方程，方程是否變化可判斷B；通過分的正負(fù)四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，再結(jié)合雙曲線性質(zhì)可判斷C；由C知，直線只可能與會有兩個交點(diǎn)，聯(lián)立方程，利用判別式和數(shù)形即可即可判斷D.【詳解】將代入曲線的方程可得，所以A正確；設(shè)為上的點(diǎn)，則，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，代入的方程為，所以B錯誤；曲線的方程化簡為根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知直線為曲線的漸近線，所以與曲線無交點(diǎn)，所以C正確；由可得，，所以，由圖象知，當(dāng)時直線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，所以當(dāng)直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)時，的取值范圍為，所以D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.準(zhǔn)線為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______________【答案】【解析】【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程寫出拋物線方程即可.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為，故，則拋物線方程為.所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：13.某汽車集團(tuán)計(jì)劃大力發(fā)展新能源汽車，2024年全年生產(chǎn)新能源汽車10000輛，如果在后續(xù)的幾年中，后一年的產(chǎn)量在前一年的基礎(chǔ)上提高20%，那么2032年全年生產(chǎn)新能源汽車約_____輛.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】43000【解析】【分析】將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)知識求基本量即可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，從2024年開始，每一年新能源汽車的產(chǎn)量構(gòu)成等比數(shù)列，則，公比，所以，則2032年全年約生產(chǎn)新能源汽車為（輛），故2032年全年生產(chǎn)新能源汽車約43000輛.故答案為：43000.14.如圖，是雙曲線的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線分別交的左、右兩支于兩點(diǎn).若，且線段的中點(diǎn)在的一條漸近線上，則的離心率為_____.【答案】【解析】【分析】因?yàn)镺，M為中點(diǎn)，得出，結(jié)合，得出，用點(diǎn)到直線的距離公式可以求得，進(jìn)而求得，從而求得，，再結(jié)合雙曲線定義即可求解.【詳解】如圖，設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，，與漸近線的交點(diǎn)為，由題意可知M為的中點(diǎn)，由雙曲線對稱性可知，O為的中點(diǎn)，所以，由得，，所以，又，漸近線，所以，所以，所以，，又由雙曲線的定義可知，所以，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和的最大值.【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）在等差數(shù)列中，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可求得首項(xiàng)和公差，從而得通項(xiàng)公式；（2）思路一：由等差數(shù)列求和公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可求最值；思路二：由易知當(dāng)時，；從第4項(xiàng)起，均為負(fù)項(xiàng)，所以前3項(xiàng)的和為最大值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，依題意，得解方程組，得所以；【小問2詳解】解法一：.因?yàn)?，所以?dāng)時，的最大值為9.解法二：（1）同解法一；（2）由，可得：當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以.即當(dāng)時，最大，因?yàn)?，所以的最大值?.16.已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求的方程；（2）若直線與交于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法一：設(shè)圓的表示方程，根據(jù)條件利用待定系數(shù)法，即可求解；解法二：首先求的垂直平分線方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求圓心和半徑，即可求解；（2）解法一：代入直線與圓相交的弦長公式，即可求解；解法二：聯(lián)立直線和圓的方程，求交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求兩點(diǎn)間距離.【小問1詳解】解法一：設(shè)圓的方程為，依題意，得解方程組，得所以圓的方程為；解法二：（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線的方程是，由得圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】解法一：圓心到直線的距離，所以.解法二：由得，，設(shè)，，，所以，，所以，，所以.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，.（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量求其夾角余弦值.【小問1詳解】設(shè)棱的中點(diǎn)為，連接，，如圖所示，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所?又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，AD，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，，，，取平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則即令，得.所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記.（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）若對任意的，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）應(yīng)用計(jì)算化簡得出等比數(shù)列進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；（2）（i）應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算得出，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消計(jì)算求和；（ii）分和時結(jié)合作差法證明數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算求參.【小問1詳解】因?yàn)?，故?dāng)時，，兩式相減得：，即，當(dāng)時，，解得：，可知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】（i）可知：.所以；（ii）對任意的，，即對任意，，等價(jià)于對任意的，，當(dāng)時，不等式顯然成立；當(dāng)時，不等式等價(jià)于對任意的，，設(shè)，因?yàn)?，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）定義：若橢圓上的兩個點(diǎn)，滿足，則稱M，N為該橢圓的一個“共軛點(diǎn)對”，記作.（i）證明：存在兩個點(diǎn)使得是的“共軛點(diǎn)對”，并求的坐標(biāo)；（ii）設(shè)（i）中的兩個點(diǎn)分別為，，已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，則直線上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值.若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；，；（ii）存在，【解析】【分析】（1）由點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程求解即可；（2）（i）由新定義列出等式求解即可；（ii）設(shè)，直線，，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到，再由其定值得到求解即可.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，得，解方程組，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】（i）設(shè)，根據(jù)“共軛點(diǎn)對”定義可知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解方程組，得或，所以有兩個點(diǎn)滿足“共軛點(diǎn)對”，且點(diǎn)的