新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第16講 數(shù)列通項(xiàng)（解析版）

第16講數(shù)列通項(xiàng)【知識點(diǎn)總結(jié)】一、觀察法根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法歸納出其數(shù)列通項(xiàng).二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式=1\*GB3①疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得=2\*GB3②疊乘法：形如的解析式，可用遞推多式相乘求得=3\*GB3③構(gòu)造輔助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數(shù)列構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式.常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法和同除以指數(shù)法.④利用與的關(guān)系求解形如的關(guān)系，求其通項(xiàng)公式，可依據(jù)，求出【典型例題】（多選）例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則有（）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．【答案】ABD【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，符合上式，所以.，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足，則__________.【答案】【詳解】依題意，，所以.故答案為：例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】【詳解】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．故答案為：.例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.求的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，又，所以當(dāng)時(shí)，，又也滿足上式，所以；例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，又，得，所以，又，所以?例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，求.【詳解】解：因?yàn)?，所以，而，∴是首?xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，故，∴.例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式.【詳解】，兩邊取倒數(shù)得，即，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）①數(shù)列1，2，3可以表示成，2，；②數(shù)列，0，1與數(shù)列1，0，是同一數(shù)列；③數(shù)列的第項(xiàng)是；④數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號有關(guān)．A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【分析】利用數(shù)列的基本概念對四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】解：對于①，是集合，不是數(shù)列，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；對于②，數(shù)列是有序的，故數(shù)列，0，1與數(shù)列1，0，是不同的數(shù)列，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；對于③，數(shù)列的第項(xiàng)是，故選項(xiàng)③正確；對于④，由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號有關(guān)，故選項(xiàng)④正確．故選：．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一.”在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=1，且an=則解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次a4數(shù)為（）A．7 B．10 C．12 D．22【答案】A【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式直接求項(xiàng)即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1=1，且an=所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，所以a4=2a3-1=2×4-1=7.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)求項(xiàng)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用累加法得出.【詳解】由題意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}滿足，且a1=1，a2=5，則（）A．69 B．105 C．204 D．205【答案】D【分析】可將已知適當(dāng)變形成為，可構(gòu)造等差數(shù)列，利用累加法求得【詳解】設(shè)，故構(gòu)成以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列故…………故選：D【點(diǎn)睛】若滿足，可考慮用累加法求通項(xiàng)公式，其原理為…………，運(yùn)算化簡即可.5．（2020·全國·高三階段練習(xí)（文））在數(shù)列中，，，則（）.A． B．C． D．【答案】A【分析】通過賦值，利用累加法，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，……，以上各式累加得，?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，再利用累乘法計(jì)算可得；【詳解】解：由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用累乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】解：數(shù)列滿足，，整理得，，，，所有的項(xiàng)相乘得：，整理得：，故選：．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求得.【詳解】時(shí)，.時(shí)，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：B9．（2021·安徽·高三階段練習(xí)（文））數(shù)列中的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）.A．190 B．192 C．180 D．182【答案】B【分析】根據(jù)公式計(jì)算通項(xiàng)公式得到，故，求和得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足上式，所以，，則，.故選：B.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令可求得的值，由，由作差法可得出的表達(dá)式，再對是否滿足的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則有；當(dāng)時(shí)，由，①可得，②①②可得，所以，，滿足.故對任意的，.故選：D.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系，可得數(shù)列從第項(xiàng)開始是等差數(shù)列，根據(jù)通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由得，即，所以數(shù)列從第項(xiàng)開始是等差數(shù)列，又因?yàn)?，，所以，所以．故選：B12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先轉(zhuǎn)化為遞推關(guān)系再求解.【詳解】由可得：，兩式相減得：，即，，又由可得：，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，故選：.13．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））在數(shù)列中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】對變形可得，所以為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，即可得解.【詳解】在中，，由可得，所以為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選：A.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是an＝（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，變形數(shù)列的前4項(xiàng)，然后歸納出通項(xiàng)公式．【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列的前4項(xiàng)為，，，，則有，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為.故選：D.二、多選題15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則（）A．a(chǎn)n＝－B．a(chǎn)n＝C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．－5050【答案】BCD【分析】利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解.【詳解】Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常數(shù))，所以數(shù)列是以＝－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列．故C正確；所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－，不適合上式，故an＝故B正確，A錯(cuò)誤；所以，故D正確．故選：BCD16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么下列選項(xiàng)正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)的關(guān)系，可判斷是否為等比數(shù)列，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和得，再寫出通項(xiàng)，應(yīng)用裂項(xiàng)法求，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)知：，則且，即是等比數(shù)列；∴，且，又，∴.故選：ABD.三、填空題17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，則________．【答案】【分析】由條件可得，由累加法可得答案.【詳解】由,即所以故答案為：18．（2021·河北·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和記作，，則________．【答案】【分析】由進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符合上式．所以，故答案為：19．（2021·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足，則滿足的最大的正整數(shù)等于_________．【答案】25．【分析】由，化簡整理得到，求得，進(jìn)而求得時(shí)，，根據(jù)，得到，即可求解.【詳解】由題意數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，可得，整理得，又由，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，即，即，又由，所以，所以滿足的最大的正整數(shù)等于.故答案為：.20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，，則______．【答案】【分析】利用與的關(guān)系，替換，構(gòu)造是等差數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以是等差?shù)列，公差為3，又，所以，．故答案為：21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.【答案】【分析】由遞推關(guān)系式可得，構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：22．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件將原等式變形成，再利用構(gòu)造成基本數(shù)列的方法求解即得.【詳解】在正項(xiàng)數(shù)列中，，則有，于是得，而，因此得：數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.故答案為：23．（2021·全國·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則___________.【答案】【分析】利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以.故答案為：24．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，且，則________________.【答案】【分析】根據(jù)變形得，可構(gòu)造等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可求出，即可求得．【詳解】由可得：，因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即，故.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的定義應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．25．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”.此表由若干個(gè)數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和.若每行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成有窮數(shù)列，則得到遞推關(guān)系.則___________.【答案】256【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出結(jié)果.【詳解】由有窮數(shù)列，遞推關(guān)系，整理得：，整理得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，整理得，所以，故答案為：256.26．（2021·甘肅·西北師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的最小值為___________.【答案】【分析】利用數(shù)列遞推式，可得數(shù)列是以10為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求的最小值．【詳解】解：，數(shù)列是以10為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時(shí)，取得最小值為故答案為：四、解答題27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知數(shù)列{an}滿足：，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.【答案】（1）an=；（2）an=.【分析】（1）對an+1=兩邊“取倒數(shù)”，得到，再利用累加法求解；（2）由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得到，然后利用累乘法求解.【詳解】（1）對an+1=兩邊“取倒數(shù)”，得，即=2n+，∴.∴n≥2時(shí)，，將以上各式累加得，，所以，所以，當(dāng)n=1也滿足，所以.（2）因an≠0，由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得，∴n≥2時(shí)，，逐項(xiàng)累乘，得，∴，當(dāng)n=1也滿足，∴.28．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通項(xiàng)公式an；（2）設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通項(xiàng)公式an.【答案】（1）an＝－(n∈N*)；（2）an＝(n∈N*)．【分析】（1）由已知條件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通項(xiàng)公式an.（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通項(xiàng)公式【詳解】（1）∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1時(shí)，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.又∵n＝1時(shí)，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】將題中條件變形為，再利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闀r(shí)，滿足上式，所以30．（2021·山東·濟(jì)寧市教育科學(xué)研究院高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫，作差即可得到的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，觀察是由一個(gè)等差數(shù)列加一個(gè)等比數(shù)列得到，要求其前項(xiàng)和，需采用分組求和法，即可求出前項(xiàng)和．（1）∵，①當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，．②由①－②得，即∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．∴（2）由（1）知∴，∴．31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，得到，從而得到.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，②，①減②得，化簡得：，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即.32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可得，從而可求出，當(dāng)時(shí)，，求出，進(jìn)而可出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而可求出【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得相減得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2）.33