一元二次方程的知識點總結(jié)

一元二次方程知識點的總結(jié)知識結(jié)構(gòu)梳理（1）含有個未知數(shù)。 (2)未知數(shù)的最高次數(shù)是 1、概念 （3）是方程. （4）一元二次方程的一般形式是。 (1)法，適用于能化為的一元.二次方程一元二次方程 (2)法,即把方程變形為ab=0的形式,一元二次方程2、解法（a，b為兩個因式),則a=0或 （3)法 （4）法，其中求根公式是 當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。 （5）當時,方程有兩個相等的實數(shù)根。 當時，方程有沒有的實數(shù)根。 可用于解某些求值題 （1）一元二次方程的應(yīng)用 (2） （3） 可用于解決實際問題的步驟（4） （5) （6）知識點歸類建立一元二次方程模型知識點一一元二次方程的定義如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊只含有一個未知數(shù)的二次多項式，那么這樣的方程叫做一元二次方程.注意:一元二次方程必須同時滿足以下三點：①方程是整式方程。②它只含有一個未知數(shù).③未知數(shù)的最高次數(shù)是2。同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。例下列關(guān)于的方程,哪些是一元二次方程?⑴;⑵；(3）；（4)；(5）知識點二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為（a，b，c是已知數(shù),）。其中a，b,c分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.注意：(1）二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù),常數(shù)項都包括它前面的符號.（2）要準確找出一個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項,必須把它先化為一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，當且僅當時是一元二次方程。例1將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。(1）；（2）;（3）例2已知關(guān)于的方程是一元二次方程時,則知識點三一元二次方程的解使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如:當時，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知識點四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步驟是:審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。注意:（1)審題過程是找出已知量、未知量及等量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)要帶單位；(3)建立一元二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系。例如圖（1），有一個面積為150㎡的長方形雞場，雞場一邊靠墻(墻長18m）,另三邊用竹籬笆圍成，若竹籬笆的長為35m，求雞場的長和寬各為多少？ 雞場（只設(shè)未知數(shù)，列出方程，并將它化成一般形式。） 因式分解法、直接開平方法知識點一因式分解法解一元二次方程如果兩個因式的積等于0，那么這兩個方程中至少有一個等于0，即若pq=0時，則p=0或q=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0;（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積.（3)令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例用因式分解法解下列方程：(1）;（2）；（3）。知識點二直接開平方法解一元二次方程若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。（1)的解是；（2）的解是；（3）的解是。例用直接開平方法解下列一元二次方程（1)；（2）；（3)知識點三靈活運用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方法解。例運用因式分解法和直接開平方法解下列一元二次方程.（1）；(2）知識點四用提公因式法解一元二次方程把方程左邊的多項式(方程右邊為0時）的公因式提出，將多項式寫出因式的乘積形式,然后利用“若pq=0時，則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。如：,將原方程變形為，由此可得出注意:在解方程時，千萬注意不能把方程兩邊都同時除以一個含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的根。知識點五形如“"的方程的解法.對于形如“"的方程(或通過整理符合其形式的)，可將左邊分解因式，方程變形為，則，即.注意：應(yīng)用這種方法解一元二次方程時，要熟悉“”型方程的特征.例解下列方程：（1）;(2）配方法知識點一配方法解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去這個數(shù),使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了,這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意:用配方法解一元二次方程,當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方后,還要再減去這個數(shù)。例用配方法解下列方程：（1）；(2）知識點二用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方,再減去這個數(shù)；把原方程變?yōu)榈男问健Ｈ?，用直接開平方法求出的值，若n﹤0，原方程無解。例解下列方程：知識點三用配方法解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程當一元二次方程的形式為時,用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項的系數(shù)化為1:方程的左、右兩邊同時除以二項的系數(shù)；(2）移項：在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方,再減去這個數(shù),把原方程化為的形式；（3）若，用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。例用配方法解下列方程:（1）;（2）公式法知識點一一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：(1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）;（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。例用公式法解下列方程（1）；（2）；(3）知識點二選擇適合的方法解一元二次方程直接開平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個非負數(shù)或也是一個含未知數(shù)的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；公式法是由配方法推導(dǎo)而來的，要比配方法簡單。注意:一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法，因為配方法解題比較麻煩.例用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?)；（2）；（3）知識點三一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式△=運用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況:△=﹥0方程有兩個不相等的實數(shù)根；△==0方程有兩個相等的實數(shù)根;△=﹤0方程沒有實數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟:①把所有一元二次方程化為一般形式；②確定的值;③計算的值；④根據(jù)的符號判定方程根的情況.例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：（1）;（2）;(3)知識點四根的判別式的逆用在方程中，(1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0 （3）方程沒有實數(shù)根﹤0注意:逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件。例為何值時，方程的根滿足下列情況：（1)有兩個不相等的實數(shù)；（2)有兩個相等的實數(shù)根；（3）沒有實數(shù)根;知識點五一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若是一元二次方程的兩個根，則有，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：（1）(2）(3）；（4）││==例已知方程的兩根為，不解方程，求下列各式的值.（1)；(2）.知識點六根據(jù)代數(shù)式的關(guān)系列一元二次方程利用一元二次方程解決有關(guān)代數(shù)式的問題時，要善于用一元二次方程表示題中的數(shù)量關(guān)系（即列出方程)，然后將方程整理成一般形式求解,最后作答。例當取什么值時，代數(shù)式與代數(shù)式的值相等？一元二次方程的應(yīng)用知識點一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，(5）檢驗，（6)作答.關(guān)鍵點:找出題中的等量關(guān)系.知識點二用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關(guān)得到問題增長率問題與降低率問題的數(shù)量關(guān)系及表示法：(1）若基數(shù)為a，增長率為，則一次增長后的值為，兩次增長后的值為；（2）若基數(shù)為a，降低率為，則一次降低后的值為,兩次降低后的值為。例某農(nóng)場糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)由3000噸增加到3630噸,設(shè)這兩年的年平均增長率為，列出關(guān)于的方程為知識點三用一元二次方程解與市場經(jīng)濟有關(guān)的問題與市場經(jīng)濟有關(guān)的問題:如：營銷問題、水電問題、水利問題等.與利潤相關(guān)的常用關(guān)系式有：（1）每件利潤=銷售價—成本價；（2)利潤率=(銷售價—進貨價）÷進貨價×100%；（3）銷售額=售價×銷售量例某商店如果將進貨價為8元的商品每件10元售出，每天可售200件，現(xiàn)在采取提高售價，減少進貨價的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0。5元，其銷量減少10件。（1）要使每天獲得700元,請你幫忙確定售價。（2）當售價定為多少時，能使每天獲得的利潤最多？并求出最大利潤.第二章一元二次方程（補充）※只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程?！眩╝、b、c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數(shù);b為一次項系數(shù)；c為常數(shù)項?！庖辉畏匠痰姆椒ǎ孩倥浞椒?lt;即將其變?yōu)榈男问健耽诠椒ǎㄗ⒁庠谡襛bc時須先把方程化為一般形式）③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※根與系數(shù)的關(guān)系：當b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當b2—4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根?！绻辉畏匠痰膬筛謩e為x1、x2，則有:?！辉畏匠痰母c系數(shù)的關(guān)系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程,求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式:①②