第11講-分離參數(shù)與分離函數(shù)(解析版)

加QQ309000116進百度群內(nèi)容2000G分成20多類自動更新永久服務第11講分離參數(shù)與分離函數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2021?浙江模擬）對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解答】解：對任意的，不等式恒成立，即恒成立，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又時，，原問題等價于恒成立，則，即在恒成立，設，則，令，解得，當時，遞減，時，遞增，則（1），故．即．另解：，等價為，設，，可得在遞增，則，當時，恒成立；當時，可得，可得，即有，由的導數(shù)為，可得時，遞減，時，遞增，可得處取得最大值，所以．故選：．2．（2021?桃城區(qū)校級三模）已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解答】解：即為，設，則上式對任意的實數(shù)恒成立，顯然是上的增函數(shù)，，故選：．3．（2021?西湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：令，問題等價于在上恒成立因為時，，所以只需在上遞減，即，恒成立，即，．．故選：．4．（2021?運城模擬）設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，即為，設，，，令，可得，由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象，可得和有且只有一個交點，設為，當時，，遞增；當時，，遞減．即有在處取得極小值，且為最小值．即有，令，可得，．則當時，不等式恒成立．則的最小值為．另解1：由于與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于對稱，考慮極限情況，恰為這兩個函數(shù)的公切線，此時斜率，再用導數(shù)求得切線斜率的表達式為，即可得的最小值為．另解2：不等式恒成立，即為，即有，可令，可得在遞增，則，即有，由的導數(shù)為，當時，遞減．時，遞增，可得時，取得最大值．則，的最小值為．故選：．5．（2021秋?10月份月考）設，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：由題意可知，不等式在上恒成立，則對上恒成立，設，，，令，解得，所以當，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，取極大值，即為最大值，最大值為，所以，，所以的取值范圍為，故選：．6．（2021秋?江西月考）對任意，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B．， C．， D．，【解答】解：因為對任意，，不等式恒成立，所以對任意，，不等式恒成立，令，，，，，，令，，，，在，上單調(diào)遞增，所以且，當時，，所以存在，，，即，所以，所以在，上，，單調(diào)遞減，在，上，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，，，所以單調(diào)遞增，所以，所以，所以在，上，，單調(diào)遞增，所以，所以，故選：．7．（2021秋?南關(guān)區(qū)校級月考）設實數(shù)，若對任意的，不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：因為，不等式，即，進而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，進而轉(zhuǎn)化為恒成立，設，可得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為（e），所以，即實數(shù)的取值范圍是，．故選：．8．（2021秋?江西月考）不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：因為不等式，所以，因為，所以，所以對任意恒成立，設，，則，所以，故，當且僅當時“”成立，又方程在內(nèi)有解，所以，即的取值范圍是，，故選：．9．（2021秋?長治月考）函數(shù)，對，成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：由題意可知，，成立，所以對恒成立，設，所以對恒成立，即，則，令，解得，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以（1），所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為，．故選：．10．（2021春?河南期中）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是實數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：解法一：利用排除法，當時，，（1），故不合題意，選項錯誤，當時，，（1），故不合題意，選項錯誤，故選：．解法二：由題意可得：，令，則，所以當時，’，當時’，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（1），由恒成立的結(jié)論可知．故選：．二．解答題（共9小題）11．（2021秋?廣陵區(qū)校級月考）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知正數(shù)滿足（1），試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）不等式在上恒成立，即為，由，即在恒成立，令，，則，當且僅當時，即，，可得，所以，實數(shù)的取值范圍是；（2）已知，令，，由，解得，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，取極小值，即為最小值，最小值為，注意到，（e）（1），①當時，（a），即，從而，②當，，③當，，，（a）（e），即，所以，綜上可知，①當，時，，②當時，，③當時，．12．（2021秋?重慶月考）已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）的定義域是，，當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為當時，的遞增區(qū)間為；當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為．（2）令，恒成立，恒成立，即，恒成立，①當時，有，令，，在單調(diào)遞減，當時，，；②當時，恒成立，；③當時，，有，，由得，時，，單調(diào)遞減，，時，，單調(diào)遞增，當時，取得極小值，也是最小值，；綜上所述，．即的取值范圍為，．13．（2021秋?南寧月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）設，若恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1），當時，，單調(diào)遞增，當時，在上，，單調(diào)遞增，在，上，，單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（2），若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，，令，，，令，，所以在上單調(diào)遞增，又（1），且時，，所以在上，，，單調(diào)遞減，在，，，單調(diào)遞增，所以（1），所以在上單調(diào)遞增，又（1），所以在上，，，單調(diào)遞減，在，，，單調(diào)遞增，所以（1），所以，所以的取值范圍為，．14．（2021秋?巴中月考）已知，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若對任意，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）因為，則，①當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當且時，恒成立，即對于恒成立，等價于對于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立，因為對于恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則對于恒成立，等價于對于恒成立，故對于恒成立，令，則，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值（1），則，所以的取值范圍為．15．（2021秋?許昌月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）因為，，令，當，，由，解得，由，解得，當，，令，得，，當時，，解得；，解得，當，即時，由，解得，由，．由時，即時，恒成立；當時，即時，由，解得；由，解得．綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因為，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設，，令，．因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以（1），所以，所以在上單調(diào)遞減，所以（1），所以，所以的取值范圍為，．16．（2021秋?河南月考）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且當時恒成立，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，令，得，所以，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）因為當時，恒成立，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，令，，，令，，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，當時，，，當，，，所以在上，，單調(diào)遞減，在時，，單調(diào)遞增，所以，在上，（1），所以，所以的最大值為．17．（2021秋?河南月考）已知函數(shù)．（1）設是的導函數(shù)，求在，上的最小值；（2）今，若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由，得，令，所以對，恒成立，所以在，上為增函數(shù)，所以，所以在，上的最小值為1，（2）當，時，由得，取對，恒成立，所以對，恒成立，即函數(shù)的圖象在的上方，當，時，由得，取對，恒成立，所以對，恒成立，即函數(shù)的圖象在的下方，在的切線斜率為，當時，對，恒成立，令，，由（1）知的最小值是1，所以的最小值是0，所以是增函數(shù)，最小值在時取得，且，所以時對，恒成立，同理可證時，對，恒成立，根據(jù)函數(shù)圖象知．故實數(shù)的取值范圍為，．18．（2021秋?金安區(qū)校級月考）已知函數(shù)（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，，求的取值范圍．【解答】解：（1）由題意知，，當時，由得，，，①若，即時，恒成立，故在上單調(diào)遞增；②若，即時，易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)道減；③若，即時，易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由題意知，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，則，令，則在上顯然單調(diào)遞減，又（1），（e），故在上有唯一的實根，不妨設該實根為，則為的極大值點，故，又，代入上式得，故的取值范圍為．19．（2021秋?金安區(qū)校級月考）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)存在兩個極值點，，求的取值范圍；（2）在（1）的條件