河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

邯鄲市2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試卷和答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程直接得答案.【詳解】拋物線開口向右，，準(zhǔn)線方程是，故選：C．2.已知空間向量，，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量夾角的余弦公式計(jì)算即可.【詳解】因，，所以，，，所以與的夾角的余弦值是，故選：B3.已知直線l過原點(diǎn)O，將直線l繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，恰與y軸重合，則直線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)傾斜角求出直線斜率得解.【詳解】因?yàn)閥軸的傾斜角為，所以直線l的傾斜角為，直線斜率，所以直線l的方程為，故選：D4.已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由A，B，C成等差數(shù)列得到，再利用求解；【詳解】解：因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以．又，解得，所以，故選：C．5.一個(gè)容積為2升的瓶中裝滿某種水溶液，從中倒出1升后用水添滿搖勻，再倒出1升混合溶液后再用水添滿搖勻，如此進(jìn)行下去，若使得瓶中溶液濃度低于原來的10%，則至少需要倒（）A.3次 B.4次 C.5次 D.6次【答案】B【解析】【分析】倒n次后濃度變?yōu)?，從而得到不等式，求出答?【詳解】設(shè)該種水溶液的原濃度為a，倒1次后濃度變?yōu)?，?次后濃度變?yōu)椋?，倒n次后濃度變?yōu)?，令（n為正整數(shù)），解得.故選：B．6.已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，若，則C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，結(jié)合離心率公式即可求得范圍.【詳解】由題可知，所以．又因?yàn)椋?，，所以C的離心率的取值范圍是，故選：D．7.過圓內(nèi)一點(diǎn)作互相垂直的兩條直線AB，CD，與圓分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，用表示，再結(jié)合基本不等式的知識(shí)即可得最大值.【詳解】過點(diǎn)O分別作AB，CD的垂線，垂足為M，N，則四邊形OMPN為矩形，所以．設(shè)，，則，，所以，，所以．因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值），所以的最大值為，故選：A．8.如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，且兩兩所成的角均為60°．若空間中的點(diǎn)D，E滿足，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再對(duì)已知式子化簡可得，，從而可得點(diǎn)D，E分別在以AB，AC為直徑的球面上，進(jìn)而可求出的最大值.【詳解】因?yàn)椋?，且兩兩所成角均?0°，所以，．由，得，所以，由，得，所以，所以，因此點(diǎn)D，E分別在以AB，AC為直徑的球面上，兩個(gè)球的半徑分別為，，設(shè)點(diǎn)，分別是AB，AC的中點(diǎn)，則，所以DE的最大值為，故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在平面直角坐標(biāo)系中，過圓外的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的有（）A.若點(diǎn)，則四邊形的面積是B.若點(diǎn)，則四邊形的外接圓方程是C.若點(diǎn)在直線上，則所在圓的直徑的最小值是D.當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，即可求解；對(duì)于B，由四邊形的外接圓的直徑是，即可求解；對(duì)于C，當(dāng)與直線垂直時(shí)，直徑最小，即可求解；對(duì)于D,由到圓心的距離為，確定為正方形，可判斷；【詳解】若，則，又，，，所以，所以，A正確；四邊形的外接圓直徑是，若，則，圓心為，故外接圓方程是，B不正確；因?yàn)樵c(diǎn)O到直線的距離為，所以當(dāng)為垂足時(shí)，以為直徑的圓的直徑最小，為，C正確；若點(diǎn)到圓心O的距離為，易得：，此時(shí)四邊形是正方形，此時(shí)，易知，當(dāng)時(shí)，，，故D不正確，故選：AC．10.已知數(shù)列滿足，．若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】AB選項(xiàng)，為等差數(shù)列，且公差為2，從而得到，進(jìn)而得到；CD選項(xiàng)，裂項(xiàng)相消法求和得到，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得到.【詳解】AB選項(xiàng)，因?yàn)?，所以為等差?shù)列，且公差為2，又，故首項(xiàng)為，所以，即，A正確，B不正確；CD選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，且關(guān)于單調(diào)遞增，且，所以，C，D都正確.故選：ACD．11.如圖，四面體由矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊而成，其中，，當(dāng)向量和所成的角為45°時(shí)，下列結(jié)論正確的有（）A.折疊過程中四面體外接球的表面積恒等于B.棱BD的長度為4C.平面ABDD.四面體的四個(gè)面都是直角三角形，其內(nèi)切球的半徑是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)幾何體特征以及矩形的邊長得到球心的位置和半徑可知A正確.由向量數(shù)量積運(yùn)算可得可知B不正確.由勾股定理可知，再由線面垂直判定定理可知C正確.利用等積法可算得內(nèi)切球半徑可知D正確.【詳解】對(duì)于A，在四面體中，，，，，外接球的球心在AC的中點(diǎn)處，且半徑，所以表面積為，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，又因?yàn)?，所成的角?5°，所以，解得，B不正確；對(duì)于C，由勾股定理，得，又，所以，，又，所以平面ABD，C正確；對(duì)于D，由勾股定理，得，，又，，所以四面體的四個(gè)面都是直角三角形，易得，四面體的表面積，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，所以由等積法可得，解得，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若橢圓的一條弦AB的中點(diǎn)為，則直線AB的斜率為______．【答案】##0.4【解析】【分析】利用點(diǎn)差法得，再代入M點(diǎn)坐標(biāo)即可得答案.【詳解】易知，，設(shè)橢圓中心為O，不妨設(shè)坐標(biāo)為，則，兩式作差可得：，設(shè)，OM的斜率，則，解得．故答案為：.13.已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】【解析】【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系得是等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解可得答案.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，兩邊同時(shí)除以得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，即．故答案為：.14.如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)M為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)N在對(duì)角線上且，則MN的最小值為______．【答案】【解析】【分析】易得點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓弧．然后以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，由，得到，利用向量的模求解.【詳解】點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓?。渣c(diǎn)D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則．因?yàn)?，所以，所以，所以．?dāng)時(shí)，最小，最小值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）與由Sn與an的關(guān)系結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得答案；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，顯然也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】由（1）得，則，所以，兩式相減可得，所以，故數(shù)列的前n項(xiàng)和．16.已知平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的直線：與直線：，平面內(nèi)點(diǎn)M向直線，作垂線，垂足分別為P，Q，記，，定義點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”為．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M軌跡方程．（2）“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M共有幾個(gè)？請(qǐng)寫出其坐標(biāo)．（3）求“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離．【答案】（1）和（2）點(diǎn)M共有4個(gè)，其坐標(biāo)為，，，（3）4或【解析】【分析】（1）由，根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)的定義和角平分線的定義求解；（2）由，得到點(diǎn)M在與直線：平行的直線方程，同理得到時(shí)，點(diǎn)M在與直線平行的直線方程，然后聯(lián)立求解；（3）易得點(diǎn)M滿足，分和，利用余弦定理求得，再由OM是四邊形OPMQ外接圓的直徑，利用正弦定理求解.【小問1詳解】解：若，則點(diǎn)M到直線，的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是∠POQ的平分線所在直線，軌跡方程為和．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在與直線：平行且距離為1的兩條平行線上，易得，所以方程為．同理，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在與直線平行的兩條直線上．綜上所述，與的交點(diǎn)有4個(gè)，即“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M共有4個(gè)，其坐標(biāo)為，，，．【小問3詳解】“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M滿足，若，則，由余弦定理得，OM是四邊形OPMQ外接圓的直徑，由正弦定理得，同理，當(dāng)時(shí)，，，．綜上所述，“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為4或．17.已知拋物線上的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F和原點(diǎn)O的距離相等．（1）求拋物線的方程．（2）若AB，CD是拋物線的兩條不同的弦，且滿足．（?。┣笞C：直線AB，CD過同一個(gè)定點(diǎn)Q；（ⅱ）過原點(diǎn)O作AB，CD的垂線，垂足分別為M，N，求四邊形OMQN面積的最大值．【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）2【解析】【分析】（1）由題意得，代入拋物線方程即可求得p值，則拋物線方程可得；（2）（i）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求得t值即可得直線AB過的定點(diǎn)，同理得CD過的定點(diǎn)即可得證；（ii）先確定O，M，Q，N四點(diǎn)在以O(shè)Q為直徑的圓上，結(jié)合圖象即可直接求得四邊形OMQN面積的最大值.【小問1詳解】原點(diǎn)，焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，故，代入拋物線方程可得．又，所以，所以拋物線方程為．小問2詳解】（?。┳C明：設(shè)直線AB的方程為，，，與聯(lián)立可得，且，，由韋達(dá)定理可得．又，即，所以，解得，所以直線AB：經(jīng)過定點(diǎn)，同理，直線CD也經(jīng)過定點(diǎn)．（ⅱ）解：由（ⅰ）知，，所以O(shè)，M，Q，N四點(diǎn)在以O(shè)Q為直徑的圓上，圓心即焦點(diǎn)．當(dāng)MN經(jīng)過圓心F且與OQ垂直時(shí)，四邊形OMQN的面積最大，此時(shí)四邊形OMQN的面積為2，即四邊形OMQN面積的最大值為2．18.如圖，三棱柱中，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，連接BP，，，．（1）（?。┣蟮拈L；（ⅱ）判斷直線和平面BCP是否垂直，并證明你的結(jié)論．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（?。?；（ⅱ）直線平面BCP，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）由題意求出結(jié)合勾股定理得，，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；（2）利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】（ⅰ）由題設(shè)，，，，所以為等邊三角形，，所以，所以為等邊三角形，在中，由余弦定理，得，故，在中，由余弦定理，得，所以．（ⅱ）直線平面BCP．證明如下：在中，．由可得，由得．又，所以．又，平面BCP，所以直線平面BCP．【小問2詳解】由（ⅱ）知直線平面BCP，又平面，所以平面平面BCP．過點(diǎn)P作平面的垂線PD，則，PB，PD兩兩垂直，故以點(diǎn)P為原點(diǎn)，，PB，PD所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，所以，，．設(shè)平面與平面的法向量分別為，，則，即，取，則，，則．同理，即，取，則，則，所以，即平面與平面夾角的余弦值是．19.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別為，，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為．點(diǎn)P是雙曲線上不同于A，B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的平分線的垂線（垂足為M）交直線于點(diǎn)Q，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于C，D兩點(diǎn)，記，的內(nèi)切圓的圓心分別為，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出直線CD的傾斜角的取值范圍．（2）（?。┳C明：，在一條定直線上．（ⅱ）求，到右頂點(diǎn)B的距離之差的取值范圍．【答案】（1），（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用焦點(diǎn)到漸近線的距離和焦點(diǎn)距離求出雙曲線的值，得到標(biāo)準(zhǔn)方程，通過直線與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和判別式求解直線斜率的范圍，進(jìn)而得到傾斜角的范圍.（2）（?。├秒p曲線定義和內(nèi)切圓性質(zhì)，證明的橫坐標(biāo)均為，即它們在直線上；（ⅱ）由于的的橫坐標(biāo)與右頂點(diǎn)相同，應(yīng)用圖形特征得出最后結(jié)合角的范圍計(jì)算求解.【小問1詳解】焦點(diǎn)，到漸近線的距離均為b，故．由角平分線的性質(zhì)可知，在中，OM是中位線，則有．又，即．又，，，所以，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．知，漸近線的傾斜角分別為，，當(dāng)CD是通徑時(shí)，其傾