新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第6講 指對(duì)冪函數(shù)（解析版）

第06講指對(duì)冪函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有(1)aman=am+n(m,nR)； (2)(m,nR)(3)(am)n=amn(m,nR)； (4)(ab)m=ambm(mR)；(5)(pQ) (6)(m,nN+)二、指數(shù)函數(shù)(1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)；(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a1)的圖像和性質(zhì)如表2-6所示.y=axa>10<a<1圖象RR值域(2)值域：(0,+)(2)值域：(0,+)(3)過定點(diǎn)(0,1)(3)過定點(diǎn)(0,1)(4)在R上是增函數(shù).(4)在R上是減函數(shù).(5)0<y<1x>0y=1x=0y>1x<0(5)0<y<1x<0y=1x=0y>1x>0三、對(duì)數(shù)概念，叫做以為底的對(duì)數(shù).注：①，負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；②；③.四、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)特殊地五、對(duì)數(shù)函數(shù)（1）一般地，形如的函數(shù)叫對(duì)數(shù)函數(shù).（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如表2-7所示.圖像性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）圖像過定點(diǎn)：（4）在上是增函數(shù)（1）定義域：（2）值域：（3）圖像過定點(diǎn)：（4）在上是減函數(shù)六、冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).注：判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵是看其系數(shù)是否為1，底數(shù)是否為變量.七、冪函數(shù)的圖像冪函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四項(xiàng)縣內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖像如果與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)的函數(shù)圖像如圖所示.八、冪函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像是向下凸的；當(dāng)時(shí)，圖像是向上凸的，恒過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上是減函數(shù).冪函數(shù)的圖像恒過點(diǎn).【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，故，故選：C.例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（）．A．log32 B． C．log23 D．【答案】C【詳解】方程4x－2x＋1－3＝0可化為(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.故選：C例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且），其中a，b均為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，求函數(shù)的解析式；（2）如果函數(shù)的定義域和值域都是，求的值.（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴，∴∴函數(shù).（2）如果函數(shù)的定義域和值域都是，若，則函數(shù)為增函數(shù)，∴，無解.若，則函數(shù)為減函數(shù)，∴，解得，∴.例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算；（2）若，求的值．【詳解】（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡求值（1）；（2）；.（3）；．（4）.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）判斷在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（2）解關(guān)于的不等式.【詳解】（1），則函數(shù)是奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，即，，則，即，則在，上是增函數(shù)，是上的奇函數(shù)，在上是增函數(shù).（2）在上是增函數(shù)，不等式等價(jià)為不等式，即.即不等式的解集為.例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若對(duì)，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的值域（2）對(duì)，成立，等價(jià)于在的最小值大于或等于1．而在上單調(diào)遞減，所以，即（3）對(duì)，，使得成立，等價(jià)于在的最大值小于或等于在上的最大值9由，例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）證明：對(duì)任意，都有；（3）在同一坐標(biāo)系中作出與的大致圖象并判斷其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】（1）判斷結(jié)論：為偶函數(shù)．以下證明．證明：，．對(duì)于任意的，，，，函數(shù)為偶函數(shù)；（2）函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)上的偶函數(shù)，，，．故原命題得證．（3），的圖象過點(diǎn)，，關(guān)于軸對(duì)稱，如圖可知：與大致有8個(gè)交點(diǎn)．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，得到，同時(shí)結(jié)合條件為偶函數(shù)，可得到函數(shù)的周期，從而，代入即可求值.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，即，又為定義在上的為偶函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)的周期，所以.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡的結(jié)果為（）A．－ B．－C．－ D．－6ab【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】原式＝.故選：C.3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（）A．1 B．2 C．3 D．15【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，先求內(nèi)層函數(shù)的值，然后再求外層函數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若是指數(shù)函數(shù)，則有（）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念，由所給解析式，可直接求解.【詳解】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù)，所以，解得.故選：C．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知，則（）A． B． C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，代入自變量，結(jié)合指對(duì)數(shù)運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】，故選：D．6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）函數(shù)，且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f(-2)=（）A． B． C． D．9【答案】D【分析】把點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得可得答案.【詳解】由，解得，所以．故選：D.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有（）A．0對(duì) B．1對(duì)C．2對(duì) D．3對(duì)【答案】B【分析】首先作出函數(shù)y＝f(x)圖象，在同一坐標(biāo)系中，再作出－y＝f(－x)，由數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)y＝f(x)圖象如圖所示：再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，恰好與函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)部分(對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，記為曲線C，發(fā)現(xiàn)y＝與曲線C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此滿足條件的對(duì)稱點(diǎn)只有一對(duì)，圖中的A、B就是符合題意的點(diǎn)．故選：B．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可．【詳解】解：由題意得：，故，故，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若滿足不等式，則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將不等式左右兩邊化為底數(shù)相同，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可求得的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求值域.【詳解】由可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選：B.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義運(yùn)算，若函數(shù)，則的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由定義可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由定義可得，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，的值域是.故選：C.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的定義域，然后利用指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】由得，函數(shù)，所以，函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及指數(shù)函數(shù)值域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，求出函數(shù)的對(duì)稱軸，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域.【詳解】解：令，可得，可得函數(shù)的對(duì)稱軸為：，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的值域?yàn)?，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是利用換元法進(jìn)行換元，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域與二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B．， C．，， D．，0，【答案】B【分析】利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為，然后分析函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的含義確定的值域.【詳解】，，，，，或0，的值域?yàn)椋?故選：B.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù).若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出的值，然后把轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)是偶函數(shù)和在區(qū)間上的單調(diào)性脫去“”號(hào)，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即.故選：C.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（，且）在上最大值與最小值的差為2，則（）A．或2 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)知函數(shù)總是在和2時(shí)，取得兩個(gè)最值，即得，解方程和即得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，且，由的單調(diào)性，可知其在上是單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)，總是在和2時(shí)，取得兩個(gè)最值，即，即或當(dāng)方程成立，即，判別式，該方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)方程成立，即，解得（舍去），故選：B．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)2a＝5b＝m，且，則m等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)互化，再利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即得.【詳解】由等式（）兩邊取對(duì)數(shù)，可得，所以∴.故選：D.17．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若，則x，y，z之間滿足（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指對(duì)互化，再化簡.【詳解】，，.故選：B18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則的值可能為（）A． B． C．7 D．10【答案】D【分析】設(shè)，把指數(shù)式改為對(duì)數(shù)式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解．【詳解】設(shè)，則且，，，，所以．故選：D．19．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和換底公式進(jìn)行求解.【詳解】由，可得，所以.故選：A20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則（）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C【分析】將指數(shù)形式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式，代入到題設(shè)條件中，即可求得參數(shù)值.【詳解】由題知，，，則，則故選：C21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則等于A．3 B． C． D．【答案】B【分析】可以先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來確定的取值范圍，再帶入得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)系數(shù)為1，即即或，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)大于0，所以，，所以．【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)函數(shù)的系數(shù)等于一、真數(shù)大于0、底數(shù)大于0且不等于1．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)對(duì)恒有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及基本不等式求出的取值范圍即可．【詳解】解：由題意得：恒成立，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“”成立，故，故選：．23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得真數(shù)部分取到所有的正數(shù)，即是函數(shù)的值域的子集，由即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，可得真?shù)部分取到所有的正數(shù)，即函數(shù)取到所有的正數(shù)，所以是函數(shù)的值域的子集，所以解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：A.24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合的取值范圍以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得的值域.【詳解】由于，且在上遞增，，所以的值域?yàn)?故選：B25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列各函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴的值域是R，不滿足條件．∵，則函數(shù)的值域?yàn)?，不滿足條件．∵，即函數(shù)的值域?yàn)?，滿足條件．∵，∴，不滿足條件．故選：C．26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出的定義域，令，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)椋?，所以的定義域?yàn)?，解得，所以該函?shù)的定義域?yàn)?；所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；所以函數(shù)的值域是．故選：B．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．(0，2] B．C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞)【答案】B【分析】由題意得到函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)，令，化簡不等式為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，得的，即，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)，令，可得，則不等式可化為，即，即，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，在為偶函數(shù)，所以，即，解得，所以不等式的解集為.故選：B.28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（64，2），則f（x）＜f（x2）的解集為（）A．（﹣∞，0） B．（0，1）C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）【答案】C【分析】設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，由題意求得α的值，可得不等式然后解具體的不等式求得x的范圍．【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，由于它的圖象過點(diǎn)（64，2），∴2＝64α，∴α＝，f（x）＝．則f（x）＜f（x2），即，∴0≤x＜x2，∴x＞1，故原不等式的解集為（1，+∞），故選：C．29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則m的值為（）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6【答案】B【分析】由題意可得，，且為偶數(shù)，由此求得m的值．【詳解】∵冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴，且為偶數(shù)或當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，舍去因此：m＝1故選：B30．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)?，且該函?shù)為奇函數(shù)的值為（）A．或 B．或 C．或 D．、或【答案】A【分析】由冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)依次驗(yàn)證得解.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，，又函?shù)為奇函數(shù)，所以，則滿足條件的或.故選:A31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則的值等于（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先根據(jù)冪函數(shù)定義得，再確定的圖像所經(jīng)過的定點(diǎn)為，代入解得的值.【詳解】由于為冪函數(shù)，則，解得：，則；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故的圖像所經(jīng)過的定點(diǎn)為，所以，即，解得：,故選：B.32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【答案】D【分析】利用冪函數(shù)的定義求得指數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合冪函數(shù)的圖象判定單調(diào)性和奇偶性【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域?yàn)?是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意得冪函數(shù)解析式為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，所以，所以，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得：．故的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)冪函數(shù)的系數(shù)為待定系數(shù)求得解析式，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性解不等式.34．（2021·全國·高一專題練習(xí)）如圖中的曲線C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)的值可取為，，，，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4，依次為（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】作直線，根據(jù)圖象得出答案.【詳解】設(shè)曲線C1，C2，C3，C4對(duì)應(yīng)解析式的底數(shù)為，作直線，如下圖所示由圖可知，，即曲線C1，C2，C3，C4，依次為，，，故選：D35．（2021·全國·）圖中曲線分別表示的圖像，，的關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】在坐標(biāo)系中，令，根據(jù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小得到結(jié)論.【詳解】如圖所示：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以故選：C二、多選題36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線與函數(shù)（，且）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值可以是（）A． B． C． D．2【答案】AB【分析】對(duì)分類討論，利用數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題得，因?yàn)?，所以此種情況不存在；（2）當(dāng)時(shí)，由題得，因?yàn)?，所?故選：AB【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：取值范圍問題的求解，常用的方法：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（）A．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．若，則D．函數(shù)的圖像必過定點(diǎn)【答案】BD【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷其真假，得出答案.【詳解】選項(xiàng)A.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，可得不是指數(shù)函數(shù)，故A不正確.選項(xiàng)B.當(dāng)時(shí)，，故B正確.選項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，由，則，故C不正確.選項(xiàng)D.由，可得的圖象恒過點(diǎn)，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查指數(shù)函數(shù)的定義、單調(diào)性以及圖象過定點(diǎn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.38．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））對(duì)函數(shù)判斷正確的是（）A．增區(qū)間 B．增區(qū)間 C．值域 D．值域【答案】BD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可以判斷其增區(qū)間為，根據(jù)值域判斷出的值域，最終得出答案.【詳解】解:根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，在單調(diào)遞減，而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故增區(qū)間為；值域?yàn)椋趩握{(diào)遞減，故值域?yàn)?故選：BD.39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可?。ǎ〢． B． C． D．【答案】CD【分析】函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有五個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖像，利用圖像求解即可【詳解】函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有五個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖像可知，當(dāng)時(shí)，若與有五個(gè)不同的交點(diǎn)，則，，故選：．三、填空題40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為__.【答案】【分析】由給定條件求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.【詳解】函數(shù)中，由可得、，即函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，即有，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以時(shí)，的最小值為.故答案為：.41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)、分式、根式的性質(zhì)列不等式，求的范圍，即得定義域.【詳解】由函數(shù)解析式，知：，解得且.故答案為：.42．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)分段函數(shù)解析式確定的區(qū)間性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點(diǎn)情況，進(jìn)而求k的范圍.【詳解】由題意，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即為與有3個(gè)交點(diǎn)，由的解析式知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為且；圖象如下圖示：∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)實(shí)根.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法確定參數(shù)的范圍.43．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）存在實(shí)數(shù)使不等式在成立，則的范圍為__________．【答案】##【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性求出它在上的最大值即可.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因存在實(shí)數(shù)使不等式在成立，則.所以的范圍為.故答案為：44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(為常數(shù))，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，再根據(jù)題意即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即的取值范圍為．故答案為：45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不為的正實(shí)數(shù)滿足則下列不等式中一定成立的是_____.（將所有正確答案的序號(hào)都填在橫線上）①；②；③；④；⑤．【答案】④⑤.【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性先分析出的大小關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】因?yàn)榍也粸?，由?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，①當(dāng)時(shí)，，所以，故①不一定成立；②因?yàn)椋芍笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,故②不成立；③當(dāng)時(shí)，，所以，故③不一定成立；④因?yàn)?，所以，故④一定成立；⑤因?yàn)?，所以，故⑤一定成立；故答案為：④?46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)恒過點(diǎn)，則函數(shù)在上的最小值是_____.【答案】【分析】先利用指數(shù)型函數(shù)恒過定點(diǎn)問題求定點(diǎn)，得到，換元，令，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】函數(shù)恒過點(diǎn)，則，區(qū)間變?yōu)?，由函?shù)，令，則，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把指數(shù)型復(fù)合函數(shù)求最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題是解決本題的關(guān)鍵.47．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則M＋N=___．【答案】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，易得當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，進(jìn)而取得M，N即可.【詳解】，因?yàn)?，所以是增函?shù)，所以是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，故答案為：348．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】設(shè)，將原不等式轉(zhuǎn)化成恒成立，從而求出的范圍．【詳解】令，∵，∴，∵恒成立，∴恒成立，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，表達(dá)式取得最小值，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)不等式的恒成立問題，可換元后轉(zhuǎn)為含參數(shù)的一元二次不等式的恒成立問題，再利用參變分離可求參數(shù)的取值范圍，此題需要學(xué)生有較好的邏輯分析能力，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____．【答案】4【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)過點(diǎn)(-1,-1)和點(diǎn)(0,0)，所以無解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)過點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(0,-1)，所以，解得.所以50．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））不等式的解集是_______．【答案】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，將不等式化簡整理為，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榭苫癁榧丛坏仁降慕饧癁椋海蚀鸢笧椋?1．（2022·全國·高三專題