福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

龍巖市2024~2025學(xué)年第一學(xué)期期末高一教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.考生將自己的姓名、準考證號及所有的答案均填寫在答題卡上.2.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.請把答案填涂在答題卡上.1.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合B，再結(jié)合Venn圖運算求解即可.【詳解】因為，且圖中陰影部分表示的集合為.故選：C2.若角終邊上一點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】因為角終邊上一點，所以.故選：B.3.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.4.若，，，則它們的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再利用0，1比較大小即可得解.【詳解】因為，所以．故選：D.5.若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的過定點（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到方程，求出，從而，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得到所過定點坐標(biāo).【詳解】為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意得且，解得，故，令得，則，所以的過定點.故選：B6.分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑，在另外兩個頂點之間畫一段劣弧，由這樣的三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖所示.已知某勒洛三角形的周長是，則該勒洛三角形的面積是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勒洛三角形的性質(zhì)與弧長公式，求得等邊三角形的邊長，利用扇形面積公式以及三角形面積公式，結(jié)合圖形組合，可得答案.【詳解】設(shè)等邊的邊長為，的長度為，解得，以為圓心，所得的扇形的面積為，等邊的面積為，勒洛三角形的面積為.故選：A.7.若，，則的值為（）A. B.0 C. D.1【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用兩角和差的正弦及正切公式計算求解得出，最后應(yīng)用對數(shù)運算化簡求值.【詳解】因為，又因，所以所以，，則.故選：A.

8.若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.無數(shù)個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達式確定函數(shù)在（）上是增函數(shù)且，零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點個數(shù)，作出它們的大致圖象后，觀察可得交點個數(shù)，從而得結(jié)論．【詳解】由得，在區(qū)間上的函數(shù)值都是區(qū)間上相應(yīng)函數(shù)值的一半，，又時，是增函數(shù)，即，記，因此時，，函數(shù)的零點個數(shù)，即的正解的個數(shù)，即的正解的個數(shù)，即函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)，令，它在上是減函數(shù)，，，，，當(dāng)時，，作出和在上圖象，如圖，由圖可知：在時，的圖象與的圖象沒有交點，所以在上，它們只有三個交點，所以的零點個數(shù)為3.故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)零點的意義，將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點，并作出圖象是求解的關(guān)鍵.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.請把答案填涂在答題卡上.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.將函數(shù)上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的C.的一個對稱中心是D.當(dāng)時，函數(shù)的值域是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD；利用平移變換求出解析式判斷B.【詳解】對于A，的最小正周期為，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，是的對稱中心，C正確；對于D，當(dāng)時，，，D錯誤.故選：AC10.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可判斷A；結(jié)合指數(shù)運算利用基本不等式求解即可判斷B；變形后利用基本不等式求解判斷C；結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性利用基本不等式求解判斷D．【詳解】對于A，因為，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因為在定義域上單調(diào)遞增，所以，故A正確；對于B，由，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時的最小值為8，故B錯誤；對于C，由題得，故，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時時等號成立，此時有最小值8，即，即，又單調(diào)遞增且，所以，故D正確．故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)B.C.若，使得成立，則D.函數(shù)（且的與函數(shù)的的所有交點縱坐標(biāo)之和為20【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性的性質(zhì)判斷A；結(jié)合指數(shù)運算得，即可判斷B；結(jié)合函數(shù)的對稱性，參變分離得在有解，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)最值即可判斷C；畫出兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象，根據(jù)對稱性和周期性求和判斷D.【詳解】對于A，易知當(dāng)時，，時，由單調(diào)遞增可得在以及上分別為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯誤；對于B，易知函數(shù)滿足，因此可得關(guān)于對稱，，即B正確；對于C，由，即，即在有解，因為，所以，所以，所以可得，解得，即C錯誤；對于D，畫出函數(shù)以及的如下圖所示：易知也關(guān)于對稱，的周期為4，一個周期與有兩個交點，所以與在共20個交點，即，故D正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】【解析】【分析】利用根式的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算及對數(shù)的運算性質(zhì)求解.【詳解】.故答案為：.13.函數(shù)（，）在一個周期內(nèi)的如圖所示，則______.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，從而求出的值．【詳解】根據(jù)函數(shù)（，）在一個周期內(nèi)的圖像，可得,解得，再根據(jù)最高點的坐標(biāo)，可得,結(jié)合的范圍，可得，所以，所以，故選：14.若函數(shù)的值域為，且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先把函數(shù)化簡結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域應(yīng)用已知得出，再結(jié)合基本不等式計算得出最大值即可.【詳解】，因為，所以，所以函數(shù)值域為，故，則，因為，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用單調(diào)性的定義按照步驟證明即可；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解.【小問1詳解】證明：取任意，，且，有，由，可得，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由在上單調(diào)遞增，可得在上，，依題意得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù).（1）若，且，求的值；（2）若，且，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡得，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，即可得解；（2）結(jié)合已知角的范圍及同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，，然后利用兩角差的正弦公式求得，然后根據(jù)角的范圍求解角即可.【小問1詳解】，由，得，又，所以，所以.【小問2詳解】由得，所以，又，所以.由于，故，，，所以，，故，，所以，又因為，故.17.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合對數(shù)的運算公式，可得答案；（2）代入（1）所得函數(shù)解析式，利用配方法與換元法構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】由題意得：，即，所以，其中，所以，解得：.【小問2詳解】由（1）得，所以，令，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，故的最小值為，等價于，解得：；或，無解.綜上：.18.已知函數(shù)，其中，.（1）若，且是函數(shù)的一條對稱軸，求的最小值；（2）若，且存在，，使成立，求的取值范圍；（3）若，，且不等式對恒成立，求的值.【答案】（1）3（2）（3）【解析】分析】（1）先利用輔助角公式化簡函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)對稱軸列式求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)的最大值為，令，由題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個最大值點，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為：不等式對恒成立，分類討論研究的函數(shù)值符號，轉(zhuǎn)化為當(dāng)或時，，當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)，根據(jù)對稱性得，由求得，即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，由已知得，得，由，故當(dāng)時，有最小正值3；【小問2詳解】當(dāng)時，，其最大值為，由已知條件，存在，，令，則函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個最大值點，則，即，所以的取值范圍為；【小問3詳解】時，問題轉(zhuǎn)化為：不等式對恒成立，由，則，當(dāng)或時，即或時，，當(dāng)時，即時，，所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以，所以，解得，又由，解得，所以.19.雙曲函數(shù)在實際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù).（1）證明：；（2）求證：函數(shù)存在唯一零點且；（3）令，對任意，，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲函數(shù)的運算性質(zhì)和指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡計算即可得證；（2）通過逐段分析得函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點存在定理確定在上有且僅有一個零點，且，從而得，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得證；（3）由題設(shè)知對任意，，成立，而，故對于任意成立，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，繼而轉(zhuǎn)化為對于任意成立，結(jié)合解不等式以及函數(shù)單調(diào)性，即可求得答案.【小問1詳解】證明：右邊左邊.所以【小問2詳解】證明：當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增.又，由于，而，所以.又，所以由零點存在定理得在內(nèi)有唯一零點，使得.-當(dāng)時，，所以，則在上無零點；當(dāng)時，，所以，則在上無零點.綜上，在上有且僅有一個零點所以，且，則.由函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故【小問3詳解】令，對任意，，都有，求實數(shù)的取值范圍.因為對于任意都有成立，