2024-2025北師版七下數(shù)學(xué)-第一章-整式的乘除1.3 第3課時(shí) 完全平方公式的認(rèn)識 教案

七年級下冊教案第3課時(shí)完全平方公式的認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容第3課時(shí)完全平方公式的認(rèn)識課時(shí)1核心素養(yǎng)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號意識和推理能力。2.會推導(dǎo)完全平方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。3.了解(a＋b)2=a2+2ab+b2的幾何背景，發(fā)展幾何直觀。知識目標(biāo)1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；2.會運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；教學(xué)重點(diǎn)理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。教學(xué)難點(diǎn)會運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。教學(xué)準(zhǔn)備課件教學(xué)過程主要師生活動設(shè)計(jì)意圖一、情境導(dǎo)入二、探究新知當(dāng)堂練習(xí)，鞏固所學(xué)創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知1.由下面的兩個(gè)圖形你能得到哪個(gè)公式？平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b22.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差。師生活動：學(xué)生舉手回答問題。小組合作，探究概念和性質(zhì)合作探究計(jì)算下列各式：(1)(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9。(2)(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2×3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2。觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果,你有什么發(fā)現(xiàn)？你能再舉一些類似的例子嗎？與同伴進(jìn)行交流。發(fā)現(xiàn)：(a＋b)2=a2+2ab+b2。思考·交流（1）你能用下圖解釋上面的公式嗎?大正方形的面積：(a＋b)2小正方形的面積之和：a2+2ab+b2得：(a＋b)2=a2+2ab+b2（2）如何計(jì)算(a－b)2？你是怎樣做的？與同伴進(jìn)行交流。答案：(1)(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－2ab＋b2(2)(a－b)2=[a＋(－b)]2=a2＋2a(－b)＋(－b)2=a2－2ab＋b2發(fā)現(xiàn)：(a－b)2=a2－2ab+b2。師生活動：教學(xué)中可以先讓學(xué)生自己計(jì)算并比較結(jié)果與方法，方法1與法2依教學(xué)需要而呈現(xiàn)，如教學(xué)中已出現(xiàn)這兩種方法，則不必重復(fù)。嘗試·思考(a－b)2=a2－2ab+b2請你設(shè)計(jì)一個(gè)圖形解釋這一公式。(a?b)2=a2?ab?b(a?b)=a2－2ab+b2師：播放PPT——驗(yàn)證平方差公式，展示圖形拼接過程。生：認(rèn)真觀察教師所展示的圖片拼接過程；獨(dú)立思考并完成問題；同桌間交流，積極舉手發(fā)言。知識要點(diǎn)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2。(a?b)2=a2?2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”公式特征：1.積為二次三項(xiàng)式；2.積中的兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方；3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與原式中間的符號相同；4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。典例精析例1利用完全平方公式計(jì)算：(1)(2x－3)2；(4x＋5y)2；(3)(mn－a)2。解：(3)(mn－a)2=(mn)2－2?mn?a＋a2=m2n2－2amn＋a2。師生活動：采用先獨(dú)立完成，再小組合作探究學(xué)習(xí)。想一想思考：(a+b)2與(－a－b)2相等嗎?(a－b)2與(b－a)2相等嗎?(a－b)2與a2－b2相等嗎?為什么?解：(－a－b)2=(－a)2－2·(－a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。(b－a)2=b2－2ba+a2=a2－2ab+b2=(a－b)2。(a－b)2與a2－b2不一定相等，只有當(dāng)b=0或a=b時(shí)，(a－b)2=a2－b2。回顧·思考回顧借助幾何圖形解釋或分析問題的過程，對于形與數(shù)的聯(lián)系，你有哪些感悟?學(xué)生思考并交流。教師總結(jié)：圖形可以直觀解釋乘法公式的合理性，有助于理解乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，而乘法公式又是對圖形的抽象。例2如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y?！鄊＋1＝±60?！鄊＝59或－61。師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生代表講述思路，教師整理板書并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解。當(dāng)堂練習(xí)，鞏固所學(xué)1.下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，結(jié)果應(yīng)當(dāng)怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2；(2)(x－y)2=x2－y2；(3)(－x+y)2=x2+2xy+y2；(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2。2.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(6a+5b)2；(2)(4x－3y)2；(3)(2m－1)2；(4)(－2m－1)2。設(shè)計(jì)意圖：本堂課的學(xué)習(xí)方向仍是引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生通過已學(xué)習(xí)的知識經(jīng)過個(gè)人思考、小組合作等方式推導(dǎo)出本課新知，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力。而這個(gè)過程離不開舊知識的鋪墊，平方差公式的學(xué)習(xí)有很多教學(xué)環(huán)節(jié)和形式與本節(jié)的學(xué)習(xí)是類似的，其中包含的基本知識與基本能力也仍是本節(jié)的精神主旨，因而復(fù)習(xí)很有必要。設(shè)計(jì)意圖：完全平方公式是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算的直接結(jié)果，是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算的一種特殊情況。這兩個(gè)具有相同特征的等式，即(a＋b)2=a2+2ab+b2的形式，與引人平方差公式的想法一樣，讓學(xué)生觀察等式的特點(diǎn)，通過對比等式兩邊代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，得到一般性的結(jié)論。再讓學(xué)生自己舉例加深對公式的體會。設(shè)計(jì)意圖：幾何直觀的方法對(a＋b)2=a2+2ab+b2進(jìn)行解釋，不僅使學(xué)生更清晰地“看到”公式的結(jié)構(gòu)，同時(shí)感受這樣的抽象代數(shù)運(yùn)算也有直觀的背景。設(shè)計(jì)意圖：議一議是讓學(xué)生從代數(shù)運(yùn)算的角度，推導(dǎo)出兩數(shù)差的完全平方公式，培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考和語言表達(dá)能力。設(shè)計(jì)意圖：做一做使學(xué)生再次從幾何的角度來驗(yàn)證兩數(shù)差的完全平方公式。從而學(xué)生經(jīng)歷了幾何解釋到代數(shù)運(yùn)算，再到幾何解釋的過程，學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識得以培養(yǎng)，并且從不同的角度推導(dǎo)出了公式，并且加以鞏固。設(shè)計(jì)意圖：知識要點(diǎn)是在前面的基礎(chǔ)上，加以總結(jié)，使得學(xué)生從形式上初步地認(rèn)識了完全平方公式。設(shè)計(jì)意圖：理解公式的結(jié)構(gòu)特征，a和b可以表示什么？經(jīng)過思考和討論讓學(xué)生探宄并建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu)和能力結(jié)構(gòu)，老師再適當(dāng)引導(dǎo)和精講，使全體學(xué)生真正理解和的完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征。設(shè)計(jì)意圖：通過符號不同的完全平方形式，進(jìn)一步理解完全平方公式。同時(shí)讓學(xué)生體會兩數(shù)差的完全平方與平方差之間的區(qū)別。方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解。設(shè)計(jì)意圖：鞏固對完全平方公式的理解和加強(qiáng)公式的運(yùn)用。板書設(shè)計(jì)完全平方公式的認(rèn)識完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2。(a?b)2=a2?2ab+b2。簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”課后小結(jié)教學(xué)反思本節(jié)課是整式一章中是個(gè)重點(diǎn)，它是多項(xiàng)式乘法特殊形式下的一種簡便運(yùn)算。學(xué)生需要熟練掌握公式兩種形式的使用方法，