2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題說(shuō)明：1.測(cè)試總分：150分2.客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應(yīng)位置上第Ⅰ卷（58分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線方程為（）A. B. C. D.2.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.當(dāng)點(diǎn)到直線距離的最大時(shí)，直線l的一般式方程是（）A. B. C. D.4.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若，則與的夾角是銳角C.已知向量、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量D.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面5.如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)E和F分別是線段與上的動(dòng)點(diǎn)，則間最小距離為（）A. B.1 C. D.6.直線l過(guò)點(diǎn)，且與圓C：相交所形成長(zhǎng)度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.97.直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（）A. B. C. D.8.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面積為，則三棱錐（以A為頂點(diǎn)）的側(cè)面積的最大值為（）A.6 B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共18分）9.設(shè)l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D.若l，m是異面直線，，，且，，則10.下列結(jié)論正確是（）A.已知點(diǎn)Px,y在圓：上，則的最大值是B.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C.已知點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則直線與圓相離D.已知直線：，：，則存在實(shí)數(shù)，使得和關(guān)于直線對(duì)稱11.設(shè)圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積最小值為C.存在點(diǎn)使D.直線過(guò)定點(diǎn)第Ⅱ卷（92分）三、填空題（每空5分，共15分）12.若點(diǎn)在圓（為常數(shù)）外，則實(shí)數(shù)的可能取值為_(kāi)___________.13.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則外接圓的方程是__________.14.如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，與平面交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求和夾角的余弦值．16.在直三棱柱中，，，，G是的重心，點(diǎn)Q在線段AB（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）上．（1）若Q為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若直線與平面所成的角正弦值為，求．17.如圖，在三棱柱中，平面.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.18.已知半徑為的圓C的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若是圓C上任意一點(diǎn)，求取值范圍（3）已知，為圓上任意一點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.如圖，在三棱臺(tái)中，，，為的中點(diǎn)，二面角的大小為．（1）求證：；（2）若，求三棱臺(tái)的體積；（3）若到平面的距離為，求的值．2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題說(shuō)明：1.測(cè)試總分：150分2.客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應(yīng)位置上第Ⅰ卷（58分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可得直線的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般方程可得.【詳解】由題可得直線的斜率為，所以直線方程為：，化簡(jiǎn)可得：；故選：B2.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.當(dāng)點(diǎn)到直線距離的最大時(shí)，直線l的一般式方程是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】將直線方程變形為，得直線系恒過(guò)點(diǎn)，由此得到到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于，即可求出直線方程．【詳解】因?yàn)橹本€，所以可將直線方程變形為，，解得，，由此可得直線系恒過(guò)點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于，，直線的斜率為，，，直線的一般方程為．故選：A4.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若，則與的夾角是銳角C.已知向量、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量D.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面【正確答案】B【分析】A由空間向量的概念及性質(zhì)判斷；B注意同向共線的情況；C由向量共面定理判斷；D根據(jù)空間向量共面的推論判斷.【詳解】A：若三個(gè)空間向量有兩個(gè)向量共線，而空間中任意兩個(gè)向量是共面的，故共線的兩個(gè)向量必與第三個(gè)向量共面，對(duì)；B：對(duì)于兩個(gè)同向共線的非零向量也有，但它們的夾角為0度，不是銳角，錯(cuò)；C：若、、是共面的向量，則存在且，顯然無(wú)解，所以、、是不共面的向量，對(duì)；D：由，且，根據(jù)空間向量共面的推論知，，，四點(diǎn)共面，對(duì).故選：B5.如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)E和F分別是線段與上的動(dòng)點(diǎn)，則間最小距離為（）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得間最小距離即為異面直線與間的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)E和F分別是線段與上的動(dòng)點(diǎn)，則間最小距離即為異面直線與間的距離，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)與異面直線與都垂直的向量，則，解得，取，則，所以，則異面直線間的距離為.即間最小距離為.故選：C6.直線l過(guò)點(diǎn)，且與圓C：相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】D【分析】判斷已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并確定過(guò)定點(diǎn)的直線與圓所成弦長(zhǎng)的范圍，結(jié)合圓的對(duì)稱性確定弦的條數(shù).【詳解】由題設(shè)，圓的圓心為，且半徑，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，且圓心到該點(diǎn)的距離，當(dāng)直線與、的連線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短為，而最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為圓的直徑為，故所有弦的弦長(zhǎng)范圍為，所以相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，弦長(zhǎng)為，根據(jù)圓對(duì)稱性，弦長(zhǎng)為各有2條，弦長(zhǎng)為2的只有1條，綜上，共9條.故選：D7.直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解方程組求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可求解.【詳解】由，解得，則直線與直線交于點(diǎn)，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，依題意，，整理得，解得，即點(diǎn)，直線的方程為，即，所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.故選：D8.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面積為，則三棱錐（以A為頂點(diǎn)）的側(cè)面積的最大值為（）A.6 B. C. D.【正確答案】B【分析】求出球的半徑，利用條件得到三棱錐A﹣BCD的外接球即為以為棱的長(zhǎng)方體的外接球，從而得到，結(jié)合基本不等式求出側(cè)面積的最大值.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，因?yàn)锳D⊥平面ABC，，所以三棱錐的外接球，即為以為棱的長(zhǎng)方體的外接球，故，其中，故，三棱錐（以A為頂點(diǎn)）的側(cè)面積為，由基本不等式得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問(wèn)題，常常進(jìn)行補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對(duì)棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來(lái)進(jìn)行求解.二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共18分）9.設(shè)l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D.若l，m是異面直線，，，且，，則【正確答案】ABC【分析】ABC可舉出反例；D選項(xiàng)，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進(jìn)而得到面面平行.【詳解】對(duì)于A，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，沒(méi)有說(shuō)m，n是相交直線，所以不能得到，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)椋O(shè)平面平面，，所以，因?yàn)閘，m是異面直線，，所以l，a相交，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，，l，a相交，所以，D正確．故選：ABC10.下列結(jié)論正確的是（）A.已知點(diǎn)Px,y在圓：上，則的最大值是B.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C.已知點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則直線與圓相離D.已知直線：，：，則存在實(shí)數(shù)，使得和關(guān)于直線對(duì)稱【正確答案】AD【分析】利用三角代換可判斷A；求出直線所過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圖形可判斷B；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C；轉(zhuǎn)化為尋找對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題，即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故A正確；B選項(xiàng)：由所以，即直線過(guò)點(diǎn)，因?yàn)橹本€和線段相交，故只需或，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：圓的圓心到直線的距離為，而點(diǎn)是圓的圓外一點(diǎn)，所以，即，故直線與圓相交，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：在上任取點(diǎn)，則關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程，得：①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；故D正確.故選：AD.11.設(shè)圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積的最小值為C.存在點(diǎn)使D.直線過(guò)定點(diǎn)【正確答案】ABD【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)公式即可求解A，B，C，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以PC為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】圓心到直線的距離為，所以，因?yàn)閳A的半徑為，根據(jù)切線長(zhǎng)公式可得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為，所以A正確；因?yàn)?，所以四邊形面積等于，四邊形面積的最小值為，故B正確；因?yàn)?，所以，在直角三角形中，，所以，設(shè)，因?yàn)椋淼?，方程無(wú)解，所以不存在點(diǎn)使，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)，則，，以PC為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以PC為直徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得，所以為圓與以PC為直徑的圓的公共弦，聯(lián)立可得，兩式相減可得：，即直線的方程為，即，故直線過(guò)定點(diǎn)，故D正確；故選：ABD第Ⅱ卷（92分）三、填空題（每空5分，共15分）12.若點(diǎn)在圓（為常數(shù)）外，則實(shí)數(shù)的可能取值為_(kāi)___________.【正確答案】（答案不唯一）【分析】由點(diǎn)A在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，則，解得，又由圓的一般方程，可得，即，即或，所以實(shí)數(shù)的范圍為，例如符合題意.故（答案不唯一）.13.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則外接圓的方程是__________.【正確答案】（或）【分析】解法一：待定系數(shù)法，設(shè)出圓的一般形式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可求解；解法二：幾何法，根據(jù)得的外接圓是以線段為直徑的圓.然后確定圓心和半徑，即可求解.【詳解】解法一：設(shè)的外接圓方程為，其中.由題意得解得滿足，所以外接圓的方程為.解法二：依題意，直線的斜率，直線的斜率，則，即.因此的外接圓是以線段為直徑的圓.線段的中點(diǎn)為，半徑，所以外接圓的方程是.故（或）14.如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，與平面交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離的向量公式計(jì)算即可．【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，由平面，設(shè)，所以，設(shè)，所以，即，解得，所以，則，設(shè)直線的夾角為，則，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，故．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求和夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后結(jié)合空間數(shù)量積公式求出，求出答案；（2）先求出，結(jié)合空間向量夾角余弦公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得，又，，，，，故，故；【小問(wèn)2詳解】，則.16.在直三棱柱中，，，，G是的重心，點(diǎn)Q在線段AB（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）上．（1）若Q為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若直線與平面所成的角正弦值為，求．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，由面面平行的判定得出平面平面，再由面面平行的性質(zhì)即可證明；（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)線面夾角的向量公式列出方程求解即可．【小問(wèn)1詳解】連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹比庵?，所以平面平面，，，又分別為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，又平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，由直三棱柱可得，為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，，取，則，因?yàn)橹本€與平面所成的角正弦值為，所以，整理得，，解得或（不合題意舍），所以．17.如圖，在三棱柱中，平面.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由線面垂直得到，結(jié)合證明出平面，故，結(jié)合得到平面，證明出面面垂直；（2）求出各邊長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用面面角的夾角余弦公式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】證明平面平面，.又，且平面，平面平面.又，且平面，平面.平面，平面平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以四邊形為正方形，即，且有.以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，以過(guò)點(diǎn)和垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，同理可得平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知半徑為的圓C的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若是圓C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍（3）已知，為圓上任意一點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）由題意圓心坐標(biāo)為，可設(shè)出圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，從而可得出答案.（2）若Mx,y是圓C上任意一點(diǎn)，則表示圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，畫(huà)出圖可知最大值為，最小值為，然后求解取值范圍即可.（3）設(shè)，Px,y，分別表示出，由為定值得出答案.【小問(wèn)1詳解】依題可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線距離，因?yàn)?，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2