2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修1

PAGE1-3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型

[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列函數(shù)中，隨x的增大，增長速度最快的是()A．y＝1B．y＝xC．y＝2xD．y＝log3x解析：結(jié)合函數(shù)y＝1，y＝x，y＝2x及y＝log3x的圖象可知，隨著x的增大，增長速度最快的是y＝2x.答案：C2．如圖所示給出了紅豆生長時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么最能擬合詩句“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()A．指數(shù)函數(shù)：y＝2tB．對數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3D．二次函數(shù)：y＝2t2解析：由散點(diǎn)圖可知，與指數(shù)函數(shù)擬合最貼切，故選A.答案：A3．已知a，b，c，d四個(gè)物體沿同一方向同時(shí)起先運(yùn)動(dòng)，假設(shè)其經(jīng)過的路程和時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如運(yùn)動(dòng)時(shí)間足夠長，則運(yùn)動(dòng)在最前面的物體肯定是()A．a(chǎn)B．bC．cD．d解析：依據(jù)四種函數(shù)的改變特點(diǎn)，指數(shù)函數(shù)是一個(gè)改變最快的函數(shù)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間足夠長時(shí)，最前面的物體肯定是依據(jù)指數(shù)函數(shù)運(yùn)動(dòng)的物體．答案：D4．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的圖象，可能正確的是()解析：函數(shù)y＝ax與y＝logax的單調(diào)性相同，由此可解除C；直線y＝x＋a在y軸上的截距為a，則選項(xiàng)A中0<a<1，選項(xiàng)B中a>1，明顯y＝ax的圖象不符，解除A，B，選D.答案：D5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2<x<4時(shí)，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)，從上到下圖象依次對應(yīng)的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)與g(x)的大小關(guān)系為________．解析：在同始終角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x的圖象，如圖所示，由于函數(shù)f(x)＝3x的圖象在函數(shù)g(x)＝2x圖象的上方，則f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．據(jù)報(bào)道，青海湖水在最近50年內(nèi)削減了10%，假如按此規(guī)律，設(shè)2013年的湖水量為m，從2013年起，過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系是________．解析：設(shè)湖水量每年為上年的q%，則(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9.答案：y＝0.9·m8．某工廠8年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，以下四種說法：①前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變，其中說法正確的序號是________．解析：由t∈[0,3]的圖象聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xα(0<α<1)，反應(yīng)了C隨時(shí)間的改變而漸漸增長但速度越來越慢．由t∈[3,8]的圖象可知，總產(chǎn)量C沒有改變，即第三年后停產(chǎn)，所以②③正確．答案：②③三、解答題(每小題10分，共20分)9．每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會(huì)開展各種形式的植樹活動(dòng)，某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，支配今后5年內(nèi)擴(kuò)大樹木面積，現(xiàn)有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上一年增加9%.哪個(gè)方案較好？解析：方案一：5年后樹木面積為：10＋1×5＝15(萬平方米)．方案二：5年后樹木面積是10(1＋9%)5≈15.386(萬平方米)，因?yàn)?5.386>15，所以方案二較好．10．某公司擬投資100萬元，有兩種投資方案可供選擇：一種是年利率為10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；另一種是年利率為9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結(jié)果精確到0.01萬元)解析：本金100萬元，年利率為10%，按單利計(jì)算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(萬元)．本金100萬元，年利率為9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(萬元)．由此可見，按年利率為9%每年復(fù)利一次計(jì)算的投資方式要比按年利率為10%單利計(jì)算的更有利，5年后多得利息3.86萬元．[實(shí)力提升](20分鐘，40分)11．四個(gè)函數(shù)在第一象限中的圖象如圖所示，a、b、c、d所表示的函數(shù)可能是()A．a(chǎn)：y＝2xb：y＝x2c：y＝eq\r(x)d：y＝2－xB．a(chǎn)：y＝x2b：y＝2xc：y＝2－xd：y＝eq\r(x)C．a(chǎn)：y＝x2b：y＝2xc：y＝eq\r(x)d：y＝2－xD．a(chǎn)：y＝2xb：y＝x2c：y＝2－xd：y＝eq\r(x)解析：依據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象的特點(diǎn)，a，c對應(yīng)的函數(shù)分別是冪指數(shù)大于1和冪指數(shù)大于0小于1的冪函數(shù)，且b，d對應(yīng)的函數(shù)分別為底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于1的指數(shù)函數(shù)．答案：C12．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，則a，b，c的大小關(guān)系為________．解析：∵a＝0.32<1<20.3＝c，∴c>a>0.又∵b＝log20.3<log21＝0，∴c>a>b.答案：c>a>b13．現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中占總數(shù)eq\f(1,2)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個(gè)細(xì)胞分裂為2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過1010個(gè)？(參考數(shù)據(jù)：lg3＝0.477，lg2＝0.301)解析：現(xiàn)有細(xì)胞100個(gè)，先考慮經(jīng)過1,2,3,4個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù)；1h后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×100＋eq\f(1,2)×100×2＝eq\f(3,2)×100；2h后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2＝eq\f(9,4)×100；3h后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2＝eq\f(27,8)×100；4h后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100×2＝eq\f(81,16)×100.可見，細(xì)胞總數(shù)y與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x，x∈N*.由100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>1010，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>108，兩邊同時(shí)取以10為底的對數(shù)，得xlgeq\f(3,2)>8，∴x>eq\f(8,lg3－lg2).∵eq\f(8,lg3－lg2)＝eq\f(8,0.477－0.301)≈45.45，∴x>45.45.故經(jīng)過46h，細(xì)胞總數(shù)超過1010個(gè)．14．某醫(yī)療探討所開發(fā)一種新藥，假如成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時(shí)間t之間近似滿意如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定，每毫升血液中含藥量不少于4μg時(shí)治療疾病有效，假如某病人一天中第一次服藥為上午7：00，問：一天中怎樣支配服藥時(shí)間(共4次)效果最佳？解析：(1)依題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1<t≤10.))(2)設(shè)其次次服藥時(shí)在第一次服藥后t1小時(shí)，則－eq\f(2,3)t1＋eq\f(20,3)＝4，解得t1＝4，因而其次次服藥應(yīng)在11：00.設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和，即有－eq\f(2,3)t2＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t2－4)