2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)四百人，南鄉(xiāng)兩百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役六十人，而北鄉(xiāng)需遺十，問北鄉(xiāng)人數(shù)幾何？“其意思為：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，這三面要征調(diào)60人，而北面共征調(diào)10人（用分層抽樣的方法），則北面共有（

）人．”A．200 B．100 C．120 D．1402．演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是A．平均數(shù) B．中位數(shù)C．方差 D．極差3．有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是A．至少有1件次品與至多有1件正品B．至少有1件次品與2件都是正品C．至少有1件次品與至少有1件正品D．恰有1件次品與恰有2件正品4．兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足：，則A．16 B．28 C．25 D．336．疫情期間，一同學(xué)通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)聽網(wǎng)課，在家堅(jiān)持學(xué)習(xí).某天上午安排了四節(jié)網(wǎng)課，分別是數(shù)學(xué)，語文，政治，地理，下午安排了三節(jié)，分別是英語，歷史，體育.現(xiàn)在，他準(zhǔn)備在上午下午的課程中各任選一節(jié)進(jìn)行打卡，則選中的兩節(jié)課中至少有一節(jié)文綜學(xué)科（政治、歷史、地理）課程的概率為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列an滿足，對(duì)，，都有，為數(shù)列an的前n項(xiàng)乘積，若，則（

）A． B． C． D．8．在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列定義為：，，，斐波納契數(shù)列有種看起來很神奇的巧合，如根據(jù)可得，所以，類比這一方法，可得)A．714 B．1870 C．4895 D．4896二、多選題（每題6分，共18分，選錯(cuò)不得分，部分選對(duì)的，得部分分，有兩個(gè)選項(xiàng)的漏選一個(gè)扣3分，有三個(gè)選項(xiàng)漏選一個(gè)扣2分）9．近年來，鄉(xiāng)村游成為中國(guó)國(guó)民旅游的熱點(diǎn)，下面圖1，2，3，4分別為2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者年齡、性別、月收入及一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)金額的有關(guān)數(shù)據(jù)分析，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中年齡在歲之間的男性占比不超過B．2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中月收入不高于1萬元的占比超過C．2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)4個(gè)范圍占比的中位數(shù)為D．2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)的平均數(shù)估計(jì)值高于650元（同一花費(fèi)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)用其中間值作代表）10．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然數(shù)等于404411．拋出一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，得到正反兩面的概率相同．事件次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中最多有一次正面朝上，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，A，B相互獨(dú)立 B．當(dāng)時(shí)，A，B相互獨(dú)立C．時(shí)， D．時(shí)，三、填空題（每題5分，共15分）12．已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為2，方差為4，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)2，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的方差為.13．《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為.14．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則的取值范圍為.四、解答題（共77分）15（13分）．甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：每次比賽兩人上場(chǎng)比賽，第三人為裁判，一局結(jié)束后，敗者下場(chǎng)作為裁判，原裁判上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去，共進(jìn)行4局比賽.三人決定由乙、丙先上場(chǎng)比賽，甲作為裁判.(1)第一局比賽開始前，丙提出由擲骰子決定誰先發(fā)球，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的六面體骰子兩次，記下骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，若兩次點(diǎn)數(shù)之和為6則由乙發(fā)球，兩次點(diǎn)數(shù)之和能被4整除則由丙發(fā)球，用所學(xué)知識(shí)判斷這個(gè)方法公平嗎？并說明理由；(2)三人實(shí)力相當(dāng)，在每局比賽中戰(zhàn)勝對(duì)手的概率均為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒有平局，求在四局比賽中甲當(dāng)2局裁判的概率.16．（15分）某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地區(qū)所有學(xué)生中知識(shí)問答成績(jī)的平均數(shù)和眾數(shù)；(2)成績(jī)位列前10%的學(xué)生平臺(tái)會(huì)生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計(jì)獲得“防溺水達(dá)人”的成績(jī)至少為多少分；(3)已知落在60,70內(nèi)的平均成績(jī)?yōu)?7，方差是9，落在內(nèi)的平均成績(jī)是73，方差是29，求落在內(nèi)的平均成績(jī)和方差.（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量?樣本平均數(shù)和樣本方差分別為.記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）17（15分）．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．(1)求證：平面BDEF；(2)求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．18（17分）．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19（17分）．在高中數(shù)學(xué)教材蘇教版選擇性必修2的101頁(yè)11題闡述了這樣一個(gè)問題：假設(shè)某種細(xì)胞分裂（每次分裂都是一個(gè)細(xì)胞分裂成兩個(gè)）和死亡的概率相同，如果一個(gè)種群從這樣的一個(gè)細(xì)胞開始變化，那么這個(gè)種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個(gè)問題時(shí)，我們可以設(shè)一個(gè)種群由一個(gè)細(xì)胞開始，最終滅絕的概率為p，則從一個(gè)細(xì)胞開始，它有的概率分裂成兩個(gè)細(xì)胞，在這兩個(gè)細(xì)胞中，每個(gè)細(xì)胞滅絕的概率都是p，兩個(gè)細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計(jì)算可得；我們也可以設(shè)一個(gè)種群由一個(gè)細(xì)胞開始，最終繁衍下去的概率為p，那么從一個(gè)細(xì)胞開始，它有的概率分裂成兩個(gè)細(xì)胞，每個(gè)細(xì)胞繁衍下去的概率都是p，兩個(gè)細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計(jì)算可得．根據(jù)以上材料，思考下述問題：一個(gè)人站在平面直角坐標(biāo)系的，他每步走動(dòng)都會(huì)有的概率向左移動(dòng)1個(gè)單位，有的概率向右移動(dòng)一個(gè)單位，原點(diǎn)處有一個(gè)陷阱，若掉入陷阱就會(huì)停止走動(dòng)，以代表當(dāng)這個(gè)人由開始，最終掉入陷阱的概率．

)若這個(gè)人開始時(shí)位于點(diǎn)處，且，（1）求他在5步內(nèi)（包括5步）掉入陷阱的概率；（2）求他最終掉入陷阱的概率；（3）已知，若，求．答案：題號(hào)12345678910答案CBDABCACABCAD題號(hào)11答案BC1．C【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意列方程求解即可【詳解】設(shè)北面共有人，則由題意可得，解得所以北面共有120人，故選：C2．B【分析】可不用動(dòng)筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．【詳解】設(shè)9位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，B正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，A不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．本題旨在考查學(xué)生對(duì)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.3．D【詳解】解：A、至少有1件次品與至多有1件正品不互斥，它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況，故不滿足條件．B、至少有1件次品與都是正品是對(duì)立事件，故不滿足條件．C、至少有1件次品與至少有1件正品不互斥，它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況，故不滿足條件．D、恰有1件次品與恰有2件正是互斥事件，但不是對(duì)立事件，因?yàn)槌酥膺€有“兩件都是次品”的情況，故滿足條件．故選D．4．A【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，所以.故選：A5．B依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí)，，n=2時(shí)，，n=3時(shí)，，n=4時(shí)，，n=5時(shí)，.故選：B本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6．C用列舉法列出所有的基本事件以及滿足條件的基本事件，用古典概型概率公式即可求得概率.【詳解】將數(shù)學(xué)、語文、政治、地理分別記為，將英語，歷史，體育分別記為，在上午下午的課程中各任選一節(jié)，所有的可能為：，，，，，，，，，，，共12種情況.選中的兩節(jié)課中至少有一節(jié)文綜學(xué)科（政治、歷史、地理）課程的情況有，，，，，，，共8種情況.所以，所求概率為，故選：C.本題考查了古典概型，屬于基礎(chǔ)題.利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本事件的探求方法有兩種，（1）枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的情況；（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.7．A【分析】依題意，先令，可得，再令，結(jié)合，可得，進(jìn)而判斷出數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，最后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求值.【詳解】因?yàn)閷?duì)，，都有，所以令，有，則有，令，有，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，且，所以，即，所以，則，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故選：A.8．C【分析】根據(jù)題意，分析可得，進(jìn)而變形可得，據(jù)此可得，計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列滿足，即，兩邊同乘以，可得，則；故選C．本題考查數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的求和，關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列的遞推公式的變形，屬中檔題．9．ABC【分析】由圖1和圖2可判斷A選項(xiàng)，由圖3可判斷B選項(xiàng)，由圖4可判斷C、D選項(xiàng)【詳解】由圖1和圖2可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中年齡在歲之間的男性占比為，故A錯(cuò)誤；由圖3可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中月收入不高于1萬元的占比為，故B錯(cuò)誤；由圖4可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)4個(gè)范圍占比的中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；由圖4可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)的平均數(shù)估計(jì)值為，故D正確.故選：BC10．AD【分析】先由條件分類討論得到，，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】，，，同號(hào)，且或，若，則不同號(hào)；若，則，不滿足要求；故可得，，故A正確；，且，可得，故B錯(cuò)；，又，且最大，故C錯(cuò)；，且為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，使成立的最大自然數(shù)等于4044，故D正確.故選：AD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于推得，進(jìn)而得到，從而得解.11．BC【分析】由相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件概率公式依次判斷即可．【詳解】拋出兩次，有正反，反正，正正，反反，共四種情況，又因?yàn)?，故A錯(cuò)誤，拋出三次：正正正，正正反，正反正，正反反，反反反，反反正，反正反，反正正，共八種情況，則，，，故B正確，拋出n次有種組合，次全為正面向上或n次全為反面向上，則，因此，故C正確，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC12．【分析】先由原7個(gè)數(shù)的方差求出，再求出加入一個(gè)新數(shù)據(jù)2后所得8個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即可根據(jù)方差公式求出新方差.【詳解】原7個(gè)數(shù)的方差為，即，加入一個(gè)新數(shù)據(jù)2后所得8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，所以這8個(gè)數(shù)的方差為.故答案為:.13．【分析】觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個(gè)，還有6個(gè)是1陰2陽和1陽2陰各3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。【詳解】八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線的一個(gè)，全為陰線的一個(gè)，1陰2陽的3個(gè)，1陽2陰的3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。∴從8個(gè)卦中任取2卦，共有種可能，兩卦中共2陽4陰的情況有，所求概率為。故。本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是確定基本事件的個(gè)數(shù)。本題不能受八卦影響，我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù)，這樣才能正確地確定基本事件的個(gè)數(shù)。14．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得公差，由可得，從而可得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與分式變形，結(jié)合函數(shù)思想即可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，由于，所以，且，即，則，由得，故，即的取值范圍為.故答案為.15．(1)不公平，理由見解析(2)【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合古典概型即可得解；（2）利用樹狀圖法，結(jié)合古典概型即可得解.【詳解】（1）連續(xù)擲骰子兩次的基本事件的總數(shù)為，兩次點(diǎn)數(shù)之和為6包含的基本事件有共個(gè)，故乙發(fā)球的概率為，兩次點(diǎn)數(shù)之和能被4整除包含的基本事件有共個(gè)，故丙發(fā)球的概率為，所以這個(gè)方法不公平；（2）因?yàn)樵诿烤直荣愔袘?zhàn)勝對(duì)手的概率均為，所以本題可用古典概型來解決，如圖所示，用樹狀圖列舉每局當(dāng)裁判的可能，一共有種，其中甲當(dāng)2局裁判的可能有種，所以在四局比賽中甲當(dāng)2局裁判的概率為16．(1)平均數(shù)為，眾數(shù)為.(2).(3)平均數(shù)為，方差為.【分析】（1）在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數(shù)是最高矩形橫坐標(biāo)的中點(diǎn)，據(jù)此求解.（2）依題意可知題目所求是第分位數(shù)，先判斷第分位數(shù)落在哪個(gè)區(qū)間再求解即可；（3）先求出每組的比例，再根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)及方差求解即可.【詳解】（1）一至六組的頻率分別為，平均數(shù).由圖可知，眾數(shù)為.以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)所有學(xué)生中知識(shí)問答成績(jī)的平均數(shù)為分，眾數(shù)為分.（2）前4組的頻率之和為，前5組的頻率之和為，第分位數(shù)落在第5組,設(shè)為x，則，解得.“防溺水達(dá)人”的成績(jī)至少為分.（3）)的頻率為，)的頻率為，所以的頻率與的頻率之比為的頻率與的頻率之比為設(shè)內(nèi)的平均成績(jī)和方差分別為，依題意有，解得，解得，所以內(nèi)的平均成績(jī)?yōu)?，方差?17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）結(jié)合菱形性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求線面角即可.【詳解】（1）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接FO，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，且O為AC中點(diǎn)，，，又，平面BDEF，∴平面BDEF．（2）連接DF，∵四