河南省商丘市2024-2025學年高一上學期期末數學試題【含答案解析】

商丘市普通高中2024—2025學年高一年級期末（上）聯合考試數學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼將貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需要動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則中元素的個數為（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先化簡集合B，再求并集，從而可得結果.【詳解】因為集合，，所以，所以中元素個數為故選：C.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式得到.【詳解】.故選：B3.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】指數式化為對數式，利用對數運算法則得到，再對數式化為指數式，得到.【詳解】，.故選：C4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數函數，指數函數單調性和中間值比較大小.【詳解】由于在R上單調遞減，，由于，故，由于在上單調遞增，故，故.故選：D5.要得到函數的圖象，只需把函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】A【解析】【分析】先將兩個函數名稱變成一樣，再根據平移規(guī)則變換即可.【詳解】，根據“左加右減”平移規(guī)則，將函數的圖象向左平移個單位長度，得到.故選：A.6.若函數有意義，且在區(qū)間上單調遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復合函數單調性得到，故，由于真數大于0，結合函數單調性得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得且，解得且，由于在上單調遞減，而在上單調遞減，由復合函數單調性可知，需在上單調遞增，故，故，又真數大于0，故在上恒成立，由于在上單調遞減，故只需，解得，故.故選：D7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】和分別平方相加，結合同角三角函數關系和正弦和角公式得到答案.【詳解】兩邊平方得，①，兩邊平方得，②，式子①+②得，即，即，所以.故選：B8.已知函數，若方程有3個不同的實數根，，，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出的圖象，數形結合得到，令，解得，由韋達定理得到，結合單調性求出，得到答案.【詳解】畫出的圖象，如下：有3個不同的實數根，，，故，令，解得，顯然為方程，即的兩個根，故，故，因為，在上單調遞減，所以.故選：A【點睛】方法點睛：將函數零點問題或方程解的問題轉化為兩函數的圖象交點問題，將代數問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數圖象，包括指數函數，對數函數，冪函數，三角函數等，還要熟練掌握函數圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通常考慮圖象的對稱性進行解決.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的是（）A.若A，B均為非空集合且，則“”是“”的必要不充分條件B.若a，，則“”是“”的充分不必要條件C.若x，，則“”是“”的充要條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】A選項，根據并集概念，得到A正確；B選項，由對數函數單調性得到充分性成立，舉出反例，必要性不成立，得到B正確；C選項，舉出反例得到充分性不成立；D選項，解不等式得到的解集，根據推出關系得到D正確.【詳解】A選項，A，B均為非空集合且，，但，故則“”是“”的必要不充分條件，A正確；B選項，，故，充分性成立，，不妨設，此時無意義，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件，B正確；C選項，x，，若，此時，充分性不成立，C錯誤；D選項，，解得，由于，但，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：ABD10.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】B選項，由條件得到，故，并得到，故B正確；舉出反例得到AD錯誤；再由得到，由，得到，從而，C正確.【詳解】B選項，，又，故，由可得，即，由可得，所以，故，由可得，即，所以，B正確；不妨設，滿足和，此時，，AD錯誤；兩邊同除以得，，，故，即，不等式兩邊同除以得，所以，C正確；故選：BC11.若函數滿足對任意，，都有，且當時，，則（）A.的值不可能是0 B.C.是奇函數 D.是增函數【答案】AC【解析】【分析】AB選項，賦值，得到或，當時，，排除，得到，；C選項，令得，C正確；D選項，舉出反例即可.【詳解】AB選項，中，令得，解得或，令得，又或，當時，，因為當時，，故不合要求，當時，，由于當時，，故，滿足要求，故，A正確，B錯誤；C選項，中，令得，由于，故是奇函數，C正確；D選項，滿足要求，但不是增函數，D錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：處理抽象函數問題，常用方法為賦值法，經常賦值0，等，并結合函數奇偶性和單調性來解決問題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】變形得到，由基本不等式求出最值.【詳解】，，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故.故答案為：13.已知某種食品的保鮮時間y（單位：h）與儲存溫度x（單位：℃）滿足的關系式為，a，，若該食品在0℃時的保鮮時間是128h，在4℃時的保鮮時間是在24℃時保鮮時間的2倍，則該食品在20℃時的保鮮時間是________h.【答案】64【解析】【分析】根據題意得到方程組，求出，得到解析式，代入，求出答案.【詳解】由題意得，解得，故，當時，.故答案為：6414.已知函數在上的最大值為，則________.【答案】1【解析】【分析】利用三角恒等變換得到，數形結合得到，從而得到方程，求出答案.【詳解】，時，，，故，故，解得.故答案為：1四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的圖象關于直線對稱，的最小正周期為.（1）求的解析式；（2）求的單調遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用函數的最小正周期公式求出的值，再根據函數圖象關于直線對稱的性質求出的值，從而得到函數的解析式；（2）利用整體代換計算單調遞增區(qū)間即可.【小問1詳解】已知的最小正周期，那么，解得.因為函數的圖象關于直線對稱，對于函數，其圖象關于直線對稱，所以，即，可得.又因為，當時，滿足條件，所以.【小問2詳解】令解不等式左邊：，得到.解不等式右邊：，得到.所以的單調遞增區(qū)間是.16.已知函數且.（1）若的圖象經過點，求不等式的解集；（2）若存在x，使得，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入解析式，得到，根據對數函數定義域和單調性得到不等式，求出不等式解集；（2）先求出，變形得到在上有解，求出，從而得到，求出a的取值范圍.【小問1詳解】將代入得，，解得，故，其在上單調遞增，，故，解得，故不等式的解集為；【小問2詳解】，，解得，且，故在上有解，即在上有解，其中在上單調遞增，且，當時，，故，所以，又且，解得.17.已知.（1）求；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式，結合正弦余弦齊次式，弦化切即可求解;（2）利用同角三角函數的基本關求出，根據二倍角的正切公式求出，再由兩角和的正切公式求解即可.【小問1詳解】,.【小問2詳解】,且,,,,,,,.18.已知（且）是偶函數.（1）求a的值；（2）用單調性的定義證明在上單調遞增；（3）解關于x的不等式.【答案】（1）4（2）證明過程見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）變形得到，由得到方程，求出；（2）定義法判斷函數單調性步驟，取點，作差，變形判號，下結論；（3）不等式變形為，分，，，和，五種情況，求出不等式解集.【小問1詳解】，故，由題意得，即，若且，無解，若且，解得，負值舍去，故；【小問2詳解】由（1）知，，任取，，則，因為，，在R上單調遞增，所以，，故，即，所以在上單調遞增；【小問3詳解】，故，變形為，當時，，解得，解集為當時，有兩個根，分別為當時，，不等式的解集為或；當時，，不等式解集；當時，不等式為，解集為；當時，，不等式解集為綜上，當時，解集為；當時，解集為或；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.19.給定區(qū)間D，若在D上有最大值M及最小值m，且，則稱為D上的“單位距函數”.（1）若是上的“單位距函數”，求a的值.（2）若函數在區(qū)間上的最小值為.（i）求的表達式；（ii）若，為整數，且為區(qū)間上的“單位距函數”，求m，a的值.【答案】（1）1（2）（i）；（ii），【解析】【分析】（1）先得到為奇函數，并分和兩種情況，變形后，結合對勾函數單調性和奇偶性得到，從而得到方程，求出答案；（2）（i）化簡換元，變形得到，，分類討論，結合函數單調性，得到答案；（ii）在（i）基礎上，得到為整數，從而得到，為區(qū)間上“單位距函數”，結合（i）可得單調性，從而得到方程，解得.【小問1詳解】定義域為R，且，故為奇函數，當時，，當時，，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，理由如下：任取且，則，因為且，所以，，，故，即，所以在單調遞減，同理可證在上單調遞增，則，所以，故，由對稱性可知，當時，，所以，故，解得；【小問2詳解】（i），令，變形為，由于，則，當，即時，在上單調遞減，故，當，即時，在上單調遞增，故，當，即時，，綜上，；（ii），，由（i）可得，故為整數，因為，所以，需為整數，則，即時，為整數，滿足要求，為區(qū)間上的“單位